IGCSE Mathematics · Mathematics IGCSE · Topic 6 · หัวข้อ 6
8:37
ตรีโกณมิติ
那座塔有多高？你不能用它爬上去用卷尺。但你可以站在地面上，向后走五十米，测量一个角度——那个你…的角度
English narration · English + 中文 subtitles burned in · การบรรยายภาษาอังกฤษ · คำบรรยายภาษาอังกฤษ + 中文 ลอยตัวบนภาพ
This handout covers Topic 6, Trigonometry. Parts marked (Extended) are only tested on the Extended papers; everything else is for both levels. Give angle answers to one decimal place.
เอกสารนี้ครอบคลุม Topic 6, Trigonometry. ส่วนที่ติด (Extended) จะทดสอบเฉพาะใน Extended papers; ทุกอย่างอื่นสำหรับทั้งสองระดับ ให้ตอบมุมเป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Know and use Pythagoras’ theorem. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| รู้จักและใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
Pythagoras' theorem 勾股定理 links the three sides of a right-angled triangle 直角三角形 (a triangle 三角形 with one $90^{\circ}$ angle). If the longest side (the hypotenuse 斜边, opposite the right angle) is $c$, then
Use it to find a missing side.
Worked example. A right-angled triangle has a hypotenuse of $13\text{ cm}$ and one short side of $5\text{ cm}$. Find the other short side.
ทฤษฎีบท Pythagoras เชื่อมโยงสามด้านของ สามเหลี่ยมมุมฉาก (สามเหลี่ยม ที่มีมุม $90^{\circ}$ มุมหนึ่ง) หากด้านที่ยาวที่สุด (hypotenuse, ตรงข้ามมุมฉาก) คือ $c$ แล้ว
ใช้เพื่อหาค่าด้านที่หายไป
ตัวอย่างวิธีทำ. สามเหลี่ยมมุมฉากมี hypotenuse ยาว $13\text{ cm}$ และด้านสั้นข้างหนึ่งยาว $5\text{ cm}$ จงหาอีกด้านสั้น
Change the two short sides and see $a^2 + b^2 = c^2$ — the squares on the sides really do add up. · เปลี่ยนด้านสั้นทั้งสองข้างแล้วดู $a^2 + b^2 = c^2$ — สี่เหลี่ยมบนด้านต่างๆ相加กันจริงๆ
| English | ไทย |
|---|---|
| Pythagoras' theorem/paɪˈθæɡərəs ˈθɪərəm/ | ทฤษฎีบทพีทาโกรัส |
| right-angled triangle/raɪt ˈæŋɡld ˈtraɪæŋɡl/ | สามเหลี่ยมมุมฉาก |
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | สามเหลี่ยม |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | ด้านตรงข้ามมุมฉาก |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | ตรงกันข้าม |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | ข้างเคียง |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 รู้จักและใช้ค่าสัมประสิทธิ์ sin, cos และ tan สำหรับมุมแหลมในการคำนวณเกี่ยวกับด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก. | มุมจะถูกกำหนดเป็นองศา และคำตอบควรเขียนเป็นองศา พร้อมทศนิยมถึงตำแหน่งทศนิยมที่หนึ่ง. |
| 2 แก้ปัญหาในสองมิติโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและตรีโกณมิติ. | อาจจำเป็นต้องมีความรู้เรื่องทิศทาง (bearings). |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| 3 Know that the perpendicular distance from a point to a line is the shortest distance to the line. | |
| 4 Carry out calculations involving angles of elevation and depression. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 รู้จักและใช้ค่าสัมประสิทธิ์ sin, cos และ tan สำหรับมุมแหลมในการคำนวณเกี่ยวกับด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก. | มุมจะถูกกำหนดเป็นองศา และคำตอบควรเขียนเป็นองศา พร้อมทศนิยมถึงตำแหน่งทศนิยมที่หนึ่ง. |
| 2 แก้ปัญหาในสองมิติโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและตรีโกณมิติ. | อาจจำเป็นต้องมีความรู้เรื่องทิศทาง (bearings). |
| 3 รู้ว่าระยะทางตั้งฉากจากจุดไปยังเส้นตรงคือระยะทางสั้นที่สุดไปยังเส้นตรงนั้น. | |
| 4 ทำการคำนวณเกี่ยวกับมุมยกสูงและมุมลดต่ำ. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
Label the sides from the angle you are using: the opposite 对边 (across from the angle), the adjacent 邻边 (next to the angle), and the hypotenuse. The three ratios are the sine 正弦, cosine 余弦 and tangent ratio 正切 (sin, cos, tan):
Remember them as SOH-CAH-TOA. To find an angle, use the inverse ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Worked example (find a side). In a right-angled triangle the hypotenuse is $10\text{ cm}$ and the angle is $30^{\circ}$. Find the opposite side.
Worked example (find an angle). The opposite side is $4\text{ cm}$ and the adjacent side is $3\text{ cm}$.
กำหนดชื่อด้านจากมุมที่คุณกำลังใช้: ด้านตรงข้ามมุม (ตรงข้ามกับมุม), ด้านประชิดมุม (ติดกับมุม) และ ด้านตรงข้ามมุมฉาก อัตราสามอย่างนี้คือ อัตราส่วนไซน์, อัตราส่วนโคไซน์ และ อัตราส่วนแทนเจนต์ (sin, cos, tan):
จำ它以เป็น SOH-CAH-TOA. ในการหามุม ให้ใช้ฟังก์ชันผกผัน ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
ตัวอย่างทำแบบฝึกหัด (หาความยาวด้าน). ในสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านตรงข้ามมุม直角 (hypotenuse) มีค่า $10\text{ cm}$ และมุมหนึ่งมีค่า $30^{\circ}$. จงหาความยาวด้านตรงข้ามมุมนั้น
ตัวอย่างวิธีทำ (หามุม). ด้านตรงข้ามมุมมีขนาด $4\text{ cm}$ และด้านประชิดมุมมีขนาด $3\text{ cm}$.
Drag the angle on the unit circle to see where sin, cos and tan come from. · ลากมุมบนวงกลมหน่วยเพื่อดูว่า sin, cos และ tan มาจากที่ไหน
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Know and use the sine, cosine and tangent ratios for acute angles in calculations involving sides and angles of a right-angled triangle. | Angles will be given in degrees and answers should be written in degrees, with decimals correct to one decimal place. |
| 2 Solve problems in two dimensions using Pythagoras’ theorem and trigonometry. | Knowledge of bearings may be required. |
| 3 Know that the perpendicular distance from a point to a line is the shortest distance to the line. | |
| 4 Carry out calculations involving angles of elevation and depression. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 รู้จักและใช้ค่าสัมประสิทธิ์ sin, cos และ tan สำหรับมุมแหลมในการคำนวณเกี่ยวกับด้านและมุมของสามเหลี่ยมมุมฉาก. | มุมจะถูกกำหนดเป็นองศา และคำตอบควรเขียนเป็นองศา พร้อมทศนิยมถึงตำแหน่งทศนิยมที่หนึ่ง. |
| 2 แก้ปัญหาในสองมิติโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและตรีโกณมิติ. | อาจจำเป็นต้องมีความรู้เรื่องทิศทาง (bearings). |
| 3 รู้ว่าระยะทางตั้งฉากจากจุดไปยังเส้นตรงคือระยะทางสั้นที่สุดไปยังเส้นตรงนั้น. | |
| 4 ทำการคำนวณเกี่ยวกับมุมยกสูงและมุมลดต่ำ. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
The angle of elevation 仰角 is the angle up from the horizontal to an object above you. The angle of depression 俯角 is the angle down from the horizontal to an object below you. The shortest distance from a point to a line is the perpendicular 垂直 distance.
Worked example. From a point $50\text{ m}$ from the foot of a tower, the angle of elevation to the top is $40^{\circ}$. Find the height of the tower.
มุมยก คือมุมที่วัดขึ้นจากแนวราบไปยังวัตถุที่อยู่เหนือคุณ มุมลด คือมุมที่วัดลงมาจากแนวราบไปยังวัตถุที่อยู่ต่ำกว่าคุณ ระยะสั้นที่สุดจากจุดหนึ่งไปยังเส้นตรงคือระยะ ตั้งฉาก
ตัวอย่างวิธีทำ. จากจุด距 $50\text{ m}$ จากฐานของหอคอย มุมยกไปยังยอดหอคอยมีขนาด $40^{\circ}$. หาความสูงของหอคอย.
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Know the exact values of: 1 $\sin x$ and $\cos x$ for $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ and $90^\circ$. 2 $\tan x$ for $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ and $60^\circ$. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| รู้ค่าที่แน่นอนของ: 1 $\sin x$ และ $\cos x$ สำหรับ $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ และ $90^\circ$. 2 $\tan x$ สำหรับ $x = 0^\circ, 30^\circ, 45^\circ$ และ $60^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
You must know these exact values without a calculator.
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
คุณต้องจดจำค่าเหล่านี้ได้โดยไม่ต้องใช้เครื่องคิดเลข
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\tfrac{1}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\tfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\tfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\tfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | — |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Recognise, sketch and interpret the following graphs for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 Solve trigonometric equations involving $\sin x$, $\cos x$ or $\tan x$, for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | e.g. solve: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ for $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ชำแน, วาดแผนภาพ และตีความกราฟต่อไปนี้สำหรับ $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$: • $y = \sin x$ • $y = \cos x$ • $y = \tan x$. | |
| 2 แก้สมการตรีโกณมิติที่เกี่ยวข้องกับ $\sin x$, $\cos x$ หรือ $\tan x$, สำหรับ $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. | เช่น แก้: • $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ สำหรับ $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$ • $2 \cos x + 1 = 0$ สำหรับ $0^\circ \leqslant x \leqslant 360^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
For $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
A trigonometric equation 三角方程 often has more than one answer in this range. Use the graph (or the symmetry of the wave) to find them all.
Worked example. Solve $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ for $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
One answer is $x = 60^{\circ}$. The sine wave is also $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ at $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. So $x = 60^{\circ}$ or $120^{\circ}$.
Worked example. Solve $2\cos x + 1 = 0$ for $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$.
สำหรับ $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$:
สมการทริกโกนอมตรีมักจะมีคำตอบมากกว่าหนึ่งข้อในช่วงนี้ ใช้กราฟ (หรือความสมมาตรของคลื่น) เพื่อหาคำตอบทั้งหมด
ตัวอย่างวิธีทำ แก้ $\sin x = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ สำหรับ $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$
คำตอบหนึ่งคือ $x = 60^{\circ}$. คลื่นไซน์ยังมีค่า $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ ที่ $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$. ดังนั้น $x = 60^{\circ}$ หรือ $120^{\circ}$.
ตัวอย่างวิธีทำ แก้ $2\cos x + 1 = 0$ สำหรับ $0^{\circ} \leqslant x \leqslant 360^{\circ}$
(cos θ, sin θ)
As θ turns, sin and cos trace their waves — and repeat every 360°. · เมื่อ θ หมุน sin และ cos จะสร้างคลื่นTheir — และซ้ำทุก 360°
| English | ไทย |
|---|---|
| sine/saɪn/ | ไซน์ |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | คอสائن |
| tangent ratio/ˈtændʒənt ˈreɪʃɪəʊ/ | อัตราส่วน tangent |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | มุมยกสูง |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | มุมลดต่ำ |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ตั้งฉาก |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | สมการตรีโกณมิติ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| 1 Use the sine and cosine rules in calculations involving lengths and angles for any triangle. | Includes problems involving obtuse angles and the ambiguous case. |
| 2 Use the formula $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | The sine and cosine rules and the formula for area of a triangle are given in the List of formulas. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ใช้กฎไซน์และกฎโคไซน์ในการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับความยาวและมุมของสามเหลี่ยมใดๆ. | รวมถึงปัญหาที่เกี่ยวข้องกับมุมทื่อและกรณีที่ไม่ชัดเจน (ambiguous case). |
| 2 ใช้สูตร $\text{area of triangle} = \frac{1}{2} ab \sin C$. | กฎของไซน์และคอสइनกับสูตรพื้นที่สามเหลี่ยมมีอยู่ในรายการสูตร. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
For any triangle (not just right-angled), with sides $a, b, c$ opposite angles $A, B, C$:
Use the sine rule 正弦定理 when you have a side and its opposite angle. Use the cosine rule 余弦定理 when you have two sides and the angle between them, or all three sides. With the sine rule, watch for the ambiguous case 两解情况, where an angle could be acute or obtuse.
The area of any triangle is
Worked example. A triangle has $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ and the angle between them $A = 40^{\circ}$. Find side $a$.
สำหรับ ทุก สามเหลี่ยม (ไม่เพียงสามเหลี่ยมมุมฉาก) โดยมีด้าน $a, b, c$ ตรงข้ามมุม $A, B, C$:
ใช้ กฎไซน์ เมื่อคุณมีด้านและมุมตรงข้าม用它 Use the cosine rule when you have two sides and the angle between them, or all three sides. With the sine rule, watch for the ambiguous case, where an angle could be acute or obtuse.
พื้นที่ของสามเหลี่ยมใดๆ คือ
ตัวอย่างวิธีทำ. สามเหลี่ยมมีด้าน $b = 7\text{ cm}$, $c = 8\text{ cm}$ และมุมระหว่างสองด้านนั้นมีขนาด $A = 40^{\circ}$. หาความยาวด้าน $a$.
Two sides and the angle between them fix the triangle: the cosine rule finds the third side, the sine rule the other angles. · สองด้านและมุมระหว่างมันกำหนดรูปสามเหลี่ยม: กฎโคไซน์หาด้านที่สาม กฎسينหามุมอื่นๆ
Spin the angle on the unit circle: the horizontal leg is cos θ and the vertical leg is sin θ — the same ratios the sine and cosine rules use. · หมุนมุมบนวงกลมหน่วย: ขาแนวนอนคือ cos θ และขาแนวตั้งคือ sin θ — ซึ่งเป็นอัตราส่วนเดียวกันที่ใช้ในกฎ سینและกฎโคไซน์
| English | ไทย |
|---|---|
| sine rule/saɪn ruːl/ | กฎ سین |
| cosine rule/ˈkəʊsaɪn ruːl/ | กฎโคไซน์ |
| ambiguous case/æmˈbɪɡjuːəs keɪs/ | กรณีไม่ชัดเจน |
| plane/pleɪn/ | ระนาบ |
| Subject content | Notes and examples |
|---|---|
| Carry out calculations and solve problems in three dimensions using Pythagoras' theorem and trigonometry, including calculating the angle between a line and a plane. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ทำการคำนวณและแก้โจทย์ปัญหาในสามมิติโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและตรีโกณมิติ รวมถึงการหามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ. |
Source: Cambridge International syllabus · แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
In three dimensions, find a right-angled triangle inside the solid, then use Pythagoras or trigonometry on it. A common task is the angle between a line and a flat surface (a plane 平面).
Worked example. A box has a base $6\text{ cm}$ by $8\text{ cm}$ and height $5\text{ cm}$. Find the angle between a space diagonal and the base.
First the base diagonal: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. This diagonal and the height form a right-angled triangle, so the angle $\theta$ with the base is
ในสามมิติ ให้หาสามเหลี่ยมมุมฉากภายในรูปทรง solid แล้วใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือทริกโกนอมตรีกับสามเหลี่ยมนั้น ภารกิจทั่วไปคือการหามุมระหว่างเส้นตรงกับพื้นผิวแบน (ระนาบ)
ตัวอย่างวิธีทำ. กล่องมีฐานขนาด $6\text{ cm}$ x $8\text{ cm}$ และความสูง $5\text{ cm}$. หามุมระหว่างเส้นทแยมุมอวกาศกับฐาน
ก่อนอื่นหาเส้นทแยมุมฐาน: $\sqrt{6^{2} + 8^{2}} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$. เส้นทแยมุมนี้และความสูงสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก, ดังนั้นมุม $\theta$ กับฐานคือ
In a right-angled triangle a² + b² = c². The same idea, applied twice, gives lengths inside 3-D solids. · ในสามเหลี่ยมมุมฉาก a² + b² = c². หลักการเดียวกันนี้เมื่อใช้ซ้ำสองครั้ง จะได้ความยาวภายในรูปทรง3-D
Work through it step by step, with instant-check exercises. · ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที
Past Papers · ข้อสอบย้อนหลัง
Loading subjects… · กำลังโหลดวิชา…