การใช้งานบริบทของดิฟเฟอเรนเชียชัน

เมื่อคุณสามารถหาอนุพันธ์ได้แล้ว ใช้มันเพื่ออธิบายโลกจริง. อนุพันธ์ $f'(x)$ คือ อัตราเปลี่ยนแปลงทันที ของ $f$ เทียบกับตัวแปรเข้าของมัน. การอ่านและรายงานอัตรานี้ถูกต้องเป็นทักษะที่ประเมินคะแนน

หน่วยมีความสำคัญ. หน่วยของ $f'(x)$ คือหน่วยของ $f$ หารด้วยหน่วยของ $x$. หาก $C(t)$ เป็นจำนวนไร่ และ $t$ เป็นสัปดาห์,那么 $C'(t)$ จะอยู่ในหน่วยไร่ต่อสัปดาห์. ในข้อสอบ, "ใช้หน่วยที่ถูกต้อง ตีความความหมายของ $g'(140)$" ต้องการประโยคเต็ม: ค่า, ปริมาณ, คำอัตรา "per", และ ช่วงเวลา. ตัวอย่าง: "$g'(140)=2.3$ หมายความว่า ณ $x=140$, ปริมาณกำลังเพิ่มขึ้นประมาณ $2.3$ หน่วยต่อหน่วยของ $x$."

สำหรับอนุภาคที่เคลื่อนที่บนเส้นตรง ฟังก์ชันสามชนิดที่เกี่ยวข้องกับเวลาเชื่อมต่อกันด้วยการหาอนุพันธ์:

• ตำแหน่ง $s(t)$;
• ความเร็ว $v(t)=s'(t)$ – มีเครื่องหมาย; เครื่องหมายบ่งบอกทิศทาง;
• ความเร่ง $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

การอ่านค่าสำคัญ (ส่วนที่ออกข้อสอบบ่อย):

• อนุภาค หยุดนิ่ง เมื่อ $v(t)=0$.
• เคลื่อนที่ ไปทางขวา/ขึ้น เมื่อ $v(t)>0$ และ ไปทางซ้าย/ลง เมื่อ $v(t)<0$;它会เปลี่ยนทิศทางที่ $v$ เปลี่ยนเครื่องหมาย.
• ความเร็ว (Speed) คือ $|v(t)|$. ความเร็วจะ เพิ่มขึ้น เมื่อ $v$ และ $a$ มี เครื่องหมายเดียวกัน (อนุภาคเร่งตัวขึ้น) และ ลดลง เมื่อมี เครื่องหมายตรงกันข้าม

ตัวอย่างวิธีทำ. อนุภาคเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว $s(t)=t^3-6t^2+9t$. จากนั้น $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$ ดังนั้นจึงหยุดนิ่งที่ $t=1$ และ $t=3$ และเปลี่ยนทิศทางที่จุดเหล่านี้ทุกจุด ที่ $t=2$, $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (เคลื่อนที่ไปทางซ้าย) และ $a(2)=6(2)-12=0$; ทันทีหลังจากนั้น $a>0$ ในขณะที่ $v<0$ ดังนั้นจึง ชะลอตัวลง ที่นั่น ให้แยกแยะระหว่างความเร็วในเชิงเวกเตอร์ (มีทิศทาง) กับสเกลาร์ (ไม่มีทิศทาง) อย่างละเอียด – การสอบทดสอบความแตกต่างนี้โดยตรง

แนวคิดอนุพันธ์เดียวกันนี้ใช้จำลองปริมาณที่เปลี่ยนแปลงได้หลากหลาย: ถังน้ำที่ไหลออก, ประชากรที่ขยายตัว, แก้วน้ำที่เย็นลง ทุกครั้งที่โจทย์ระบุว่า "อัตราการ..." กำลังอธิบายถึงอนุพันธ์ อ่านหน่วยเพื่อระบุว่าคุณมีอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณใด แล้วตีความตามบริบท

ในโจทย์ อัตราที่เกี่ยวข้องกัน ปริมาณหลายอย่างจะเปลี่ยนแปลงไปด้วยกันตามเวลา และคุณทราบบางอัตราแต่ต้องการหาอีกอัตราหนึ่ง เครื่องยนต์หลักคือกฎโซ่: หาอนุพันธ์ของความสัมพันธ์ เทียบกับเวลา $t$. ตัวแปรทุกตัวกลายเป็นฟังก์ชันของ $t$ ดังนั้นแต่ละอนุพันธ์จึงมีปัจจัย "$\,/\,dt$" แทรกอยู่ กฎคูณและกฎหารอาจจำเป็นด้วย

ขั้นตอนที่เชื่อถือได้ – และรูปแบบเต็มคะแนนในการสอบ:

1. ตั้งชื่อตัวแปร และเขียนอัตรากำหนดให้และอัตราที่ต้องการหา (เช่น "$\dfrac{dh}{dt}=-2$ ซม./วัน, หา $\dfrac{dV}{dt}$").
2. เขียนสมการ ที่เชื่อมโยงปริมาณเหล่านั้น (มักเป็นสูตรเรขาคณิตหรือปริมาตร).
3. หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ $t$ (กฎโซ่) – ก่อน แทนค่าตัวเลข.
4. แทนค่า ค่า Known ที่ช่วงเวลาที่ต้องการ และแก้หาค่าอัตราที่ไม่ทราบค่า.
5. ระบุ answer พร้อม หน่วย และ เครื่องหมาย ที่ถูกต้อง (ปริมาณที่ลดลงจะมีอัตราเป็นลบ).

ตัวอย่างวิธีทำ. พัมพ์อากาศเข้าไปในลูกโป่งทรงกลมจนปริมาตรเพิ่มขึ้นที่ $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. รัศมีเพิ่มเร็วแค่ไหนเมื่อ $r=5\ \text{cm}$? เริ่มจาก $V=\tfrac43\pi r^3$ และหาอนุพันธ์เทียบกับ $t$ ก่อน:

ใกล้จุดสัมผัส curves เรียบเนียนดูเหมือนเส้นสัมผัสของมัน – นี่คือ ความเป็นเส้นตรงในท้องถิ่น ดังนั้นเส้นสัมผัสจึงให้การ ประมาณค่าแบบเส้นตรง (linearization) ของฟังก์ชันใกล้จุดนั้น:

ตัวอย่างวิธีทำ. ประมาณ $\sqrt{4.1}$. เลือก $f(x)=\sqrt{x}$ และ $a=4$: $f(4)=2$ และ $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ ดังนั้น $f'(4)=\dfrac14$. จากนั้น $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (ค่าจริงคือ $2.0248\ldots$). เนื่องจาก $\sqrt{x}$ เว้าลง เส้นสัมผัสอยู่เหนือ curve ดังนั้นนี่คือการ ประเมินค่าเกินเล็กน้อย – อธิบายว่าเกิน/不足的 ด้วยเครื่องหมายของ $f''$.

เมื่อแทนค่าโดยตรงในเศษส่วนของลิมิตให้ รูปไม่กำหนดได้ $\dfrac{0}{0}$ หรือ $\dfrac{\infty}{\infty}$ คุณสามารถใช้ กฎของ L'Hospital ได้:

ตัวอย่างวิธีทำ. คำนวณ $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. การแทนค่าจะได้ $\tfrac00$, ดังนั้นหาอนุพันธ์เศษและส่วน: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – ยืนยันลิมิตที่มีชื่อเสียงจากหน่วยที่ 1.

• ในโจทย์การเคลื่อนที่: ความเร็วเป็นอนุพันธ์ของตำแหน่ง, ความเร่งเป็นอนุพันธ์ของความเร็ว; ความเร็วเพิ่มขึ้นเมื่อความเร็วและความเร่งมีเครื่องหมายเดียวกัน
• สำหรับ อัตราที่เกี่ยวข้องกัน, หาอนุพันธ์ของสมการที่เชื่อมโยงเทียบกับ เวลา, แล้วแทนค่าที่กำหนดให้สุดท้าย
• ใช้เส้นสัมผัสสำหรับการ ประมาณค่าแบบเส้นตรง Near จุดที่ทราบ; มีความแม่นยำเฉพาะใกล้เท่านั้น
• อ่านเครื่องหมายของอัตรา: บวกหมายความว่าปริมาณเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวกัน, ลบหมายความว่าตรงกันข้าม
• ต้องระบุหน่วยเสมอและตีความคำตอบในบริบท