ความถี่และคาบของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเส้น (SHM)
| English | ไทย |
|---|---|
| period/ˈpɪərɪəd/ | รอบ |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | ความถี่ |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | ความถี่เชิงมุม |
นับจังหวะ
- น้อยเตอร์นับจังหวะด้วยความเร็วคงที่ที่คุณนับได้
- มวลหนักบนสปริงอ่อนจะแกว่งช้า; สปริงแข็งจะดีดกลับเร็ว
- ตัวสั่นแต่ละตัวมีจังหวะธรรมชาติของตัวเอง
- สูตรสองตัวทำนายความถี่ของการซ้ำได้อย่างแม่นยำ
คาบ ความถี่ และโอเมก้า
- คาบ $T$ คือเวลาสำหรับหนึ่งรอบเต็ม
- ความถี่ $f = 1/T$ นับจำนวนรอบต่อวินาที
- ความถี่เชิงมุม คือ $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$
เครื่องสั่นมีคาบเท่ากับ $0.25\ \text{s}$. ความถี่ (ใน Hz) คืออะไร?
$f = 1/T = 1/0.25 = 4\ \text{Hz}$.
มวลบนสปริง
- มวล $m$ บนสปริงที่มีความแข็ง $k$ มีคาบ:
- มวลหนักกว่าแกว่งช้าลง (คาบ $T$ ยาวขึ้น); สปริงแข็งกว่าจะเร็วขึ้น
- สืบมาจาก $\omega = \sqrt{k/m}$
คุณเปลี่ยนมวลของเครื่องสั่นสป링-มวลด้วยมวลที่หนักกว่า คาบ...
$T = 2\pi\sqrt{m/k}$ ดังนั้น $m$ ที่ใหญ่ขึ้นจะให้ $T$ ที่ยาวขึ้น
หากคุณเพิ่มมวลบนสปริงเป็นสี่เท่า คาบจะเป็น...
$T \propto \sqrt{m}$ ดังนั้น $\sqrt{4} = 2$ เท่าของคาบ
โน้ตที่แกว่ง
- โน้ตมีความยาว $L$ มีคาบ:
- โน้ตที่ยาวกว่าแกว่งช้าลง; แรงโน้มถ่วงที่แรงกว่าจะเร็วขึ้น
- หมายเหตุว่ามวลของลูกตุ้ม ไม่ ปรากฏในสมการ
อะไรที่เปลี่ยนคาบ?
จัดกลุ่มการเปลี่ยนแปลงแต่ละข้อโดยดูว่าเปลี่ยนคาบของเครื่องสั่นหรือไม่
การทำให้น้ำหนักลูกตุ้มนาฬิกาหนักขึ้น (ความยาวเท่าเดิม) จะเปลี่ยนคาบของมัน
$T = 2\pi\sqrt{L/g}$ ไม่มีพจน์มวล -- มวลของลูกตุ้มนั้นไม่สำคัญ
ลูกตุ้มนาฬิกามี $L = 1.0\ \text{m}$ และ $g = 9.8\ \text{m/s}^2$. คาบของมัน (ในวินาที, ทศนิยม 1 ตำแหน่ง) คือเท่าไหร่?
$T = 2\pi\sqrt{L/g} = 2\pi\sqrt{1/9.8} \approx 2.0\ \text{s}$.
มวล $0.2\ \text{kg}$ บนสปริง $k = 50\ \text{N/m}$
- คาบ: $T = 2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{0.2/50} = 2\pi\sqrt{0.004} \approx 0.40\ \text{s}$
- ความถี่: $f = 1/T \approx 2.5\ \text{Hz}$
สำหรับการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเชิงเส้นที่สมบูรณ์แบบ แอมพลิจูดที่ใหญ่ขึ้นจะทำให้คาบยาวขึ้น
คาบไม่ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด -- การแกว่งทั้งใหญ่และเล็กใช้เวลาเท่ากัน
ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่ง — สำหรับ SHM ที่สมบูรณ์แบบ คาบ ไม่ ขึ้นอยู่กับแอมพลิจูด ดังนั้นการแกว่งใหญ่และการแกว่งเล็กจึงใช้เวลาเท่ากัน สมการของโน้ตใช้ได้เฉพาะมุมเล็ก; คาบของสปริงละเลยแรงโน้มถ่วง และคาบของโน้ตละเลยมวลของลูกตุ้ม และระวังเรื่องรากที่สอง: การเพิ่มมวลสี่เท่าจะทำให้คาบเพิ่มขึ้นเพียง สองเท่า
รอบเวลา $T$ (หนึ่งรอบ), ความถี่ $f = 1/T$, และ ความถี่เชิงมุม $\omega = 2\pi/T$ อธิบายถึงจังหวะ การสปริงให้ $T = 2\pi\sqrt{m/k}$; ลูกตุ้มนาฬิกาให้ $T = 2\pi\sqrt{L/g}$ รอบเวลาไม่ขึ้นอยู่กับขนาดการสั่น และสูตรแต่ละตัวละเลยสิ่งหนึ่งไป: สปริงละเลยแรงโน้มถ่วง, ลูกตุ้มนาฬิกาละเลยมวลของลูกตุ้ม