สนามไฟฟ้าจากการกระจายประจุ
| English | ไทย |
|---|---|
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | อินทิกรัล |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | symmetry |
ถ้าประจุกระจายตามแท่ง ไม่ใช่จุด?
- วัตถุจริงมีประจุกระจายบนเส้น ผิว หรือปริมาตร
- การใช้ $E = kQ/r^2$ ตัวเดียวไม่พอ — ไม่มีระยะทางเดียว $r$
- เทคนิคแคลคูลัส: ตัดประจุเป็นชิ้นเล็กๆ แล้วรวมสนามของแต่ละชิ้น
- นี่คือหัวใจของ AP Physics C: การแปลงผลบวกให้เป็น อินทิกรัล
ความหนาแน่นประจุ
- กระจายตามเส้น: ความหนาแน่นเชิงเส้น $\lambda = \dfrac{dq}{d\ell}$ (C/m)
- กระจายบนผิว: ความหนาแน่นพื้นผิว $\sigma = \dfrac{dq}{dA}$ (C/m²)
- เติมเต็มปริมาตร: ความหนาแน่นปริมาตร $\rho = \dfrac{dq}{dV}$ (C/m³)
- แต่ละชนิดช่วยให้คุณเขียนประจุเล็กได้เป็น $dq = \lambda\,d\ell$, $\sigma\,dA$, หรือ $\rho\,dV$
ความหนาแน่นเชิงเส้นของประจุ $\lambda$ มีหน่วยเป็น:
$\lambda = dq/d\ell$ คือประจุต่อความยาว, C/m
ตัดออกเป็นองค์ประกอบ dq
- เลือกองค์ประกอบเล็กๆ $dq$ ที่ระยะ $r$ จากจุด $P$ ของคุณ
- มันสร้างสนามเล็กๆ $dE = \dfrac{k\,dq}{r^2}$ ชี้จาก $dq$ เข้าหา $P$
- ทุกองค์ประกอบชี้ในทิศทางที่ต่างกันเล็กน้อย — $d\vec E$ เป็นเวกเตอร์
- บวกเข้าด้วยกัน: $\vec E = \displaystyle\int d\vec E$
สร้างสนามขึ้นมา
ดูว่าการกระจายประจุที่ใหญ่กว่าและหนาแน่นกว่าสร้างสนามที่แข็งแกร่งขึ้นได้อย่างไรจากการรวมกันของหลายส่วนประกอบ
สนามจากองค์ประกอบเล็ก ๆ $dq$ ที่ระยะ $r$ มีขนาด $dE = k\,dq/$ ____
แต่ละองค์ประกอบเป็นประจุจุด: $dE = k\,dq/r^2$
เลือก ทุก ขั้นตอนที่ถูกต้องสำหรับสนามของการกระจายประจุ
ความหนาแน่น → dE → อินทิเกรต การใช้ kQ/r² เดียวล้มเหลวเพราะ r แตกต่างกันสำหรับแต่ละองค์ประกอบ
ใช้สมมาตรเพื่อตัดองค์ประกอบ
- การบวกเวกเตอร์ยาก ดังนั้นให้ใช้ สมมาตร ทำงานแทน
- สำหรับรูปร่างที่มีสมมาตร องค์ประกอบแนวนอนจะ หักล้าง กันเป็นคู่
- เหลือเพียงองค์ประกอบตามแกนสมมาตรเท่านั้น
- ทำอินทิกรัลเฉพาะองค์ประกอบที่เหลืออยู่ — ลดพีชคณิตลงมาก
สำหรับประจุสมมาตร ส่วนประกอบสนามด้านข้างมักหักล้างกันเป็นคู่
สมมาตรหักล้างส่วนประกอบตั้งฉาก เหลือเพียงส่วนแกนกลางเท่านั้น
ตัวอย่างรูปทรงที่คำนวณแล้ว: เส้นตรง vôนัย
- สำหรับเส้นประจุ vôนัย ผลอินทิกรัลจะได้ $E = \dfrac{2k\lambda}{r}$
- ระวัง: มันลดลงตาม $1/r$, ไม่ใช่ $1/r^2$ — ประจุเพิ่มที่ไกลออกไปช่วยเสริม
- แผ่นที่มีประจุให้สนามที่ราบเรียบยิ่งกว่า, $E = \dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$ (คงที่)
- รูปร่างของวัตถุกำหนดความเร็วที่สนามจางลง
สนามของเส้นประจุแบบอนันต์ลดลงตาม:
เส้นอนันต์ให้ $E = 2k\lambda/r$ — ลดลงแบบ $1/r$
ระนาบที่มีประจุให้ $E = \sigma/(2\varepsilon_0)$. หาก $\sigma$ เพิ่มเป็นสองเท่า, $E$ จะใหญ่ขึ้นกี่เท่า?
$E \propto \sigma$, ดังนั้นการเพิ่ม $\sigma$ เป็นสองเท่าจะทำให้เพิ่ม $E$ เป็นสองเท่า
วงแหวนรัศมี $a$ มียึดประจุ $Q$. หา $E$ บนแกนมุม, ระยะ $x$ จากศูนย์กลาง
- ตามสมมาตร เหลือเพียงส่วนตามแกมเท่านั้น
- อินทิกรัลให้ $E = \dfrac{kQx}{(x^2 + a^2)^{3/2}}$ ชี้ตามแกม
คุณต้องบวกสนามย่อยๆ เป็น เวกเตอร์ ไม่ใช่แค่ขนาด การข้ามการใช้สมมาตรและบวกเพียงขนาดจะได้คำตอบผิด (ใหญ่เกินไป) — ต้องหักล้างองค์ประกอบที่สมมาตรตัดทิ้งก่อนเสมอ
สำหรับประจุกระจายตัว, เขียน $dq$ ด้วย ความหนาแน่น ($\lambda,\sigma,\rho$), หา $dE = k\,dq/r^2$ ของแต่ละองค์ประกอบ, และ อินทิกรัล $\vec E = \int d\vec E$. ใช้ สมมาตร เพื่อหักล้างองค์ประกอบ. เส้นตรง vôนัยให้ $E = 2k\lambda/r$; แผ่นให้ $E = \sigma/2\varepsilon_0$ คงที่