ดิฟเฟอเรนเชียชัน: ฟังก์ชันผสม ฟังก์ชันโดยนัย และฟังก์ชันผกผัน

AP Calculus AB · หัวข้อ 3

ดูสไลด์ ฝึกฝน

บทเรียนวิดีโอสำหรับหัวข้อนี้ เปิดหน้าวิดีโอ

3.1

กฎลูกโซ่

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (FUN-3): การตระหนักถึงโอกาสในการใช้กฎอนุพันธ์สามารถทำให้การหาอนุพันธ์ง่ายขึ้น

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-3.C: คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้

FUN-3.C.1 กฎลูกโซ่เป็นวิธีการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

กฎลูกโซ่

หน่วยที่ 2 ทำอนุพันธ์ฟังก์ชันเดี่ยว หน่วยที่ 3 ทำอนุพันธ์ฟังก์ชันที่ถูกสร้าง ภายใน ฟังก์ชันอื่น กฎลูกโซ่ ทำอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันประกอบ $f\big(g(x)\big)$:

$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

"อนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก (ทิ้งส่วนภายในไว้ตามเดิม) คูณด้วยอนุพันธ์ของส่วนภายใน" อนุพันธ์ของส่วนภายใน $g'(x)$ คือสิ่งที่นักเรียนมักจะลืม ดังนั้นต้องถามเสมอว่า "ส่วนภายในคืออะไร และอนุพันธ์ของมันคืออะไร" ตัวอย่าง:

$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

ในสัญลักษณ์莱布นิ茨, ด้วย $y=f(u)$ และ $u=g(x)$, กฎอ่านว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ – ตัวกลาง $du$ ดูเหมือน "ตัดออก" คำถามข้อสอบมักให้ตารางสำหรับ $f$, $g$, $f'$, $g'$ และขอหาค่า $h'(a)$ เมื่อ $h(x)=f\big(g(x)\big)$; คำนวณ $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ โดยการอ่านค่าจากตาราง

ตัวอย่างฝึกหัด หาอนุพันธ์ของ $h(x)=(2x^2+1)^5$ ฟังก์ชันภายนอกคือ "(บางสิ่ง)$^5$", ส่วนภายในคือ $2x^2+1$:

$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot\frac{d}{dx}(2x^2+1)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$

ตุ๊กตาไม้มาทรיוชกา: กฎลูกโซ่ทำอนุพันธ์ฟังก์ชันที่ซ้อนกันทีละชั้น – ภายนอกก่อน แล้วค่อยส่วนในถัดไป

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
chain rule/tʃeɪn ruːl/	กฎโซ่ (Chain Rule)
composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/	ฟังก์ชันประกอบ
Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/	การหาอนุพันธ์แบบล่องหน (Implicit Differentiation)
inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/	ฟังก์ชันผกผัน
reciprocal/rɪˈsɪprəkl/	ส่วนกลับ
inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/	ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	อนุพันธ์อันดับสอง

3.2

การหาอนุพันธ์แบบ ضمن

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (FUN-3): การตระหนักถึงโอกาสในการใช้กฎอนุพันธ์สามารถทำให้การหาอนุพันธ์ง่ายขึ้น

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-3.D: คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดโดยวิธีซ่อนเร้น

FUN-3.D.1 กฎลูกโซ่เป็นพื้นฐานของการหาอนุพันธ์แบบซ่อนเร้น

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

บางเส้นโค้งถูกกำหนดโดย นิพจน์ทางอ้อม – จากสมการใน $x$ และ $y$ ที่ไม่ได้แก้หาค่า $y$ ออกมา เช่น $x^2+y^2=25$. การหาอนุพันธ์แบบ นิพจน์ทางอ้อม ช่วยหา $\dfrac{dy}{dx}$ โดยไม่ต้องแก้หาค่า $y$ ก่อน เป็นเพียงการใช้กฎลูกโซ่ โดยพิจารณา $y$ เป็นฟังก์ชันของ $x$.

วิธีการ: หาอนุพันธ์ ทั้งสองข้าง เทียบกับ $x$; ทุกครั้งที่หาอนุพันธ์เทอมที่มี $y$ ให้คูณด้วย $\dfrac{dy}{dx}$ (กฎลูกโซ่); จากนั้นจัดรูปสมการเพื่อหาค่า $\dfrac{dy}{dx}$. สำหรับ $x^2+y^2=25$:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

ตัวอย่างวิธีทำ. หาสัมประสิทธิ์ความชันของเส้นสัมผัสวงกลม $x^2+y^2=25$ ที่จุด $(3,4)$. จากส่วนบน $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$ จุดนั้น ดังนั้นเส้นสัมผัสคือ

$$y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3).$$

สังเกตว่าเส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมี ตามที่เรขาคณิตบอกไว้ – เป็นการตรวจสอบความถูกต้องที่ดี

การหาอนุพันธ์แบบนิพจน์ทางอ้อมให้เส้นสัมผัสวงกลม ซึ่งตั้งฉากกับรัศมี

ทักษะการสอบ – "แสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". คำสั่งนี้ exact มักปรากฏทุกปี (เช่น "แสดงว่า $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). เนื่องจาก target ถูกกำหนดแล้ว, คุณต้องแสดง ทุกขั้นตอนทางพีชคณิต อย่างชัดเจน: หา derivative ทั้งสองข้าง, ใช้กฎผลคูณ/ลูกโซ่กับพจน์ผสม $xy$, รวบรวมพจน์ $\dfrac{dy}{dx}$ ไว้ด้านเดียว, factoring, และหาร. บรรทัดสุดท้ายที่ถูกต้องแต่ข้ามขั้นตอนพีชคณิตจะได้คะแนนน้อย. ส่วนต่อจากนั้นอาจถามหาเส้นสัมผัส, หรือจุดที่เส้นสัมผัสเป็นแนวนอน ($\tfrac{dy}{dx}=0$, ดังนั้นตัวเศษคือ $0$) หรือแนวตั้ง (ตัวส่วนคือ $0$).

3.3

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (FUN-3): การตระหนักถึงโอกาสในการใช้กฎอนุพันธ์สามารถทำให้การหาอนุพันธ์ง่ายขึ้น

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-3.E: คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

FUN-3.E.1 กฎลูกโซ่และนิยามของฟังก์ชันผกผันสามารถใช้หาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันได้ โดยต้องมีอนุพันธ์อยู่ก่อน

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

หาก $g$ เป็น ฟังก์ชันผกผัน ของ $f$ (ดังนั้น $f(g(x))=x$), กฎลูกโซ่เชื่อมโยงอนุพันธ์ของทั้งสอง:

$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$

ตามคำพูด: อนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันที่จุดหนึ่งคือ ค่าผกผัน ของอนุพันธ์ของฟังก์ชันต้นฉบับที่ จุดที่สอดคล้องกัน. การตั้งค่าข้อสอบที่พบบ่อยคือให้ตารางและจุด $(a,b)$ บน $f$ (ดังนั้น $(b,a)$ อยู่บน $g$), แล้วขอหาค่า $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

กราฟของฟังก์ชันผกผันคือภาพสะท้อนของฟังก์ชันต้นฉบับในเส้น y = x

ตัวอย่างวิธีทำ. สมมติว่า $f(2)=5$ และ $f'(2)=3$, และ $g$ เป็นฟังก์ชันผกผันของ $f$. เนื่องจาก $(2,5)$ อยู่บน $f$, จุด $(5,2)$ จึงอยู่บน $g$, และ

$$g'(5)=\frac{1}{f'(2)}=\frac{1}{3}.$$

กราฟของ $f$ และ $g$ เป็นภาพสะท้อนกันใน $y=x$, ดังนั้นความชันที่จุดที่สอดคล้องกันจะเป็นค่าผกผันกัน

สำรวจ

ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันผกผันคือลอการิทึม

y = a·e^(bx) + c

ฟังก์ชันผกผันเป็นภาพสะท้อนกันผ่าน $y=x$ และความชันของพวกมันเป็นผล역กัน: $\frac{d}{dx}[f^{-1}(x)] = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$. ที่ใดหนึ่งชัน ฟังก์ชันผกผันของมันจะแบน

3.4

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (FUN-3): การตระหนักถึงโอกาสในการใช้กฎอนุพันธ์สามารถทำให้การหาอนุพันธ์ง่ายขึ้น

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-3.E: คำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันและฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

FUN-3.E.2 การใช้กฎลูกโซ่ร่วมกับนิยามของฟังก์ชันผกผัน หรือสูตรของอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน สามารถใช้ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันได้

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

แนวคิดเดียวกันนี้ให้ผลอนุพันธ์ของ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน. สามอย่างที่คุณควรจำได้:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

รวมกับกฎลูกโซ่เมื่อตัวแปรเข้าเป็นฟังก์ชันเอง เช่น $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

3.5

การเลือกขั้นตอนสำหรับการหาอนุพันธ์

หลักสูตร

หัวข้อนี้มุ่งเน้นทักษะการเลือกขั้นตอนที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ นักเรียนควรได้รับโอกาสฝึกฝนเมื่อใดและอย่างไรที่จะนำไปใช้กับวัตถุประสงค์การเรียนรู้ทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณอนุพันธ์

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

หัวข้อทักษะ: อนุพันธ์จริงผสมหลายกฎ ดังนั้นอ่านโครงสร้างของนิพจน์ก่อน โดยเริ่มจากภายนอกเข้าสู่ภายใน

เป็น ผลบวก? หาอนุพันธ์ทีละพจน์.
เป็น ผลคูณ หรือ ผลหาร? ใช้กฎนั้น และคาดหวังว่าจะต้องใช้กฎลูกโซ่ภายใน.
เป็น ฟังก์ชันประกอบ (มีอะไรอยู่ภายในอีก)? ใช้กฎลูกโซ่.
กำหนดโดย นิพจน์ทางอ้อม? ใช้การหาอนุพันธ์แบบนิพจน์ทางอ้อม.

ระบุการดำเนินการที่อยู่ชั้นนอกสุด ใช้กฎของมัน แล้ววนลูปเข้าไปด้านใน. ความเรียบร้อยช่วยป้องกันความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายและการบันทึกข้อมูลซึ่งอาจทำให้เสียคะแนน

3.6

การคำนวณอนุพันธ์อันดับสูง

หลักสูตร

ความเข้าใจที่ยั่งยืน (FUN-3): การตระหนักถึงโอกาสในการใช้กฎอนุพันธ์สามารถทำให้การหาอนุพันธ์ง่ายขึ้น

วัตถุประสงค์การเรียนรู้ FUN-3.F: หาอนุพันธ์ระดับสูงของฟังก์ชัน

FUN-3.F.1 การหาอนุพันธ์ $f'$ จะได้อนุพันธ์อันดับสอง $f''$ โดย前提是ว่าอนุพันธ์ของ $f'$ มีอยู่; การทำกระบวนการนี้จะซ้ำ会产生อนุพันธ์ระดับสูงของ $f$
FUN-3.F.2 อนุพันธ์ระดับสูงแสดงด้วยสัญลักษณ์หลากหลาย สำหรับ $y = f(x)$ สัญลักษณ์ของอนุพันธ์อันดับสองประกอบด้วย $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ และ $y''$ อนุพันธ์ระดับสูงสามารถเขียนแทนได้ด้วย $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ หรือ $f^{(n)}(x)$

แหล่งที่มา: คำอธิบายหลักสูตรและข้อสอบ College Board AP

การหาอนุพันธ์ $f'$ จะได้อันตรภาคที่ สอง $f''$; การทำซ้ำจะได้อันตรภาคอันดับสูงขึ้น. สัญลักษณ์:

$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$

อนุพันธ์อันดับสองวัดการเปลี่ยนแปลงของ ความชัน;它驱动 later units中的 concavity และ acceleration. ในการหา $f''$ แบบนิพจน์ทางอ้อม, หาอนุพันธ์นิพจน์ของ $\dfrac{dy}{dx}$ อีกครั้ง (โดยใช้กฎผลหารและกฎลูกโซ่), แล้วแทนค่า $\dfrac{dy}{dx}$ กลับเข้าไปใหม่.

สำรวจ

ความชันของความชัน: อนุพันธ์อันดับสอง

y = ax³ + bx² + cx + d

หาอนุพันธ์อีกครั้งจะได้ อนุพันธ์อันดับสอง — อัตราการเปลี่ยนแปลงของความชัน ที่何处ความชันของเส้นสัมผัสเองก็เพิ่มขึ้น เส้นโค้งจะงอขึ้น (เว้าขึ้น)

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
concavity/kənˈkævɪti/	ความเว้า

3.6

ข้อแนะนำสำหรับการสอบ

ใช้ กฎลูกโซ่ กับฟังก์ชันประกอบ — หาอนุพันธ์ของส่วนนอก แล้วคูณด้วยอนุพันธ์ของส่วนใน (ปัจจัยที่ถูกลืมมากที่สุด).
สำหรับการหาอนุพันธ์แบบ นิพจน์ทางอ้อม, หาอนุพันธ์ทั้งสองข้างเทียบกับ $x$ และติด $\tfrac{dy}{dx}$ ทุกครั้งที่หาอนุพันธ์ $y$, แล้วแก้สมการ.
ได้ อนุพันธ์อันดับสอง bằng cáchหาอนุพันธ์สองครั้ง (ความเร็ว → ความเร่ง).
รวมกฎอย่างระมัดระวังในนิพซ้อนชั้น (กฎลูกโซ่ภายในผลคูณ, ฯลฯ).
กราฟของฟังก์ชันผกผันคือการสะท้อนใน $y=x$; ความชันของมันคือค่าผกผันของความชันเดิมที่จุดที่สอดคล้องกัน.

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที

ข้อสอบย้อนหลัง

หัวข้อเพิ่มเติมใน AP Calculus AB