ฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องกับพารามิเตอร์ เวกเตอร์ และเมทริกซ์

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.1.A: สร้างกราฟหรือตารางค่าสำหรับฟังก์ชันพารามิเตอร์ที่แสดงด้วยแบบจำลองเชิงวิเคราะห์

• 4.1.A.1 ฟังก์ชันพารามิเตอร์ใน $\mathbb{R}^2$ ซึ่งเป็นเซตของคู่orderedทั้งหมดของจำนวนจริงสองจำนวน ประกอบด้วยชุดของสมการพารามิเตอร์สองสมการ โดยตัวแปรตามสองตัว คือ $x$ และ $y$ ขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระตัวเดียว ซึ่งเรียกว่า $t$ หรือ พารามิเตอร์
• 4.1.A.2 เนื่องจากตัวแปร $x$ และ $y$ ขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระ $t$ พิกัด $(x_i,\, y_i)$ ที่เวลา $t_i$ สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันของ $t$ ได้ และแสดงเป็นฟังก์ชันพารามิเตอร์เดี่ยว $f(t) = (x(t),\, y(t))$ โดยในกรณีนี้ $x$ และ $y$ เป็นชื่อของฟังก์ชันสองฟังก์ชัน
• 4.1.A.3 ตารางค่าเชิงตัวเลขสามารถสร้างได้สำหรับฟังก์ชันพารามิเตอร์ $f(t) = (x(t),\, y(t))$ โดยการคำนวณค่า $x_i$ และ $y_i$ ที่ค่าต่างๆ ของ $t_i$ ภายในโดเมน
• 4.1.A.4 กราฟของฟังก์ชันพารามิเตอร์สามารถวาดโดยเชื่อมจุดต่างๆ จากตารางค่าเชิงตัวเลขตามลำดับของค่า $t$ ที่เพิ่มขึ้น
• 4.1.A.5 โดเมนของฟังก์ชันพารามิเตอร์ $f$ มักจะถูกจำกัด ซึ่งส่งผลให้เกิดจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดบนกราฟของ $f$

จุดประสงค์การเรียนรู้ 4.2.A: ระบุลักษณะสำคัญของฟังก์ชันการเคลื่อนที่บนระนาบแบบพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับตำแหน่ง

• 4.2.A.1 ฟังก์ชันพารามิเตอร์ที่กำหนดโดย $f(t) = (x(t),\, y(t))$ สามารถใช้จำลองการเคลื่อนที่ของอนุภาคบนระนาบ กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงตำแหน่งของอนุภาคที่เวลา $t$
• 4.2.A.2 จุดสูงสุดและจุดต่ำสุดในแนวราบและแนวตั้งของการเคลื่อนที่ของอนุภาคสามารถกำหนดได้โดยการระบุค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน $x(t)$ และ $y(t)$ ตามลำดับ
• 4.2.A.3 รากจริงของฟังก์ชัน $x(t)$ สอดคล้องกับจุดตัดแกน $y$, และรากจริงของ $y(t)$ สอดคล้องกับจุดตัดแกน $x$

จุดประสงค์การเรียนรู้ 4.3.A: ระบุลักษณะสำคัญของฟังก์ชันการเคลื่อนที่บนระนาบแบบพารามิเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับทิศทางและอัตราการเปลี่ยนแปลง

• 4.3.A.1 เมื่อพารามิเตอร์เพิ่มขึ้น ทิศทางการเคลื่อนที่บนระนาบของอนุภาคสามารถวิเคราะห์ได้ในtermsของ $x$ และ $y$ แยกกัน หาก $x(t)$ เพิ่มขึ้นหรือลดลง ทิศทางการเคลื่อนที่จะไปทางขวาหรือซ้ายตามลำดับ หาก $y(t)$ เพิ่มขึ้นหรือลดลง ทิศทางการเคลื่อนที่จะขึ้นไปหรือลงตามลำดับ
• 4.3.A.2 ที่จุดใดก็ตามบนระนาบ ทิศทางการเคลื่อนที่บนระนาบอาจแตกต่างกันสำหรับค่าต่างๆ ของ $t$
• 4.3.A.3 เส้นโค้งเดียวกันบนระนาบสามารถพารามิเตอร์化ได้หลายวิธีและสามารถเดินทางผ่านได้ด้วยทิศทางและฟังก์ชันพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน
• 4.3.A.4 ในช่วง给定 $[t_1,\, t_2]$ ภายในโดเมน อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยสามารถคำนวณได้สำหรับ $x(t)$ และ $y(t)$ แยกกัน อัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $y$ ต่ออัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $x$ จะให้ความชันของกราฟระหว่างจุดบนเส้นโค้งที่สอดคล้องกับ $t_1$ และ $t_2$ ตราบใดที่อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $x(t) \neq 0$

จุดประสงค์การเรียนรู้ 4.4.A: แสดงการเคลื่อนที่รอบวงกลมหรือตามส่วนเส้นตรงในรูปแบบพารามิเตอร์

• 4.4.A.1 การหมุนรอบวงกลมหน่วยเต็มรอบทวนเข็มนาฬิกาซึ่งเริ่มต้นและสิ้นสุดที่ $(1,\, 0)$ และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด สามารถจำลองได้โดย $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ dengan domain $0 \leq t \leq 2\pi$
• 4.4.A.2 การแปลงของฟังก์ชันพารามิเตอร์ $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ สามารถจำลองเส้นทางวงกลมใดๆ ที่เดินทางบนระนาบ
• 4.4.A.3 เส้นทางเชิงเส้นตามส่วนเส้นตรงจากจุด $(x_1,\, y_1)$ ไปยังจุด $(x_2,\, y_2)$ สามารถพารามิเตอร์化ได้หลายวิธี รวมถึงการใช้ตำแหน่งเริ่มต้น $(x_1,\, y_1)$ และอัตราการเปลี่ยนแปลงสำหรับ $x$ เทียบกับ $t$ และ $y$ เทียบกับ $t$

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.5.A: สร้างกราฟของสมการที่มีตัวแปรสองตัว

• 4.5.A.1 สมการที่มีตัวแปรสองตัวสามารถอธิบายฟังก์ชันหนึ่งหรือมากกว่าแบบโดยนัยได้
• 4.5.A.2 สมการที่มีตัวแปรสองตัวสามารถสร้างกราฟได้โดยการหาผลเฉลยของสมการนั้น
• 4.5.A.3 การแก้สมการเพื่อหาค่าของตัวแปรตัวหนึ่งในสมการที่มีตัวแปรสองตัว สามารถกำหนดฟังก์ชัน whose graph เป็นส่วนหนึ่งของหรือทั้งหมดของกราฟของสมการนั้นได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.5.B: วิเคราะห์ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณสองตัวในฟังก์ชันที่นิยามโดยนัยว่าเปลี่ยนแปลงร่วมกันอย่างไร

• 4.5.B.1 สำหรับคู่ลำดับบนกราฟของฟังก์ชันที่นิยามโดยนัยซึ่งอยู่ใกล้กัน หากอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรทั้งสองเป็นบวก แสดงว่าตัวแปรทั้งสองจะเพิ่มขึ้นพร้อมกันหรือลดลงพร้อมกัน ในทางกลับกัน หากอัตราส่วนเป็นลบ เมื่อตัวแปรหนึ่งเพิ่มขึ้น อีกตัวแปรจะลดลง
• 4.5.B.2 อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $x$ เทียบกับ $y$ หรือของ $y$ เทียบกับ $x$ อาจเป็นศูนย์ ซึ่งบ่งบอกถึงช่วงแนวตั้งหรือแนวนอนตามลำดับ

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.6.A: แสดงวงกรรมาศที่มีสมมาตรแนวตั้งหรือแนวนอนในรูปแบบเชิงวิเคราะห์

• 4.6.A.1 พาราโบลาที่มีจุดยอด $(h,\, k)$ สามารถ, ถ้า $a \neq 0$, แสดงด้วยสมการวิเคราะห์ได้เป็น $x - h = a(y - k)^2$ ถ้าเปิดไปทางซ้ายหรือขวา, หรือเป็น $y - k = a(x - h)^2$ ถ้าเปิดขึ้นหรือลง
• 4.6.A.2 เอลลิปส์ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(h,\, k)$ มีรัศมีแนวนอน $a$ และรัศมีแนวตั้ง $b$ สามารถแสดงรูปแบบเชิงวิเคราะห์เป็น $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} + \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ วงกลมเป็นกรณีพิเศษของเอลลิปส์เมื่อ $a = b$
• 4.6.A.3 ไฮเพอร์โบล่าที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(h,\, k)$ และมีเส้นสมมาตรแนวตั้งและแนวนอน สามารถแสดงรูปแบบเชิงพีชคณิตเป็น $\dfrac{(x - h)^2}{a^2} - \dfrac{(y - k)^2}{b^2} = 1$ สำหรับไฮเพอร์โบล่าที่เปิดไปทางซ้ายหรือขวา หรือเป็น $\dfrac{(y - k)^2}{b^2} - \dfrac{(x - h)^2}{a^2} = 1$ สำหรับไฮเพอร์โบล่าที่Opens up and down เส้นประสิทธิ์คือ $y - k = \pm \dfrac{b}{a}(x - h)$

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.7.A: แสดงโค้งในระนาบในรูปแบบพารามิเตอร์

• 4.7.A.1 การกำหนดพารามิเตอร์ $(x(t),\, y(t))$ สำหรับฟังก์ชันที่ถูกกำหนดโดยนัยจะ, เมื่อ $x(t)$ และ $y(t)$ ถูกแทนที่ให้กับ $x$ และ $y$ ตามลำดับ, จะสอดคล้องกับสมการที่เกี่ยวข้องสำหรับทุกค่าของ $t$ ในโดเมน
• 4.7.A.2 หาก $f$ เป็นฟังก์ชันของ $x$ แล้ว $y = f(x)$ สามารถพารามิเตอร์เป็น $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$ ได้ หาก $f$ กลับค่าได้ inverse ของมันสามารถพารามิเตอร์เป็น $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ สำหรับช่วงที่เหมาะสมของ $t$

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.7.B: แสดงวงกรรมาศในรูปแบบพารามิเตอร์

• 4.7.B.1 พาราโบลาสามารถพารามิเตอร์ได้ในวิธีเดียวกันกับสมการใด ๆ ที่สามารถแก้หาค่า $x$ หรือ $y$ ได้ สมการที่แก้หาค่า $x$ ได้สามารถพารามิเตอร์เป็น $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ โดยการแก้หาค่า $x$ และแทนที่ $y$ ด้วย $t$ สมการที่แก้หาค่า $y$ ได้สามารถพารามิเตอร์เป็น $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$ โดยการแก้หาค่า $y$ และแทนที่ $x$ ด้วย $t$
• 4.7.B.2 เอลลิปส์สามารถพารามิเตอร์โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ $x(t) = h + a\cos t$ และ $y(t) = k + b\sin t$ สำหรับ $0 \leq t \leq 2\pi$
• 4.7.B.3 ไฮเพอร์โบล่าสามารถพารามิเตอร์โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ สำหรับไฮเพอร์โบล่าที่เปิดไปทางซ้ายหรือขวา ฟังก์ชันคือ $x(t) = h + a\sec t$ และ $y(t) = k + b\tan t$ สำหรับ $0 \leq t \leq 2\pi$ สำหรับไฮเพอร์โบล่าที่Opens up and down ฟังก์ชันคือ $x(t) = h + a\tan t$ และ $y(t) = k + b\sec t$ สำหรับ $0 \leq t \leq 2\pi$

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.8.A: ระบุคุณลักษณะของเวกเตอร์

• 4.8.A.1 เวกเตอร์คือเส้นตรงที่มีทิศทาง เมื่อวางเวกเตอร์ในระนาบ จุดเริ่มต้นของเส้นตรงเรียกว่า หาง (tail) และจุดปลายของเส้นตรงเรียกว่า หัว (head) ความยาวของเส้นตรงคือ ขนาด (magnitude) ของเวกเตอร์
• 4.8.A.2 เวกเตอร์ $\overrightarrow{P_1 P_2}$ ที่มีองค์ประกอบสองตัวสามารถวาดในระนาบ $xy$ จาก $P_1 = (x_1, y_1)$ ไปยัง $P_2 = (x_2, y_2)$ เวกเตอร์นี้ถูกจำแนกโดย $a$ และ $b$ โดยที่ $a = x_2 - x_1$ และ $b = y_2 - y_1$ เวกเตอร์สามารถเขียนในรูป $\langle a,\, b \rangle$ เวกเตอร์ศูนย์ $\langle 0,\, 0 \rangle$ เป็นกรณีพื้นฐานเมื่อ $P_1 = P_2$
• 4.8.A.3 ทิศทาง ของเวกเตอร์ขนานกับเส้นตรงจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่มีพิกัด $(a,\, b)$ ขนาดของเวกเตอร์คือรากที่สองของผลรวมกำลังสองขององค์ประกอบ
• 4.8.A.4 สำหรับเวกเตอร์ที่แสดงด้วยเรขาคณิตในระนาบ องค์ประกอบของเวกเตอร์สามารถหาได้โดยใช้ตรีโกณมิติ

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.8.B: หาคำตอบสำหรับการบวกและคูณที่เกี่ยวข้องกับเวกเตอร์

• 4.8.B.1 การคูณคงที่กับเวกเตอร์จะได้เวกเตอร์ใหม่whose components หาได้โดยการคูณคงที่นั้นกับแต่ละองค์ประกอบของเวกเตอร์เดิม เวกเตอร์ใหม่นี้ขนานกับเวกเตอร์เดิม
• 4.8.B.2 ผลบวกของเวกเตอร์สองตัวใน $\mathbb{R}^2$ คือเวกเตอร์ใหม่ที่องค์ประกอบหาได้จากการบวกองค์ประกอบที่ตรงกับตำแหน่งของเวกเตอร์เดิม เวกเตอร์ใหม่สามารถแสดงด้วยกราฟเป็นเวกเตอร์whose tail ตรงกับ tail ของเวกเตอร์แรก และwhose head ตรงกับ head ของเวกเตอร์ที่สอง เมื่อ tail ของเวกเตอร์ที่สองวางอยู่ที่ head ของเวกเตอร์แรก
• 4.8.B.3 Dot product ของเวกเตอร์สองตัวคือผลรวมของผลคูณขององค์ประกอบที่ตรงกับตำแหน่งกัน นั่นคือ $\langle a_1,\, b_1 \rangle \cdot \langle a_2,\, b_2 \rangle = a_1 a_2 + b_1 b_2$

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.8.C: หาเวกเตอร์หน่วยสำหรับเวกเตอร์ที่กำหนดให้

• 4.8.C.1 เวกเตอร์หน่วย คือเวกเตอร์whose magnitude เท่ากับ $1$ เวกเตอร์หน่วยในทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ที่กำหนดให้สามารถหาได้โดยการคูณสเกลาร์เวกเตอร์นั้นด้วยส่วนกลับของขนาดของมัน
• 4.8.C.2 เวกเตอร์ $\langle a,\, b \rangle$ สามารถเขียนในรูป $a\vec{i} + b\vec{j}$ ใน $\mathbb{R}^2$ โดยที่ $\vec{i}$ และ $\vec{j}$ เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทาง $x$ และ $y$ ตามลำดับ นั่นคือ $\vec{i} = \langle 1,\, 0 \rangle$ และ $\vec{j} = \langle 0,\, 1 \rangle$

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.8.D: หาค่ามุมระหว่างเวกเตอร์และขนาดของเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องในการบวกเวกเตอร์

• 4.8.D.1 ผลคูณเชิงสเกลาร์มีนัยทางเรขาคณิตเทียบเท่ากับผลคูณของขนาดของเวกเตอร์ทั้งสองและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ดังนั้น หากผลคูณเชิงสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวที่ไม่เป็นศูนย์เป็นศูนย์ แสดงว่าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน
• 4.8.D.2 กฎของซายน์และกฎของไคosgines สามารถใช้เพื่อหาความยาวด้านและขนาดมุมของสามเหลี่ยมที่เกิดจากการบวกเวกเตอร์

จุดประสงค์การเรียนรู้ 4.9.A: แสดงการเคลื่อนที่ในระนาบด้วยฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์

• 4.9.A.1 ตำแหน่งของอนุภาคที่เคลื่อนที่ในระนาบซึ่งกำหนดโดยฟังก์ชัน $f(t) = (x(t),\, y(t))$ สามารถเขียนในรูป ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ ได้คือ $p(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$ หรือ $p(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$ ขนาดของเวกเตอร์ตำแหน่งที่เวลา $t$ จะให้ระยะห่างของอนุภาคจากจุดกำเนิด
• 4.9.A.2 ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ $v(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$ สามารถใช้เพื่อแสดงความเร็วของอนุภาคที่เคลื่อนที่ในระนาบในเวลาต่างๆ, $t$. ในช่วงเวลา $t$, สัญญาณของ $x(t)$ บ่งชี้ว่าอนุภาคเคลื่อนที่ไปทางขวาหรือซ้าย, และสัญญาณของ $y(t)$ บ่งชี้ว่าเคลื่อนที่ขึ้นหรือลง. ขนาดของเวกเตอร์ความเร็วในช่วงเวลา $t$ ให้ค่าความเร็วของอนุภาค

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.10.A: หาผลคูณของเมทริกซ์สองตัว

• 4.10.A.1 เมทริกซ์ $n \times m$ คือชุดข้อมูลที่มี $n$ แถวและ $m$ คอลัมน์
• 4.10.A.2 เมทริกซ์สองตัวสามารถคูณกันได้หากจำนวนคอลัมน์ของเมทริกซ์แรกเท่ากับจำนวนแถวของเมทริกซ์ที่สอง ผลคูณของเมทริกซ์จะเป็นเมทริกซ์ใหม่ซึ่งองค์ประกอบในแถวที่ $i$ และคอลัมน์ที่ $j$ เป็นผลคูณสเกลาร์ของแถวที่ $i$ ของเมทริกซ์แรกและคอลัมน์ที่ $j$ ของเมทริกซ์ที่สอง

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.11.A: หาฟังก์ชันกลับด้านของเมทริกซ์ $2 \times 2$

• 4.11.A.1 เมทริกซ์เอกลักษณ์, $I$, เป็นเมทริกซ์สี่เหลี่ยมที่มี $1$ บนเส้นทแยงมุมจากมุมบนซ้ายไปมุมล่างขวา และมี $0$ ในตำแหน่งอื่นๆ ทั้งหมด
• 4.11.A.2 การคูณเมทริกซ์สี่เหลี่ยมกับเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องจะไดเมทริกซ์สี่เหลี่ยมเดิม
• 4.11.A.3 ผลคูณของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมกับฟังก์ชันกลับด้านของมัน (ถ้ามี) คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ที่มีขนาดเท่ากัน
• 4.11.A.4 ฟังก์ชันกลับด้านของเมทริกซ์ $2 \times 2$ (ถ้ามี) สามารถคำนวณได้ทั้งโดยใช้เครื่องมือและเทคโนโลยีหรือไม่ใช้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.11.B: ใช้ค่าดีเทอร์มิแนนต์ในการหาฟังก์ชันกลับด้านและเวกเตอร์

• 4.11.B.1 ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ มีค่าเท่ากับ $ad - bc$ ดีเทอร์มิแนนต์สามารถคำนวณได้ทั้งโดยใช้เครื่องมือและเทคโนโลยีและไม่ระบุสัญลักษณ์ด้วย $\det(A)$
• 4.11.B.2 หากเมทริกซ์ $2 \times 2$ ประกอบด้วยเวกเตอร์คอลัมน์หรือแถวสองตัวจาก $\mathbb{R}^2$ แล้วค่าสัมบูรณ์ที่ไม่เป็นศูนย์ของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์คือพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมขนานที่ถูกสร้างโดยเวกเตอร์ที่แสดงในคอลัมน์หรือแถวของเมทริกซ์ หากดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ $0$ แล้วเวกเตอร์ทั้งสองขนานกัน
• 4.11.B.3 เมทริกซ์สี่เหลี่ยม $A$ จะมีฟังก์ชันกลับด้านก็ต่อเมื่อ $\det(A) \neq 0$ เท่านั้น

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ 4.12.A: หาเวกเตอร์เอาต์พุตของการแปลงเชิงเส้นโดยใช้เมทริกซ์ $2 \times 2$

• 4.12.A.1 การแปลงเชิงเส้น คือฟังก์ชันที่ส่งเวกเตอร์อินพุตไปยังเวกเตอร์เอาต์พุต โดยที่แต่ละองค์ประกอบของเวกเตอร์เอาต์พุตเป็นผลรวมของค่าคงที่คูณด้วยองค์ประกอบของเวกเตอร์อินพุต
• 4.12.A.2 การแปลงเชิงเส้นจะส่งเวกเตอร์ศูนย์ไปยังเวกเตอร์ศูนย์
• 4.12.A.3 เวกเตอร์หนึ่งตัวใน $\mathbb{R}^2$ สามารถเขียนเป็นเมทริกซ์ $2 \times 1$ ชุดของ $n$ เวกเตอร์ใน $\mathbb{R}^2$ สามารถเขียนเป็นเมทริกซ์ $2 \times n$
• 4.12.A.4 สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้น $L$ จาก $\mathbb{R}^2$ ไปยัง $\mathbb{R}^2$ จะมีเมทริกซ์ $2 \times 2$ ที่ไม่ซ้ำกัน ⟨ $A$ ⟩ ซึ่งทำให้ $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ สำหรับเวกเตอร์ใน $\mathbb{R}^2$ ในทางกลับกัน สำหรับเมทริกซ์ $2 \times 2$ ที่กำหนดให้ ⟨ $A$ ⟩ ฟังก์ชัน $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นจาก $\mathbb{R}^2$ ไปยัง $\mathbb{R}^2$
• 4.12.A.5 การคูณเมทริกซ์การแปลง $2 \times 2$, $A$, และเมทริกซ์ $2 \times n$ ของเวกเตอร์อินพุต $n$ จะได้เมทริกซ์ $2 \times n$ ของเวกเตอร์เอาต์พุต $n$ สำหรับการแปลงเชิงเส้น $L(\vec{v}) = A\vec{v}$

จุดประสงค์การเรียนรู้ 4.13.A: หาความสัมพันธ์ระหว่างการแปลงเชิงเส้นกับเมทริกซ์

• 4.13.A.1 การแปลงเชิงเส้นที่映射 $\langle x,\, y \rangle$ ไปยัง $\langle a_{11} x + a_{12} y,\, a_{21} x + a_{22} y \rangle$ มีความสัมพันธ์กับเมทริกซ์ $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$
• 4.13.A.2 การ映射ของเวกเตอร์หน่วยในการแปลงเชิงเส้นให้ข้อมูลที่มีค่าสำหรับการหาเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้อง
• 4.13.A.3 เมทริกซ์ $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ มีความสัมพันธ์กับการแปลงเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่หมุนทุกเวกเตอร์เป็นมุม $\theta$ ทวนเข็มนาฬิกาโดยรอบจุดกำเนิด
• 4.13.A.4 ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์การแปลง $2 \times 2$ ให้ขนาดของการขยาย (dilation) ของพื้นที่ใน $\mathbb{R}^2$ ภายใต้การแปลงนั้น

จุดประสงค์การเรียนรู้ 4.13.B: หาองค์ประกอบ (composition) ของการแปลงเชิงเส้นสองครั้ง

• 4.13.B.1 องค์ประกอบของการแปลงเชิงเส้นสองครั้งเป็นการแปลงเชิงเส้น
• 4.13.B.2 เมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการองค์ประกอบของการแปลงเชิงเส้นสองครั้งคือผลคูณของเมทริกซ์ที่เกี่ยวข้องกับการแปลงเชิงเส้นแต่ละครั้ง

จุดประสงค์การเรียนรู้ 4.13.C: หาการแปลงเชิงเส้นผกผัน (inverse)

• 4.13.C.1 การแปลงเชิงเส้นสองครั้งจะ salingเป็นผกผันหากองค์ประกอบ将它们mapping任何向量到其自身
• 4.13.C.2 หากการแปลงเชิงเส้น $L$ กำหนดโดย $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ แล้ว การแปลงเชิงเส้นผกผันของมันกำหนดโดย $L^{-1}(\vec{v}) = A^{-1}\vec{v}$ โดยที่ $A^{-1}$ คือเมทริกซ์ผกผันของเมทริกซ์ $A$

จุดประสงค์การเรียนรู้ 4.14.A: สร้างโมเดลของสถานการณ์ที่เกี่ยวข้องกับการเปลี่ยนผ่านระหว่างสองสถานะโดยใช้เมทริกซ์

• 4.14.A.1 สถานการณ์จริงสามารถระบุอัตราการเปลี่ยนผ่านระหว่างสถานะเป็นการเปลี่ยนแปลงเป็นเปอร์เซ็นต์ เมทริกซ์สามารถสร้างขึ้นจากอัตราเหล่านี้เพื่อจำลองการเปลี่ยนแปลงของสถานะในช่วงเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง

จุดประสงค์การเรียนรู้ 4.14.B: ใช้โมเดลเมทริกซ์เพื่อทำนายสถานะในอนาคตและอดีตสำหรับ $n$ ขั้นตอนการเปลี่ยนผ่าน

• 4.14.B.1 ผลคูณของเมทริกซ์ที่จำลองการเปลี่ยนผ่านระหว่างสถานะกับเวกเตอร์สถานะที่เกี่ยวข้องสามารถทำนายสถานะในอนาคตได้
• 4.14.B.2 การคูณเมทริกซ์ที่จำลองการเปลี่ยนผ่านระหว่างสถานะกับเวกเตอร์สถานะผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องซ้ำๆ สามารถทำนายสถานะคงตัว (steady state) ซึ่งเป็นสัดส่วนระหว่างสถานะที่ไม่เปลี่ยนแปลงจากขั้นตอนหนึ่งไปยังอีกขั้นตอนหนึ่ง
• 4.14.B.3 ผลคูณของเมทริกซ์ผกผันที่จำลองการเปลี่ยนผ่านระหว่างสถานะกับเวกเตอร์สถานะที่เกี่ยวข้องสามารถทำนายสถานะในอดีตได้