เอกสารฉบับนี้ครอบคลุมหัวข้อที่ 4 เรขาคณิต ส่วนที่ระบุ (Extended) จะถูกทดสอบเฉพาะในข้อสอบระดับ Extended เท่านั้น ส่วนที่เหลือเป็นสำหรับทั้งสองระดับ ในการทำข้อสอบ คุณต้อง ให้เหตุผล โดยใช้ชื่อนามศัพท์ที่ถูกต้องด้านล่าง ไม่ใช่เพียงตัวเลข
เรขาคณิต
Mathematics IGCSE · หัวข้อ 4
13:25
เรขาคณิต
มองใกล้ๆ ที่รังผึ้ง ทุกเซลล์เป็นรูปหกเหลี่ยม — ข้างตรงหกด้าน ยาวเท่ากัน ไม่ใช่สี่เหลี่ยม ไม่ใช่ห้าเหลี่ยม เป็นหกเหลี่ยม ผึ้งไม่เคยเรียนเรขาคณิตแต่…
การบรรยายภาษาอังกฤษ · คำบรรยายภาษาอังกฤษ + 中文 ลอยตัวบนภาพ
4.1
เส้นตรงและมุม
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ใช้และตีความพจน์ทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • จุด • จุดยอด • เส้นตรง • ขนาน • ตั้งฉาก • ทิศทาง • มุมฉาก • มุมแหลม มุมอับ และมุมเกิน • มุมภายในและมุมภายนอก • คล้ายกัน • เดียวกัน • อัตราส่วนการขยาย/หด | ไม่จำเป็นต้องแสดงว่ารูปสองรูปมีความ congruent |
| 2 ใช้และตีความคำศัพท์เกี่ยวกับ: • สามเหลี่ยม • สี่เหลี่ยมพิเศษ • รูปหลายเหลี่ยม • กราฟคลี่ •形体ทรงกระบอกง่าย | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้: สามเหลี่ยม: •形สามเหลี่ยมด้านเท่า •形สามเหลี่ยมด้านเท่า •形สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า •形สามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยม: •形สี่เหลี่ยมจัตุรัส •形สี่เหลี่ยมผืนผ้า •形หอยนางรม •形สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน •形สี่เหลี่ยมขนาน •形สี่เหลี่ยมคางหมู รูปหลายเหลี่ยม: •形รูปหลายเหลี่ยมปกติและไม่ปกติ •形ห้าเหลี่ยม •形หกเหลี่ยม •形แปดเหลี่ยม •形สิบเหลี่ยม |
| 形体ทรงกระบอกง่าย: •形ลูกบาศก์ •形ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก •形ปริซึม •形ทรงกระบอก •形กรวย •形ทรงกรวย •形ทรงกลม (ไม่จำเป็นต้องใช้คำว่า 'hemisphere') •หน้า •พื้นผิว •ขอบ | |
| 3 ใช้และตีความคำศัพท์เกี่ยวกับวงกลม | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้: •จุดศูนย์กลาง •รัศมี (plural radii) •เส้นผ่านศูนย์กลาง •เส้นรอบวง •ครึ่งวงกลม •สายคอร์ด •สัมผัส •ส่วนโค้ง •ส่วนตัดวง •ส่วนต่างวง |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ใช้และตีความพจน์ทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • จุด • จุดยอด • เส้นตรง •ระนาบ • ขนานกัน • ตั้งฉาก • เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง • ทิศทาง (bearing) • มุมฉาก • มุมแหลม, มุมทื่อ และมุมเกิน • มุมภายในและมุมภายนอก • เล็กกว่าแต่คล้ายกัน • สัมบูรณ์กัน • อัตราส่วนสเกล | ผู้เข้าสอบไม่จำเป็นต้องแสดงว่ารูปสองรูปนั้นสัมบูรณ์กัน |
| 2 ใช้และตีความคำศัพท์ของ: • สามเหลี่ยม • รูปสี่เหลี่ยมพิเศษ • รูปหลายเหลี่ยม •平面图 (nets) •形体 solids. | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้ สามเหลี่ยม: • สามเหลี่ยมด้านเท่า • สามเหลี่ยมหน้าจั่ว • สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า • สามเหลี่ยมมุมฉาก. รูปสี่เหลี่ยม: • สี่เหลี่ยมจัตุรัส • สี่เหลี่ยมผืนผ้า • สี่เหลี่ยมหัวห่าน • สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน • สี่เหลี่ยมขนาน • สี่เหลี่ยมคางหมู. |
| รูปหลายเหลี่ยม: • รูปหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอ • ห้าเหลี่ยม • หกเหลี่ยม • แปดเหลี่ยม • สิบเหลี่ยม.形体: • ลูกบาศก์ • สี่เหลี่ยมผืนผ้าสามมิติ •棱柱 prisms •ทรงกระบอก cylinders •กรวย pyramids •กรวยกลม cones •ทรงกลม spheres •ทรงครึ่งลูก半球 hemispheres •ทรงกรวยตัดปลาย frustums •หน้า faces •พื้นผิว surfaces •เส้นขอบ edges. | |
| 3 ใช้และตีความคำศัพท์ของวงกลม | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้: •จุดศูนย์กลาง •รัศมี (plural radii) •เส้นผ่านศูนย์กลาง •เส้นรอบวง •ครึ่งวงกลม •สายคอร์ด •เส้นสัมผัส •ส่วนโค้งใหญ่และส่วน弧เล็ก •ส่วนวงกลม sector •ส่วนตัดวง segment. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
จุดยอดคือมุมที่เกิดจากเส้นสองเส้นบรรจบกัน เส้นสองเส้นจะ ขนาน กันหากไม่ตัดกัน และจะ ตั้งฉาก กันหากตัดกันที่มุมฉาก มุมถูกกำหนดชื่อตามขนาดของมุนั้นๆ:
| ชื่อ | ขนาด |
|---|---|
| มุมแหลม | น้อยกว่า $90^{\circ}$ |
| มุมฉาก | เท่ากับ $90^{\circ}$ พอดี |
| มุมทู่ | ระหว่าง $90^{\circ}$ และ $180^{\circ}$ |
| มุมกลับ | ระหว่าง $180^{\circ}$ และ $360^{\circ}$ |
เราระบุชื่อมุมด้วยสามตัวอักษร เช่น มุม $ABC$ คือมุมอยู่ที่ $B$
สำรวจ
ห้องปฏิบัติการรูปทรงและมุม
จำแนกข้อเท็จจริงเกี่ยวกับมุมตามลักษณะในแผนภาพที่ทำให้เกิดมุนั้นๆ
4.6
ความจริงเกี่ยวกับมุม
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและอธิบายอย่างสั้นๆ โดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • ผลรวมของมุมที่จุดหนึ่ง = 360° • ผลรวมของมุมบนเส้นตรงที่จุดหนึ่ง = 180° • มุมตรงข้ามยอดเท่ากัน • ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม = 180° และผลรวมมุมของสี่เหลี่ยม = 360° | ต้องรู้การใช้สัญลักษณ์สามตัวอักษรสำหรับมุม เช่น angle $ABC$ ผู้เข้าสอบควรใช้คำศัพท์ทางเรขาคณิตที่ถูกต้องในการให้เหตุผลสำหรับคำตอบ |
| 2 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายทางเรขาคณิตสำหรับมุมที่เกิดภายในเส้นขนาน: • มุม correspnding เท่ากัน • มุม alternate เท่ากัน • มุม co-interior รวมกันได้ 180° ( supplementary). | |
| 3 รู้จักและใช้คุณสมบัติของมุมในรูปหลายเหลี่ยมปกติ | รวมถึงมุมภายนอกและมุมภายใน และผลรวมมุม |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายง่ายๆ โดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • ผลรวมของมุมรอบจุด = 360° • ผลรวมของมุมบนจุดบนเส้นตรง = 180° • มุมตรงข้ามยอดเท่ากัน • ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม = 180° และผลรวมมุมของสี่เหลี่ยม = 360°. | ต้องมีความรู้เกี่ยวกับ 3-letter notation สำหรับมุม เช่น มุม $ABC$. ผู้เข้าสอบควรใช้คำศัพท์ทางเรขาคณิตที่ถูกต้องในการให้เหตุผลสำหรับคำตอบ |
| 2 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายทางเรขาคณิตสำหรับมุมที่เกิดภายในเส้นขนาน: • มุม correspnding เท่ากัน • มุม alternate เท่ากัน • มุม co-interior รวมกันได้ 180° ( supplementary). | |
| 3 รู้จักและใช้คุณสมบัติของมุมของรูปหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอ. | รวมถึงมุมภายนอกและมุมภายใน, และผลรวมมุม. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
จำความจริงพื้นฐานเหล่านี้ไว้ แต่ละข้อถือเป็นเหตุผลที่ยอมรับได้ในข้อสอบ
- ผลรวมมุมรอบจุดหนึ่งเท่ากับ $360^{\circ}$
- ผลรวมมุมบนเส้นตรงเท่ากับ $180^{\circ}$
- มุมตรงข้ามจุดยอด (เกิดจากเส้นสองเส้นตัดกัน) มีค่าเท่ากัน
ตัวอย่างวิธีทำ. สามมุมบนเส้นตรงมีค่า $x$, $50^{\circ}$ และ $70^{\circ}$ จงหาค่า $x$
$$x + 50 + 70 = 180 \;\Rightarrow\; x = 60^{\circ}.$$
สำรวจ
ห้องปฏิบัติการเส้นขนานและรูปหลายเหลี่ยม
เลือกกฎมุมที่จะ解开แต่ละแผนภาพ
4.6
มุมในเส้นขนาน
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและอธิบายอย่างสั้นๆ โดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • ผลรวมของมุมที่จุดหนึ่ง = 360° • ผลรวมของมุมบนเส้นตรงที่จุดหนึ่ง = 180° • มุมตรงข้ามยอดเท่ากัน • ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม = 180° และผลรวมมุมของสี่เหลี่ยม = 360° | ต้องรู้การใช้สัญลักษณ์สามตัวอักษรสำหรับมุม เช่น angle $ABC$ ผู้เข้าสอบควรใช้คำศัพท์ทางเรขาคณิตที่ถูกต้องในการให้เหตุผลสำหรับคำตอบ |
| 2 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายทางเรขาคณิตสำหรับมุมที่เกิดภายในเส้นขนาน: • มุม correspnding เท่ากัน • มุม alternate เท่ากัน • มุม co-interior รวมกันได้ 180° ( supplementary). | |
| 3 รู้จักและใช้คุณสมบัติของมุมในรูปหลายเหลี่ยมปกติ | รวมถึงมุมภายนอกและมุมภายใน และผลรวมมุม |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายง่ายๆ โดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • ผลรวมของมุมรอบจุด = 360° • ผลรวมของมุมบนจุดบนเส้นตรง = 180° • มุมตรงข้ามยอดเท่ากัน • ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม = 180° และผลรวมมุมของสี่เหลี่ยม = 360°. | ต้องมีความรู้เกี่ยวกับ 3-letter notation สำหรับมุม เช่น มุม $ABC$. ผู้เข้าสอบควรใช้คำศัพท์ทางเรขาคณิตที่ถูกต้องในการให้เหตุผลสำหรับคำตอบ |
| 2 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายทางเรขาคณิตสำหรับมุมที่เกิดภายในเส้นขนาน: • มุม correspnding เท่ากัน • มุม alternate เท่ากัน • มุม co-interior รวมกันได้ 180° ( supplementary). | |
| 3 รู้จักและใช้คุณสมบัติของมุมของรูปหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอ. | รวมถึงมุมภายนอกและมุมภายใน, และผลรวมมุม. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
เมื่อเส้นตรงตัดเส้นขนานสองเส้น:
- มุม correspnding (อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน รูป "F") มีค่าเท่ากัน
- มุมสลับด้าน (อยู่คนละข้างของเส้นตัด รูป "Z") มีค่าเท่ากัน
- มุมภายในร่วม (รูป "C") ผลรวมเท่ากับ $180^{\circ}$; เราเรียกว่ามุม supplementary
ตัวอย่างวิธีทำ. เส้นตรงตัดเส้นขนานสองเส้น มุมหนึ่งมีค่า $110^{\circ}$ มุมภายในร่วม $y$ สอดคล้องกับ $110 + y = 180$ ดังนั้น $y = 70^{\circ}$
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| vertex/ˈvɜːteks/ | จุดยอด |
| parallel/ˈpærəlel/ | 并联电路中 |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | ตั้งฉาก |
| acute angle/əˈkjuːt ˈæŋɡl/ | มุมแหลม |
| right angle/raɪt ˈæŋɡl/ | มุมฉาก |
| obtuse angle/ɒbˈtjuːs ˈæŋɡl/ | มุมทแยง |
| reflex angle/ˈriːfleks ˈæŋɡl/ | มุมกลับ |
| vertically opposite angles/ˈvɜːtɪkli ˈɒpəzɪt ˈæŋɡlz/ | มุมตรงข้ามยอด |
| corresponding angles/ˌkɒrɪˈspɒndɪŋ ˈæŋɡlz/ | มุมแทนที่ |
| alternate angles/ɔːlˈtɜːnət ˈæŋɡlz/ | มุมสลับด้าน |
| co-interior angles/kəʊ ɪnˈtɪərɪə ˈæŋɡlz/ | มุมภายในข้างกัน |
| supplementary/ˌsʌplɪˈmentəri/ | มุม supplementary |
4.1
สามเหลี่ยม
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ใช้และตีความพจน์ทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • จุด • จุดยอด • เส้นตรง • ขนาน • ตั้งฉาก • ทิศทาง • มุมฉาก • มุมแหลม มุมอับ และมุมเกิน • มุมภายในและมุมภายนอก • คล้ายกัน • เดียวกัน • อัตราส่วนการขยาย/หด | ไม่จำเป็นต้องแสดงว่ารูปสองรูปมีความ congruent |
| 2 ใช้และตีความคำศัพท์เกี่ยวกับ: • สามเหลี่ยม • สี่เหลี่ยมพิเศษ • รูปหลายเหลี่ยม • กราฟคลี่ •形体ทรงกระบอกง่าย | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้: สามเหลี่ยม: •形สามเหลี่ยมด้านเท่า •形สามเหลี่ยมด้านเท่า •形สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า •形สามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยม: •形สี่เหลี่ยมจัตุรัส •形สี่เหลี่ยมผืนผ้า •形หอยนางรม •形สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน •形สี่เหลี่ยมขนาน •形สี่เหลี่ยมคางหมู รูปหลายเหลี่ยม: •形รูปหลายเหลี่ยมปกติและไม่ปกติ •形ห้าเหลี่ยม •形หกเหลี่ยม •形แปดเหลี่ยม •形สิบเหลี่ยม |
| 形体ทรงกระบอกง่าย: •形ลูกบาศก์ •形ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก •形ปริซึม •形ทรงกระบอก •形กรวย •形ทรงกรวย •形ทรงกลม (ไม่จำเป็นต้องใช้คำว่า 'hemisphere') •หน้า •พื้นผิว •ขอบ | |
| 3 ใช้และตีความคำศัพท์เกี่ยวกับวงกลม | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้: •จุดศูนย์กลาง •รัศมี (plural radii) •เส้นผ่านศูนย์กลาง •เส้นรอบวง •ครึ่งวงกลม •สายคอร์ด •สัมผัส •ส่วนโค้ง •ส่วนตัดวง •ส่วนต่างวง |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ใช้และตีความพจน์ทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • จุด • จุดยอด • เส้นตรง •ระนาบ • ขนานกัน • ตั้งฉาก • เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง • ทิศทาง (bearing) • มุมฉาก • มุมแหลม, มุมทื่อ และมุมเกิน • มุมภายในและมุมภายนอก • เล็กกว่าแต่คล้ายกัน • สัมบูรณ์กัน • อัตราส่วนสเกล | ผู้เข้าสอบไม่จำเป็นต้องแสดงว่ารูปสองรูปนั้นสัมบูรณ์กัน |
| 2 ใช้และตีความคำศัพท์ของ: • สามเหลี่ยม • รูปสี่เหลี่ยมพิเศษ • รูปหลายเหลี่ยม •平面图 (nets) •形体 solids. | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้ สามเหลี่ยม: • สามเหลี่ยมด้านเท่า • สามเหลี่ยมหน้าจั่ว • สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า • สามเหลี่ยมมุมฉาก. รูปสี่เหลี่ยม: • สี่เหลี่ยมจัตุรัส • สี่เหลี่ยมผืนผ้า • สี่เหลี่ยมหัวห่าน • สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน • สี่เหลี่ยมขนาน • สี่เหลี่ยมคางหมู. |
| รูปหลายเหลี่ยม: • รูปหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอ • ห้าเหลี่ยม • หกเหลี่ยม • แปดเหลี่ยม • สิบเหลี่ยม.形体: • ลูกบาศก์ • สี่เหลี่ยมผืนผ้าสามมิติ •棱柱 prisms •ทรงกระบอก cylinders •กรวย pyramids •กรวยกลม cones •ทรงกลม spheres •ทรงครึ่งลูก半球 hemispheres •ทรงกรวยตัดปลาย frustums •หน้า faces •พื้นผิว surfaces •เส้นขอบ edges. | |
| 3 ใช้และตีความคำศัพท์ของวงกลม | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้: •จุดศูนย์กลาง •รัศมี (plural radii) •เส้นผ่านศูนย์กลาง •เส้นรอบวง •ครึ่งวงกลม •สายคอร์ด •เส้นสัมผัส •ส่วนโค้งใหญ่และส่วน弧เล็ก •ส่วนวงกลม sector •ส่วนตัดวง segment. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
สามเหลี่ยม มีสามด้านและมุมผลรวมเท่ากับ $180^{\circ}$
| ประเภท | คุณสมบัติ |
|---|---|
| สามเหลี่ยมด้านเท่า | ด้านทั้งหมดเท่ากัน, มุมทั้งหมด $60^{\circ}$ |
| สามเหลี่ยมหน้าจั่ว | สองด้านเท่ากัน, สองมุมเท่ากัน |
| สามเหลี่ยมด้านไม่เท่ากัน | ด้านทั้งหมดและมุมทั้งหมดต่างกัน |
| สามเหลี่ยมมุมฉาก | มีมุมฉากหนึ่งมุม |
ตัวอย่างวิธีทำ. สามเหลี่ยมมีมุม $x$, $2x$ และ $90^{\circ}$ จงหาค่า $x$
$$x + 2x + 90 = 180 \;\Rightarrow\; 3x = 90 \;\Rightarrow\; x = 30^{\circ}.$$
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| triangle/ˈtraɪæŋɡl/ | สามเหลี่ยม |
| equilateral/ˌiːkwɪˈlætərəl/ | สามเหลี่ยมด้านเท่า |
| isosceles/aɪˈsɒsəliːz/ | สามเหลี่ยมด้านขนาน |
| scalene/ˈskeɪliːn/ | สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า |
4.1
สี่เหลี่ยม
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ใช้และตีความพจน์ทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • จุด • จุดยอด • เส้นตรง • ขนาน • ตั้งฉาก • ทิศทาง • มุมฉาก • มุมแหลม มุมอับ และมุมเกิน • มุมภายในและมุมภายนอก • คล้ายกัน • เดียวกัน • อัตราส่วนการขยาย/หด | ไม่จำเป็นต้องแสดงว่ารูปสองรูปมีความ congruent |
| 2 ใช้และตีความคำศัพท์เกี่ยวกับ: • สามเหลี่ยม • สี่เหลี่ยมพิเศษ • รูปหลายเหลี่ยม • กราฟคลี่ •形体ทรงกระบอกง่าย | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้: สามเหลี่ยม: •形สามเหลี่ยมด้านเท่า •形สามเหลี่ยมด้านเท่า •形สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า •形สามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยม: •形สี่เหลี่ยมจัตุรัส •形สี่เหลี่ยมผืนผ้า •形หอยนางรม •形สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน •形สี่เหลี่ยมขนาน •形สี่เหลี่ยมคางหมู รูปหลายเหลี่ยม: •形รูปหลายเหลี่ยมปกติและไม่ปกติ •形ห้าเหลี่ยม •形หกเหลี่ยม •形แปดเหลี่ยม •形สิบเหลี่ยม |
| 形体ทรงกระบอกง่าย: •形ลูกบาศก์ •形ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก •形ปริซึม •形ทรงกระบอก •形กรวย •形ทรงกรวย •形ทรงกลม (ไม่จำเป็นต้องใช้คำว่า 'hemisphere') •หน้า •พื้นผิว •ขอบ | |
| 3 ใช้และตีความคำศัพท์เกี่ยวกับวงกลม | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้: •จุดศูนย์กลาง •รัศมี (plural radii) •เส้นผ่านศูนย์กลาง •เส้นรอบวง •ครึ่งวงกลม •สายคอร์ด •สัมผัส •ส่วนโค้ง •ส่วนตัดวง •ส่วนต่างวง |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ใช้และตีความพจน์ทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • จุด • จุดยอด • เส้นตรง •ระนาบ • ขนานกัน • ตั้งฉาก • เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง • ทิศทาง (bearing) • มุมฉาก • มุมแหลม, มุมทื่อ และมุมเกิน • มุมภายในและมุมภายนอก • เล็กกว่าแต่คล้ายกัน • สัมบูรณ์กัน • อัตราส่วนสเกล | ผู้เข้าสอบไม่จำเป็นต้องแสดงว่ารูปสองรูปนั้นสัมบูรณ์กัน |
| 2 ใช้และตีความคำศัพท์ของ: • สามเหลี่ยม • รูปสี่เหลี่ยมพิเศษ • รูปหลายเหลี่ยม •平面图 (nets) •形体 solids. | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้ สามเหลี่ยม: • สามเหลี่ยมด้านเท่า • สามเหลี่ยมหน้าจั่ว • สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า • สามเหลี่ยมมุมฉาก. รูปสี่เหลี่ยม: • สี่เหลี่ยมจัตุรัส • สี่เหลี่ยมผืนผ้า • สี่เหลี่ยมหัวห่าน • สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน • สี่เหลี่ยมขนาน • สี่เหลี่ยมคางหมู. |
| รูปหลายเหลี่ยม: • รูปหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอ • ห้าเหลี่ยม • หกเหลี่ยม • แปดเหลี่ยม • สิบเหลี่ยม.形体: • ลูกบาศก์ • สี่เหลี่ยมผืนผ้าสามมิติ •棱柱 prisms •ทรงกระบอก cylinders •กรวย pyramids •กรวยกลม cones •ทรงกลม spheres •ทรงครึ่งลูก半球 hemispheres •ทรงกรวยตัดปลาย frustums •หน้า faces •พื้นผิว surfaces •เส้นขอบ edges. | |
| 3 ใช้และตีความคำศัพท์ของวงกลม | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้: •จุดศูนย์กลาง •รัศมี (plural radii) •เส้นผ่านศูนย์กลาง •เส้นรอบวง •ครึ่งวงกลม •สายคอร์ด •เส้นสัมผัส •ส่วนโค้งใหญ่และส่วน弧เล็ก •ส่วนวงกลม sector •ส่วนตัดวง segment. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
สี่เหลี่ยม มีสี่ด้านและมุมผลรวมเท่ากับ $360^{\circ}$
| รูปร่าง | คุณสมบัติ |
|---|---|
| สี่เหลี่ยมจัตุรัส | ด้านทั้งสี่เท่ากัน, มุมฉากสี่มุม |
| สี่เหลี่ยมผืนผ้า | ด้านตรงข้ามเท่ากัน, มุมฉากสี่มุม |
| สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน | ด้านตรงข้ามขนานกันและเท่ากัน |
| สี่เหลี่ยมจั่ว | ด้านทั้งสี่เท่ากัน, ด้านตรงข้ามขนานกัน |
| สี่เหลี่ยมว่าว | คู่ของด้านเท่ากันสองคู่ติดกัน |
| สี่เหลี่ยมคางหมู | คู่ของด้านขนานกันหนึ่งคู่ |
4.6
รูปหลายเหลี่ยม
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและอธิบายอย่างสั้นๆ โดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • ผลรวมของมุมที่จุดหนึ่ง = 360° • ผลรวมของมุมบนเส้นตรงที่จุดหนึ่ง = 180° • มุมตรงข้ามยอดเท่ากัน • ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม = 180° และผลรวมมุมของสี่เหลี่ยม = 360° | ต้องรู้การใช้สัญลักษณ์สามตัวอักษรสำหรับมุม เช่น angle $ABC$ ผู้เข้าสอบควรใช้คำศัพท์ทางเรขาคณิตที่ถูกต้องในการให้เหตุผลสำหรับคำตอบ |
| 2 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายทางเรขาคณิตสำหรับมุมที่เกิดภายในเส้นขนาน: • มุม correspnding เท่ากัน • มุม alternate เท่ากัน • มุม co-interior รวมกันได้ 180° ( supplementary). | |
| 3 รู้จักและใช้คุณสมบัติของมุมในรูปหลายเหลี่ยมปกติ | รวมถึงมุมภายนอกและมุมภายใน และผลรวมมุม |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายง่ายๆ โดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • ผลรวมของมุมรอบจุด = 360° • ผลรวมของมุมบนจุดบนเส้นตรง = 180° • มุมตรงข้ามยอดเท่ากัน • ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม = 180° และผลรวมมุมของสี่เหลี่ยม = 360°. | ต้องมีความรู้เกี่ยวกับ 3-letter notation สำหรับมุม เช่น มุม $ABC$. ผู้เข้าสอบควรใช้คำศัพท์ทางเรขาคณิตที่ถูกต้องในการให้เหตุผลสำหรับคำตอบ |
| 2 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายทางเรขาคณิตสำหรับมุมที่เกิดภายในเส้นขนาน: • มุม correspnding เท่ากัน • มุม alternate เท่ากัน • มุม co-interior รวมกันได้ 180° ( supplementary). | |
| 3 รู้จักและใช้คุณสมบัติของมุมของรูปหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอ. | รวมถึงมุมภายนอกและมุมภายใน, และผลรวมมุม. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
** многоугольник (polygon)** คือรูปร่างที่มีด้านตรง ** многоугольникปกติ (regular polygon)** มีด้านทั้งหมดและมุมทั้งหมดเท่ากัน
| จำนวนด้าน | ชื่อเรียก |
|---|---|
| 5 | ห้าเหลี่ยม |
| 6 | หกเหลี่ยม |
| 8 | แปดเหลี่ยม |
| 10 | สิบเหลี่ยม |
สำหรับหลายเหลี่ยมที่มี $n$ ด้าน:
$$\text{sum of interior angles} = (n - 2) \times 180^{\circ}, \qquad \text{sum of exterior angles} = 360^{\circ}.$$
มุมภายใน และ มุมภายนอก ที่แต่ละมุมยอดผลรวมกันได้ $180^{\circ}$
ตัวอย่างวิธีทำ. หาขนาดมุมภายในของแต่ละมุมของหกเหลี่ยมปกติ
มุมภายนอกคือ $\dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ}$ ดังนั้นมุมภายในแต่ละมุมคือ $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| polygon/ˈpɒlɪɡən/ | รูปหลายเหลี่ยม |
| regular polygon/ˈreɡjʊlə ˈpɒlɪɡən/ | รูป многоугольникregular polygon |
| pentagon/ˈpentæɡən/ | รูปห้าเหลี่ยม |
| hexagon/ˈheksæɡən/ | หกเหลี่ยม |
| octagon/ˈɒktæɡən/ | รูปแปดเหลี่ยม |
| decagon/dɪˈkæɡən/ | รูปสิบเหลี่ยม |
| interior angle/ɪnˈtɪərɪə ˈæŋɡl/ | มุมภายใน |
| exterior angle/ekˈstɪərɪə ˈæŋɡl/ | มุมภายนอก |
| line symmetry/laɪn ˈsɪmətri/ | สมมาตรตามแนวเส้นตรง |
| rotational symmetry/rəʊˈteɪʃənl ˈsɪmətri/ | ความสมมาตรหมุน |
| plane of symmetry/pleɪn ɒv ˈsɪmətri/ | ระนาบสมมาตร |
| axis of symmetry/ˈæksɪs ɒv ˈsɪmətri/ | แกนสมมาตร |
4.5
สมมาตร
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ระบุความสมมาตรแนวตั้งและความสมมาตรหมุนในสองมิติ | รวมถึงคุณสมบัติของสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และรูปหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับความสมมาตร |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ชำแนสมมาตรแบบสะท้อน (line symmetry) และลำดับสมมาตรแบบหมุน (order of rotational symmetry) ในสองมิติ. | รวมถึงคุณสมบัติของสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม และรูปหลายเหลี่ยมที่เกี่ยวข้องโดยตรงกับสมมาตรของมัน. |
| 2 ชำแนสมมาตรของคุณสมบัติของ棱柱, ทรงกระบอก, กรวย และกรวยกลม. | เช่น ระบุระนาบและแกนสมมาตร. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
- รูปร่างจะมี สมมาตรเชิงเส้น หากเส้นกระจกแบ่งมันออกเป็นครึ่งที่เหมือนกัน
- รูปร่างจะมี สมมาตรเชิงหมุน หากมันทับลงบนตัวเองได้ขณะหมุน ระดับความเป็นระเบียบคือจำนวนครั้งที่มันทับลงบนตัวเองในรอบเดียว
สำหรับวัตถุสามมิติ (Extended) การตัดแบบแบนที่แบ่งวัตถุให้เป็นครึ่งสะท้อนกันเรียกว่า ระนาบสมมาตร และเส้นที่คุณสามารถหมุนมันรอบนั้นได้เรียกว่า แกนสมมาตร
สำรวจ
ความสมมาตรด้วยการสะท้อน
รูปทรงมีเส้นสมมาตรหากสะท้อนแล้วไม่เปลี่ยนแปลง สะท้อนรูปทรงและดูว่าสิ่งใดคงอยู่เดิม.
4.1
วงกลม: ส่วนประกอบ
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ใช้และตีความพจน์ทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • จุด • จุดยอด • เส้นตรง • ขนาน • ตั้งฉาก • ทิศทาง • มุมฉาก • มุมแหลม มุมอับ และมุมเกิน • มุมภายในและมุมภายนอก • คล้ายกัน • เดียวกัน • อัตราส่วนการขยาย/หด | ไม่จำเป็นต้องแสดงว่ารูปสองรูปมีความ congruent |
| 2 ใช้และตีความคำศัพท์เกี่ยวกับ: • สามเหลี่ยม • สี่เหลี่ยมพิเศษ • รูปหลายเหลี่ยม • กราฟคลี่ •形体ทรงกระบอกง่าย | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้: สามเหลี่ยม: •形สามเหลี่ยมด้านเท่า •形สามเหลี่ยมด้านเท่า •形สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า •形สามเหลี่ยมมุมฉาก สี่เหลี่ยม: •形สี่เหลี่ยมจัตุรัส •形สี่เหลี่ยมผืนผ้า •形หอยนางรม •形สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน •形สี่เหลี่ยมขนาน •形สี่เหลี่ยมคางหมู รูปหลายเหลี่ยม: •形รูปหลายเหลี่ยมปกติและไม่ปกติ •形ห้าเหลี่ยม •形หกเหลี่ยม •形แปดเหลี่ยม •形สิบเหลี่ยม |
| 形体ทรงกระบอกง่าย: •形ลูกบาศก์ •形ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก •形ปริซึม •形ทรงกระบอก •形กรวย •形ทรงกรวย •形ทรงกลม (ไม่จำเป็นต้องใช้คำว่า 'hemisphere') •หน้า •พื้นผิว •ขอบ | |
| 3 ใช้และตีความคำศัพท์เกี่ยวกับวงกลม | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้: •จุดศูนย์กลาง •รัศมี (plural radii) •เส้นผ่านศูนย์กลาง •เส้นรอบวง •ครึ่งวงกลม •สายคอร์ด •สัมผัส •ส่วนโค้ง •ส่วนตัดวง •ส่วนต่างวง |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 ใช้และตีความพจน์ทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • จุด • จุดยอด • เส้นตรง •ระนาบ • ขนานกัน • ตั้งฉาก • เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่ง • ทิศทาง (bearing) • มุมฉาก • มุมแหลม, มุมทื่อ และมุมเกิน • มุมภายในและมุมภายนอก • เล็กกว่าแต่คล้ายกัน • สัมบูรณ์กัน • อัตราส่วนสเกล | ผู้เข้าสอบไม่จำเป็นต้องแสดงว่ารูปสองรูปนั้นสัมบูรณ์กัน |
| 2 ใช้และตีความคำศัพท์ของ: • สามเหลี่ยม • รูปสี่เหลี่ยมพิเศษ • รูปหลายเหลี่ยม •平面图 (nets) •形体 solids. | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้ สามเหลี่ยม: • สามเหลี่ยมด้านเท่า • สามเหลี่ยมหน้าจั่ว • สามเหลี่ยมด้านไม่เท่า • สามเหลี่ยมมุมฉาก. รูปสี่เหลี่ยม: • สี่เหลี่ยมจัตุรัส • สี่เหลี่ยมผืนผ้า • สี่เหลี่ยมหัวห่าน • สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน • สี่เหลี่ยมขนาน • สี่เหลี่ยมคางหมู. |
| รูปหลายเหลี่ยม: • รูปหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอ • ห้าเหลี่ยม • หกเหลี่ยม • แปดเหลี่ยม • สิบเหลี่ยม.形体: • ลูกบาศก์ • สี่เหลี่ยมผืนผ้าสามมิติ •棱柱 prisms •ทรงกระบอก cylinders •กรวย pyramids •กรวยกลม cones •ทรงกลม spheres •ทรงครึ่งลูก半球 hemispheres •ทรงกรวยตัดปลาย frustums •หน้า faces •พื้นผิว surfaces •เส้นขอบ edges. | |
| 3 ใช้และตีความคำศัพท์ของวงกลม | รวมถึงพจน์ต่อไปนี้: •จุดศูนย์กลาง •รัศมี (plural radii) •เส้นผ่านศูนย์กลาง •เส้นรอบวง •ครึ่งวงกลม •สายคอร์ด •เส้นสัมผัส •ส่วนโค้งใหญ่และส่วน弧เล็ก •ส่วนวงกลม sector •ส่วนตัดวง segment. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
| พจน์ | ความหมาย |
|---|---|
| วงกลม | จุดทั้งหมดอยู่บนระยะห่างเท่ากันจากศูนย์กลาง |
| ศูนย์กลาง | จุดกึ่งกลาง |
| รัศมี | จากศูนย์กลางไปยังขอบ (พหูพจน์ radii) |
| เส้นผ่านศูนย์กลาง | ตัดขวางผ่านศูนย์กลาง ($= 2 \times$ รัศมี) |
| เส้นรอบวง | ระยะทางรอบวงทั้งหมด |
| สายรัดวงกลม | เส้นตรงเชื่อมสองจุดบนวงกลม |
| ส่วนโค้ง | ส่วนหนึ่งของเส้นรอบวง |
| _sector | "ชิ้นพิซซ่า" ระหว่างรัศมีสองเส้น |
| ส่วนegment | พื้นที่ที่ถูกตัดออกโดยสายรัดวงกลม |
| ครึ่งวงกลม | ครึ่งหนึ่งของวงกลม |
| สัมผัส | เส้นที่สัมผัสวงกลมที่จุดเดียว |
สำรวจ
ส่วนโค้งและส่วนวงกลม
ลากมุมและรัศมีเพื่อดู ส่วนโค้ง (ส่วนหนึ่งของเส้นรอบวง) และ ส่วนวงกลม (ชิ้นพิซซ่า) ที่มันตัดออก.
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | วงกลม |
| sector/ˈsektə/ | โซน |
| segment/ˈseɡmənt/ | ส่วนแบ่ง |
4.7 4.8
ทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้เหตุผลโดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตของวงกลมต่อไปนี้: • มุมในครึ่งวงกลม = 90° • มุมระหว่างเส้นสัมผัสและรัศมี = 90° | ผู้เข้าสอบจะถูกคาดหวังให้ใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตที่ระบุในหลักสูตรเมื่อให้เหตุผลสำหรับคำตอบ |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายโดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตของวงกลมต่อไปนี้: •มุมในครึ่งวงกลม = 90° •มุมระหว่างเส้นสัมผัสและรัศมี = 90° •มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่ส่วนโค้งวงกลม •มุมในส่วนวงกลมเดียวกันเท่ากัน •มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมในวงกลมรวมกันได้ 180° (/libsupplementary) •ทฤษฎีบทส่วนวงกลมสลับ. | ผู้เข้าสอบควรใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตที่ระบุในหลักสูตรเมื่อให้เหตุผลสำหรับคำตอบ. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| ใช้คุณสมบัติสมมาตรของวงกลมต่อไปนี้: •สายคอร์ดที่ยาวเท่ากันอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน •เส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งสายคอร์ดผ่านจุดศูนย์กลาง •เส้นสัมผัสจากจุดภายนอกมี ความยาว เท่ากัน. | ผู้เข้าสอบควรใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตที่ระบุในหลักสูตรเมื่อให้เหตุผลสำหรับคำตอบ. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
ใช้สิ่งเหล่านี้เพื่อหามุมที่ไม่ทราบค่า โดยให้เหตุผลเสมอ
สำหรับทั้งระดับ:
- มุมใน ครึ่งวงกลม คือ $90^{\circ}$.
- มุมระหว่าง เส้นสัมผัส กับ รัศมี มีค่า $90^{\circ}$
ระดับขยาย (ทฤษฎีบท I):
- มุมที่ จุดศูนย์กลาง เป็นสองเท่าของมุมที่ เส้นรอบวง (ตั้งอยู่บนเกลียวเดียวกัน)
- มุมใน เซกเมนต์ เดียวกันมีขนาดเท่ากัน
- มุมตรงข้ามของ สี่เหลี่ยมวงกลมภายใน บวกกันได้ $180^{\circ}$
- ทฤษฎีบทเซกเมนต์สลับ: มุมระหว่างเส้นสัมผัสสัมผัสนั้นกับเส้นคอร์ดเท่ากับมุมในเซกเมนต์อีกฝั่งหนึ่ง
ระดับขยาย (ทฤษฎีบท II): คอร์ดที่มีขนาดเท่ากันอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากัน; เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของคอร์ดผ่านจุดศูนย์กลาง; เส้นสัมผัสสัมผัสนั้นสองเส้นจากจุดภายนอกจุดเดียวกันมีความยาวเท่ากัน
ตัวอย่างวิธีทำ. A, B, C อยู่บนวงกลม มุมที่เส้นรอบวง $ABC$ มีขนาด $40^{\circ}$. หามุม $AOC$ ที่จุดศูนย์กลาง $O$.
มุมที่จุดศูนย์กลางเป็นสองเท่าของมุมที่เส้นรอบวง: $2 \times 40^{\circ} = 80^{\circ}$.
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| centre/ˈsentə/ | ศูนย์กลาง |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | รัศมี |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | เส้นผ่านศูนย์กลาง |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | เส้นรอบวง |
| chord/kɔːd/ | คอร์ด |
| arc/ɑːk/ | ส่วนโค้ง |
| semicircle/ˈsemɪsɜːkl/ | ครึ่งวงกลม |
| tangent/ˈtændʒənt/ | เส้นสัมผัส |
| cyclic quadrilateral/ˈsaɪklɪk ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | สี่เหลี่ยมวงกลมใน |
| alternate segment theorem/ɔːlˈtɜːnət ˈseɡmənt ˈθɪərəm/ | ทฤษฎีบทมุมสลับภาค |
4.4
รูปร่างที่คล้ายกัน
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| คำนวณความยาวของรูปคล้ายกัน. |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 คำนวณความยาวของรูปที่คล้ายคลึงกัน. | |
| 2 ใช้ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวและพื้นที่ของรูปที่คล้ายคลึงกัน และความยาว, พื้นที่ผิว และปริมาตรของ形体ที่คล้ายคลึงกัน. | รวมถึงการใช้อัตราส่วนสเกล, เช่น $$\frac{\text{Volume of } A}{\text{Volume of } B} = \frac{(\text{Length of } A)^3}{(\text{Length of } B)^3}$$ |
| 3 แก้ปัญหาและให้คำอธิบายง่ายๆ ที่เกี่ยวข้องกับความคล้ายคลึงกัน. | รวมถึงการพิสูจน์ว่าสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกันโดยใช้เหตุผลทางเรขาคณิต. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
รูปทรงสองรูปจะ คล้ายกัน หากรูปหนึ่งเป็นการขยายของอีกรูปหนึ่ง: มีมุมเท่ากัน และด้านทั้งหมดคูณด้วย อัตราส่วนการขยาย $k$. (รูปทรงที่มีขนาดและรูปร่างเหมือนกันเป๊ะเรียกว่า ** congruent** หรือ สมรูป.)
สำหรับรูปทรงและปริภูมิที่คล้ายกัน:
$$\frac{\text{area of } A}{\text{area of } B} = k^{2}, \qquad \frac{\text{volume of } A}{\text{volume of } B} = k^{3}.$$
ตัวอย่างวิธีทำ. ปริภูมิสองรูปที่คล้ายกันมีความยาวอยู่ในอัตราส่วน $2 : 3$. รูปเล็กมีปริมาตร $40\text{ cm}^{3}$. หาปริมาตรของรูปใหญ่
อัตราส่วนปริมาตรคือ $2^{3} : 3^{3} = 8 : 27$. ดังนั้นปริมาตรของรูปใหญ่คือ $40 \times \dfrac{27}{8} = 135\text{ cm}^{3}$.
สำรวจ
รูปทรงคล้ายกัน — การขยายขนาด
รูปทรงคล้ายกันคือรูปร่างเดียวกันแต่ขนาดต่างกัน การขยายขนาดจะคูณทุกความยาวด้วยอัตราส่วนเดียวกัน; มุมยังคงเดิม.
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| similar/ˈsɪmɪlə/ | คล้ายกัน |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | ปัจจัยการขยาย |
| congruent/ˈkɒŋɡruːənt/ | รูป congruent |
4.6
ทิศทางบนแผนที่ (Bearings)
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและอธิบายอย่างสั้นๆ โดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • ผลรวมของมุมที่จุดหนึ่ง = 360° • ผลรวมของมุมบนเส้นตรงที่จุดหนึ่ง = 180° • มุมตรงข้ามยอดเท่ากัน • ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม = 180° และผลรวมมุมของสี่เหลี่ยม = 360° | ต้องรู้การใช้สัญลักษณ์สามตัวอักษรสำหรับมุม เช่น angle $ABC$ ผู้เข้าสอบควรใช้คำศัพท์ทางเรขาคณิตที่ถูกต้องในการให้เหตุผลสำหรับคำตอบ |
| 2 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายทางเรขาคณิตสำหรับมุมที่เกิดภายในเส้นขนาน: • มุม correspnding เท่ากัน • มุม alternate เท่ากัน • มุม co-interior รวมกันได้ 180° ( supplementary). | |
| 3 รู้จักและใช้คุณสมบัติของมุมในรูปหลายเหลี่ยมปกติ | รวมถึงมุมภายนอกและมุมภายใน และผลรวมมุม |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายง่ายๆ โดยใช้คุณสมบัติทางเรขาคณิตต่อไปนี้: • ผลรวมของมุมรอบจุด = 360° • ผลรวมของมุมบนจุดบนเส้นตรง = 180° • มุมตรงข้ามยอดเท่ากัน • ผลรวมมุมของสามเหลี่ยม = 180° และผลรวมมุมของสี่เหลี่ยม = 360°. | ต้องมีความรู้เกี่ยวกับ 3-letter notation สำหรับมุม เช่น มุม $ABC$. ผู้เข้าสอบควรใช้คำศัพท์ทางเรขาคณิตที่ถูกต้องในการให้เหตุผลสำหรับคำตอบ |
| 2 คำนวณมุมที่ไม่ทราบค่าและให้คำอธิบายทางเรขาคณิตสำหรับมุมที่เกิดภายในเส้นขนาน: • มุม correspnding เท่ากัน • มุม alternate เท่ากัน • มุม co-interior รวมกันได้ 180° ( supplementary). | |
| 3 รู้จักและใช้คุณสมบัติของมุมของรูปหลายเหลี่ยมสม่ำเสมอและไม่สม่ำเสมอ. | รวมถึงมุมภายนอกและมุมภายใน, และผลรวมมุม. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
ทิศทางบนแผนที่ (Bearing) แสดงทิศทางเป็นมุมสามหลัก วัด ตามเข็มนาฬิกา จากทิศเหนือ ตั้งแต่ $000^{\circ}$ ถึง $360^{\circ}$. ดังนั้นทิศตะวันออกตรงๆ คือ $090^{\circ}$ และทิศใต้ตรงๆ คือ $180^{\circ}$.
ตัวอย่างวิธีทำ. ทิศทางบนแผนที่ของ $B$ จาก $A$ คือ $025^{\circ}$. หาทิศทางบนแผนที่ของ $A$ จาก $B$.
ทิศทางกลับ (back bearing) แตกต่างไป $180^{\circ}$: $025^{\circ} + 180^{\circ} = 205^{\circ}$.
สำรวจ
เส้นทางทิศทางการนำทาง
ติดตามวิธีการวัดทิศทางการนำทางที่ถูกต้องจากทิศเหนือ
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| bearing/ˈbeərɪŋ/ | มุมทิศ |
| clockwise/ˈklɒkwaɪz/ | ตามเข็มนาฬิกา |
| construct/ˈkɒnstrʌkt/ | สร้าง |
| compasses/ˈkʌmpəsɪz/ | วงเวียน |
4.2 4.3
การสร้างรูป,平面图และปริภูมิ
หลักสูตร
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 วัดและวาดเส้นตรงและมุม | ต้องใช้ไม้บรรทัดสำหรับทุกเส้นตรง การสร้างเส้นตั้งฉากแบ่งครึ่งและเส้นแบ่งครึ่งมุมไม่จำเป็น |
| 2 สร้างสามเหลี่ยม เมื่อทราบความยาวของด้านทั้งสาม โดยใช้ไม้บรรทัดและวงเวียนเท่านั้น | เช่น สร้าง形สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนโดยวาดสามเหลี่ยมสองรูป ส่วนโค้งในการสร้างต้องปรากฏชัดเจน |
| 3 วาด ใช้งาน และตีความกราฟคลี่ | ตัวอย่างได้แก่: • วาดกราฟคลี่ของลูกบาศก์ ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ปริซึม และกรวย • ใช้ขนาดจากกราฟคลี่เพื่อคำนวณปริมาตรและพื้นที่ผิว |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 วาดและตีความแบบจำลองตามมาตราส่วน | ต้องใช้ไม้บรรทัดสำหรับทุกเส้นตรง |
| 2 ใช้และตีความทิศทางสามหลัก | ทิศทางวัดทวนเข็มนาฬิกาจากทิศเหนือ (000° ถึง 360°) เช่น หาทิศทางของ A จาก B หากทิศทางของ B จาก A คือ 025° |
| รวมถึงความเข้าใจในพจน์ทิศเหนือ ทิศตะวันออก ทิศใต้ และทิศตะวันตก เช่น จุด D อยู่ทางตะวันออกของจุด C โดยตรง |
| เนื้อหารายวิชา | หมายเหตุและตัวอย่าง |
|---|---|
| 1 วาดและตีความแบบจำลองตามมาตราส่วน | ต้องใช้ไม้บรรทัดสำหรับทุกเส้นตรง |
| 2 ใช้และตีความค่าทิศทางสามหลัก (three-figure bearings). | ทิศทางวัดตามนัยยะจากทิศเหนือ ($000^{\circ}$ ถึง $360^{\circ}$). เช่น หาทิศทางของ $A$ จาก $B$ หากทิศทางของ $B$ จาก $A$ คือ $025^{\circ}$. รวมถึงความเข้าใจในพจน์ ทิศเหนือ, ทิศตะวันออก, ทิศใต้ และทิศตะวันตก. เช่น จุด $D$ อยู่ทางทิศตะวันออกของจุด $C$ โดยตรง. |
แหล่งที่มา: หลักสูตร Cambridge International
- เพื่อ สร้าง สามเหลี่ยมจากด้านทั้งสามที่กำหนด ให้วาดฐานด้วยไม้บรรทัด แล้วใช้ วงเวียน เพื่อขีดเส้นด้านที่เหลือเป็นเกลียว. ปล่อยให้อาการสร้างปรากฏให้เห็น
- 平面图 (Net) คือรูปแบนที่พับขึ้นเป็นปริภูมิ คุณสามารถใช้平面图เพื่อคำนวณพื้นที่ผิว
- แบบscaled (Scale drawing) แสดงวัตถุจริงให้เล็กลง (หรือใหญ่ขึ้น) ด้วยอัตราส่วนคงที่ เช่น $1\text{ cm}$ ถึง $5\text{ m}$.
ปริภูมิทั่วไปและส่วนประกอบของมัน:
| ปริภูมิ | หมายเหตุ |
|---|---|
| ลูกบาศก์ / parallelepiped | รูปกล่อง |
| prism | รูปร่างเหมือนกันตลอดความยาว |
| ทรงกระบอก | prism berbentuk lingkaran |
| pyramid /圆锥体 | ลู่ลงสู่จุดยอด |
| sphere /半球体 | ลูกบอล / กึ่งหนึ่งของลูกบอล |
| frustum | 圆锥体 หรือ pyramid ที่มีด้านบนตัดออก |
ด้านแบนของปริภูมิคือ หน้า, สองหน้าพบกันที่ ขอบ, และภายนอกทั้งหมดคือ พื้นผิว ของมัน
สำรวจ
ห้องปฏิบัติการการสร้างและวัตถุสามมิติ
จำแนกงานเรขาคณิตโดยเครื่องมือหรือรูปแบบที่ต้องการ.
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| net/net/ | สุทธิ (net) |
| scale drawing/skeɪl ˈdrɔːɪŋ/ | ภาพวาดตามมาตราส่วน |
| solids/ˈsɒlɪdz/ | ของแข็ง |
| cube/kjuːb/ | ลูกบาศก์ |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก |
| prism/ˈprɪzəm/ | ปริซึม |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | ทรงกระบอก |
| pyramid/ˈpɪrəmɪd/ | พีระมิด |
| cone/kəʊn/ | กรวย |
| sphere/sfɪə/ | ทรงกลม |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | ครึ่งทรงกลม |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | กรวย truncated |
| face/feɪs/ | หน้า |
| edge/edʒ/ | ขอบ |
| surface/ˈsɜːfɪs/ | ผิว |
4.2 4.3
ข้อแนะนำสำหรับการสอบ
- มุมบนเส้นตรงรวมกันได้ $180°$, รอบจุดได้ $360°$, และในสามเหลี่ยมได้ $180°$. ให้ เหตุผล สำหรับทุกขั้นตอนของโจทย์มุม
- จำทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม: มุมที่จุดศูนย์กลางเป็น สองเท่า ของมุมที่เส้นรอบวง; มุมในครึ่งวงกลมคือ $90°$; มุมในเซกเมนต์เดียวกันมีขนาดเท่ากัน; มุมตรงข้ามของ quadrilateral inscribed รวมกันได้ $180°$.
- marginal angles ของหลายเหลี่ยมใดๆ รวมกันได้ $360°$, และแต่ละมุมภายใน + marginal angle = $180°$.
- Bearing วัดตามเข็มนาฬิกาจากทิศเหนือและเขียนด้วยสามตัวเลขเสมอ (เช่น $072°$).
คำศัพท์
ฝึกฝน
| English | ไทย |
|---|---|
| quadrilateral/ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | สี่เหลี่ยม |
| square/skweə/ | สี่เหลี่ยม |
| rectangle/ˈrektæŋɡl/ | สี่เหลี่ยมผืนผ้า |
| parallelogram/ˌpærəˈleləɡræm/ | รูปขนานด้าน |
| rhombus/ˈrɒmbəs/ | สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน |
| kite/kaɪt/ | ว่าว |
| trapezium/trəˈpiːzɪəm/ | สี่เหลี่ยมคางหมู |
บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้
ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที