การใช้งานของอินทิเกรชัน

AP Calculus AB · หัวข้อ 8

ดูสไลด์ ฝึกฝน

บทเรียนวิดีโอสำหรับหัวข้อนี้ เปิดหน้าวิดีโอ

8.1

ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-4): อินทิกรัลจำกัดเขตช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-4.B: หาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันโดยใช้อินทิกรัลจำกัด

CHA-4.B.1 ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน $f$ ที่ต่อเนื่องบนช่วง $[a, b]$ คือ $\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,dx$

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

ค่าเฉลี่ย ของฟังก์ชันต่อเนื่อง $f$ บน $[a,b]$ คืออินทิกรัลหารด้วยความยาวของช่วง:

$$f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

มันคือความสูงคงที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าบน $[a,b]$ ที่มีพื้นที่เท่ากับใต้ $f$ อย่าสับสนกับ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย (ซึ่งนำ การเปลี่ยนแปลงของ $f$ หารด้วยช่วง) หรือค่าเฉลี่ยจากผลบวกของรีมันน์ของข้อมูลบางค่า – การสอบจะแยกแยะสิ่งเหล่านี้อย่างละเอียด ให้ระบุหน่วยตามบริบท (เช่น อัตราเฉลี่ย "ในหน่วยยานยนต์ต่อชั่วโมง")

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. ค่าเฉลี่ยของ $f(x)=x^2$ บน $[0,3]$ คือ

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{3-0}\int_0^3 x^2\,dx=\frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3=\frac{1}{3}(9)=3.$$

สำรวจ

ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน

y = ax³ + bx² + cx + d

ค่าเฉลี่ยของ $f$ บน $[a,b]$ คืออินทิกรัลหารด้วยความกว้าง — ส่วนสูงคงที่ซึ่งสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีพื้นที่เท่ากันใต้เส้นโค้ง

8.2

ตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่ง bằngการใช้อินทิกรัล

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-4): อินทิกรัลจำกัดเขตช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-4.C: หาค่าตำแหน่งและอัตราการเปลี่ยนแปลงโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตในปัญหาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบเส้นตรง

CHA-4.C.1 สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่แบบเส้นตรงในช่วงเวลาหนึ่ง อินทิกรัลจำกัดเขตของความเร็วแสดงถึงการกระจัดของอนุภาคในช่วงเวลานั้น และอินทิกรัลจำกัดเขตของความเร็วแสดงถึงระยะทางรวมที่อนุภาคเดินทางได้ในช่วงเวลานั้น

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

การอินทิเกรตเป็นการย้อนกลับเชื่อมโยงการเคลื่อนที่ของยูนิตที่ 4 สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่ในแนวตรงบน $[t_1,t_2]$:

การกระจัด (การเปลี่ยนแปลงตำแหน่งสุทธิ) $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt$
ระยะทางทั้งหมดที่เดินทาง $= \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} |v(t)|\,dt$ – อินทิเกรต ความเร็ว ดังนั้นการเปลี่ยนทิศทางจะบวกเข้าด้วยกันแทนที่จะหักล้างกัน
ตำแหน่ง ในช่วงเวลาหลัง $= x(t_1) + \displaystyle\int_{t_1}^{t} v(s)\,ds$; ความเร็ว จากความเร่ง $= v(t_1)+\int a$

ความแตกต่างระหว่างการกระจัดกับระยะทาง (พร้อมเครื่องหมายสัมบูรณ์) เป็นประเด็นสำคัญที่ผู้ตรวจประเมินมักให้คะแนน

8.3

ฟังก์ชันการสะสมและอินทิกรัล_examples ในบริบทการใช้งานจริง

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-4): อินทิกรัลจำกัดเขตช่วยให้เราสามารถแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-4.D: ตีความความหมายของอินทิกรัลจำกัดเขตในปัญหาการสะสม

CHA-4.D.1 ฟังก์ชันที่กำหนดโดยอินทิกรัลแสดงถึงการสะสมของอัตราการเปลี่ยนแปลง
CHA-4.D.2 อินทิกรัลจำกัดเขตของอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณใดปริมาณหนึ่งในช่วงเวลาหนึ่ง จะให้ผลคือความเปลี่ยนแปลงสุทธิของปริมาณนั้นในช่วงเวลาดังกล่าว

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-4.E: หาความเปลี่ยนแปลงสุทธิโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตในบริบทเชิงประยุกต์

CHA-4.E.1 อินทิกรัลจำกัดเขตสามารถใช้ในการแสดงความสัมพันธ์เกี่ยวกับการสะสมและความเปลี่ยนแปลงสุทธิในหลายบริบทเชิงประยุกต์

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

ฟังก์ชันที่นิยามด้วยอินทิกรัลจะสะสมอัตราการเปลี่ยนแปลง ทฤษฎีบท การเปลี่ยนแปลงสุทธิ เป็นเครื่องมือในชีวิตประจำวัน: อินทิกรัล_examples ของอัตราในช่วงหนึ่ง ให้การเปลี่ยนแปลงสุทธิของปริมาณนั้น:

$$\text{(final)} = \text{(initial)} + \int_a^b (\text{rate})\,dt.$$

ดังนั้น "มีน้ำในถังมากแค่ไหนที่ $t=5$" = ปริมาณเริ่มต้น + $\int_0^5(\text{inflow}-\text{outflow})\,dt$ ระวังเครื่องหมาย (เข้าลบออก) และหน่วย การสอบ FRQ แบบหลายส่วนส่วนใหญ่สร้างบนแนวคิดนี้ – มักมาคู่กับ "เขียน แต่อย่าคำนวณอินทิกรัล-expression ที่ให้...รวม"

8.4

การหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง (ฟังก์ชันของ x)

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.A: คำนวณพื้นที่บนระนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.A.1 พื้นที่ของภูมิภาคบนระนาบสามารถคำนวณได้ด้วยอินทิกรัลจำกัดเขต

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

พื้นที่ระหว่างสองเส้นโค้ง $y=f(x)$ (ด้านบน) และ $y=g(x)$ (ด้านล่าง) บน $[a,b]$ คือ:

$$A = \int_a^b \big[f(x)-g(x)\big]\,dx = \int_a^b (\text{top} - \text{bottom})\,dx.$$

หาจุดตัดก่อนเพื่อกำหนดขอบเขต และต้องนำด้านล่างลบออกจากด้านบนเสมอ

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ. หาพื้นที่ระหว่าง $y=x$ และ $y=x^2$它们在 $x=0$ และ $x=1$ ตัดกัน และบน $(0,1)$ เส้นตรง $y=x$ อยู่ด้านบน ดังนั้น

$$A=\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac12-\frac13=\frac16.$$

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งคืออินทิกรัลของด้านบนลบด้านล่าง — พื้นที่ที่แรเงาวิ่งจากจุดตัดหนึ่ง $a$ ไปยังจุดถัดไป $b$; พื้นที่ของมันคือ $\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx$.

8.5

การหาพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง (ฟังก์ชันของ y)

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.A: คำนวณพื้นที่บนระนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.A.2 พื้นที่ของภูมิภาคในระนาบสามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชันของตัวแปร EITHER $x$ หรือ $y$

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

บางพื้นที่อธิบายได้ง่ายด้วย แผ่นตัดแนวนอน – อินทิเกรตเทียบกับ $y$:

$$A = \int_c^d \big[x_{\text{right}}(y) - x_{\text{left}}(y)\big]\,dy = \int_c^d (\text{right}-\text{left})\,dy.$$

เลือกแผ่นตัด $x$- หรือ $y$- เพื่อรักษาคู่ด้านบน/ด้านล่าง (หรือขวา/ซ้าย) เพียงคู่เดียวตลอดทั้งพื้นที่

8.6

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งที่มีจุดตัดมากกว่าสองจุด

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.A: คำนวณพื้นที่บนระนาบโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.A.3 พื้นที่ของบางภูมิภาคบนระนาบอาจคำนวณได้จากการบวกอินทิกรัลจำกัดเขตสองหรือมากกว่า หรือโดยการหาค่าของอินทิกรัลจำกัดเขตของค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างฟังก์ชันสองฟังก์ชัน

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

หากเส้นโค้งตัดกันมากกว่าสองครั้ง ฟังก์ชันหนึ่งจะอยู่ด้านบนในช่วงหนึ่งของพื้นที่ และอีกฟังก์ชันจะอยู่ด้านบนในส่วนอื่น แยกเป็น ผลบวกของอินทิกรัล ที่แต่ละจุดตัด หรืออินทิเกรต ค่าสัมบูรณ์ของความต่าง :

$$A = \int_a^b \big|f(x)-g(x)\big|\,dx.$$

กำหนดว่าเส้นโค้งใดสูงกว่าในแต่ละช่วงย่อยก่อนเขียนอินทิกรัล

8.7

ปริมาตรด้วยหน้าตัด: สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้า

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.B: คำนวณปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดที่ทราบแล้วโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.B.1 ปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดเป็นสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมผืนผ้าสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตและสูตรพื้นที่ของรูปเหล่านี้

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

ช่างปั้นเครื่องเคลือบกำลังขึ้นรูปภาชนะ: ร่างทรงหมุนคือปริมาตรที่เกิดจากการหมุนพื้นที่ระนาบ

ถ้าร่างทรงมี หน้าตัด ที่ทราบค่าตั้งฉากกับแกนหนึ่ง ปริมาตรของมันคืออินทิกรัลของ พื้นที่หน้าตัด :

$$V = \int_a^b A(x)\,dx.$$

สำหรับ ส่วนตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัส ที่มีด้านยาวเท่ากับความสูงของพื้นที่ $s(x)=f(x)-g(x)$, ให้ใช้ $A(x)=[s(x)]^2$; สำหรับ สี่เหลี่ยมผืนผ้า ที่มีความสูง $k\cdot s(x)$, ให้ใช้ $A(x)=k\,[s(x)]^2$. คำศัพท์ในข้อสอบ "ฐานของรูปทรงแข็ง... ส่วนตัดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส/สี่เหลี่ยมผืนผ้า" บ่งบอกถึงสิ่งนี้โดยตรง

8.8

ปริมาตรด้วยส่วนตัด: สามเหลี่ยมและครึ่งวงกลม

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

จุดประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.B: คำนวณปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดที่ทราบแล้วโดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขต

CHA-5.B.2 ปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดเป็นสามเหลี่ยมสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตและสูตรพื้นที่ของรูปเหล่านี้
CHA-5.B.3 ปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่มีหน้าตัดเป็นครึ่งวงกลมหรือรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ สามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตและสูตรพื้นที่ของรูปเหล่านี้
- ตัวอย่างประกอบสำหรับ CHA-5.B3:
  - ปริมาตรของกรวยwhose cross sections are circles can be found using the area formula for a circle and definite integrals (see 2016 AB Exam FRQ #5(b)).
  - ปริมาตรของวัตถุแข็งทอน whose cross sectional area is defined using a function can be found using the known area function and a definite integral (see 2009 AB Exam FRQ #4(c)).

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

ใช้วิธีเดิม แต่เปลี่ยนสูตรพื้นที่: สำหรับ สามเหลี่ยมด้านเท่า ที่มีด้านยาว $s$, ได้ $A=\tfrac{\sqrt{3}}{4}s^2$; สำหรับ ครึ่งวงกลม ที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $s$, ได้ $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$. ตั้งให้ความยาวสำคัญของรูปร่างเท่ากับความยาวชิ้นส่วนตัดของพื้นที่ $s(x)$, แล้วอินทิเกรต $A(x)$.

8.9

ปริมาตรด้วยวิธีดิสก์ (รอบแกน x หรือ y)

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.C: คำนวณปริมาตรของวัตถุหมุน باستخدامอินทิกรัลจำกัด

CHA-5.C.1 ปริมาตรของวัตถุแข็งทอนที่เกิดจากการหมุนรอบแกน $x$ หรือแกน $y$ สามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดเขตด้วยวิธีดิสก์

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

รูปทรงหมุนรอบแกน: วิธีดิสก์

การหมุนพื้นที่รอบแกนจะเกิด รูปทรงหมุนรอบแกน. หากพื้นที่สัมผัสกับแกน ทุกชิ้นส่วนตัดจะเป็น ดิสก์ ที่มีรัศมี $r$ = ค่าฟังก์ชัน:

$$V = \pi\int_a^b [r(x)]^2\,dx.$$

รอบแกน $x$, ใช้ $r=f(x)$ และอินทิเกรตตาม $x$; รอบแกน $y$, แสดง $x$ ในรูปของ $y$ และอินทิเกรตตาม $y$.

روشดิสก์: หมุน y=f(x) รอบแกนจะสร้างดิสก์ที่มีรัศมี f(x) — วิธีดิสก์: การหมุน y=f(x) รอบแกนจะสร้างดิสก์ที่มีรัศมี f(x)

ตัวอย่างฝึกปฏิบัติ. หมุนพื้นที่ใต้ $y=\sqrt{x}$ จาก $x=0$ ถึง $x=4$ รอบแกน $x$. ดิสก์แต่ละอันมีรัศมี $r=\sqrt{x}$, ดังนั้น

$$V=\pi\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^4=8\pi.$$

หมุนพื้นที่รอบแกนจะสร้างstyled volume of revolution — การหมุนพื้นที่รอบแกนจะสร้างรูปทรงหมุนรอบแกน

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	ค่าเฉลี่ย
Displacement/dɪˈspleɪsmənt/	การแทนที่
Total distance travelled/ˈtəʊtl ˈdɪstəns ˈtrævld/	ระยะทางทั้งหมดที่เดินทาง
net change/net tʃeɪndʒ/	การเปลี่ยนแปลงสุทธิ
cross section/krɒs ˈsekʃn/	หน้าตัด
triangle/ˈtraɪæŋɡl/	สามเหลี่ยม
semicircle/ˈsemɪsɜːkl/	ครึ่งวงกลม
solid of revolution/ˈsɒlɪd ɒv ˌrevəˈluːʃn/	ของแข็งหมุน
disc/dɪsk/	ดิสก์

8.10

ปริมาตรด้วยวิธีดิสก์ (รอบแกนอื่น)

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.C: คำนวณปริมาตรของวัตถุหมุน باستخدامอินทิกรัลจำกัด

CHA-5.C.2 ปริมาตรของวัตถุหมุนรอบเส้นแนวนอนหรือแนวตั้งใดๆ ในระนาบสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดด้วยวิธีดิสก์

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

รอบเส้นแนวนอนหรือแนวตั้งใดๆ คือ $y=k$ หรือ $x=k$, รัศมีคือ ระยะห่าง จากเส้นโค้งไปยังเส้นนั้น เช่น $r(x)=|f(x)-k|$. จัดตั้งค่ารัศมีอย่างระมัดระวัง, แล้วใช้ $V=\pi\int r^2$.

8.11 8.12

ปริมาตรด้วยวิธีวอชเชอร์ (Washer Method)

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.C: คำนวณปริมาตรของวัตถุหมุน باستخدامอินทิกรัลจำกัด

CHA-5.C.3 ปริมาตรของวัตถุหมุนรอบแกน $x$ หรือ $y$ ที่มีหน้าตัดเป็นวงแหวนสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดด้วยวิธีวอชเชอร์

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (CHA-5): อินทิกรัลจำกัดช่วยให้เราแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสะสมของการเปลี่ยนแปลงในพื้นที่หรือปริมาตรในช่วงหนึ่งได้

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ CHA-5.C: คำนวณปริมาตรของวัตถุหมุน باستخدامอินทิกรัลจำกัด

CHA-5.C.4 ปริมาตรของวัตถุหมุนรอบเส้นแนวนอนหรือแนวตั้งใดๆ ที่มีหน้าตัดเป็นวงแหวนสามารถหาได้โดยใช้อินทิกรัลจำกัดด้วยวิธีวอชเชอร์

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

ปริมาตรด้วยวิธีวอชเชอร์

เมื่อพื้นที่ ไม่ สัมผัสกับแกน ทุกชิ้นส่วนตัดจะเป็น วอชเชอร์ (วงแหวน) ที่มีรัศมีภายนอก $R$ และรัศมีภายใน $r$:

$$V = \pi\int_a^b \Big([R]^2 - [r]^2\Big)\,dx.$$

$R$ คือระยะห่างจากแกนไปยังขอบเขตที่ ไกลกว่า และ $r$ ไปยังขอบเขตที่ ใกล้กว่า. รอบเส้นที่ไม่ใช่แกน รัศมีทั้งสองวัดเป็นระยะห่างไปยังเส้นนั้น – ซึ่งเป็นรูปแบบข้อสอบที่พบบ่อย (เช่น หมุนรอบ $y=-2$).

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
washer/ˈwɒʃə/	แหวน

8.11 8.12

ข้อแนะนำสำหรับการสอบ

พื้นที่ระหว่างเส้นโค้งคือ $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — หาจุดตัดเพื่อใช้เป็นขีดจำกัด และเก็บไว้แบบบนลบล่าง.
สำหรับ ปริมาตรหมุนรอบแกน, รวมผลส่วนตัดดิสก์/วอชเชอร์ที่มีพื้นที่ $\pi r^2$ (หรือ $\pi(R^2-r^2)$).
ค่าเฉลี่ย ของ $f$ บน $[a,b]$ คือ $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
การเปลี่ยนแปลงสะสมคือ $\int$ ของอัตรา: รวม = ค่าเริ่มต้น $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
อินทิกรัลหมายถึง "การรวมชิ้นส่วนเล็กๆ จำนวนมหาศาล" — จัดตั้งตัวถูกอินทิเกรตให้เป็นชิ้นส่วนบางๆ หนึ่งชิ้น

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที

ข้อสอบย้อนหลัง

หัวข้อเพิ่มเติมใน AP Calculus AB