Выборочное распределение x-черты
| English | Русский |
|---|---|
| sample mean/ˈsæmpl miːn/ | среднее значение выборки |
| standard error/ˈstændəd ˈerə/ | стандартная ошибка |
Распределение x-bar
- Выборочное среднее $\bar{x}$ оценивает истинное среднее популяции $\mu$.
- Его выборочное распределение центрировано в $\mu$: $\mu_{\bar{x}} = \mu$ (так что $\bar{x}$ является несмещённым).
- Каждая выборка дает другое $\bar{x}$; разброс уменьшается с размером выборки.
- Это основная статистика для выводов о средних.
Стандартное отклонение
- Стандартное отклонение $\bar{x}$ равно:
-
$$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
- СКО популяции, деленное на $\sqrt{n}$ — часто называемое стандартной ошибкой.
- Увеличьте $n$ в четыре раза, и разброс уменьшится вдвое (из-за корня).
Нормальность через ЦТН
- Является ли $\bar{x}$ нормальным? Два способа это обосновать:
- Если популяция нормальна, $\bar{x}$ точно нормален для любого $n$.
- В противном случае Центральная предельная теорема обеспечивает приближенную нормальность при $n \ge 30$.
- Всегда указывайте, на каком именно обосновании основана ваша задача.
Условия и вероятности
- Проверьте условие 10% ($n \le 0.10N$) при выборке без возвращения.
- При обоснованной нормальности стандартизируйте: $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
- Затем найдите вероятности для $\bar{x}$ из стандартного нормального распределения.
- Это отвечает на вопрос «насколько вероятно выборочное среднее, отклоняющееся от $\mu$ на такое расстояние?»
Используйте $\sigma/\sqrt{n}$, а не $\sigma$, для разброса $\bar{x}$ — выборочное среднее варьируется гораздо меньше, чем отдельные значения данных. Частая ошибка — делить на $n$ вместо $\sqrt{n}$. И явно обоснуйте нормальность: либо нормальная популяция, либо ЦТН с большим $n$ — не предполагайте, что $\bar{x}$ нормально для маленькой выборки из скошенного распределения.
Среднее популяции $\mu = 100$, СКО $\sigma = 20$; выберите $n = 25$.
- Центр: $\mu_{\bar{x}} = 100$. СО: $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{20}{\sqrt{25}} = \dfrac{20}{5} = 4$.
- $P(\bar{x} > 108)$: $z = \dfrac{108 - 100}{4} = 2$ → примерно $2.5\%$.
- Таким образом, выборочное среднее выше $108$ довольно маловероятно.
Среднее выборки $\bar{x}$ имеет среднее $\mu_{\bar{x}} = \mu$ и СКО $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Обоснуйте нормальную модель либо нормальным распределением генеральной совокупности, либо Центральной предельной теоремой ($n\ge 30$); проверьте условие 10% при выборке без возвращения, затем найдите вероятности через $z = \frac{\bar{x}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$.
Выборочное распределение x-черты
Центрировано при μ, разброс σ/√n (стандартная ошибка).
Генеральная совокупность σ = 20, n = 25. Найдите SD x-черты, σ/√n.
20/√25 = 20/5 = 4.
При μ=100 и SD x-черты = 4, найдите z-оценку x-черты = 108.
z = (108 − 100)/4 = 2.
Стандартное отклонение выборочного среднего равно...
Разделите σ на √n — а не на n.
Если генеральная совокупность нормальна, то x-черта нормальна при любом объеме выборки n.
Нормальное распределение генеральной совокупности дает точно нормальное x-черту при любом n.
Чтобы выборочное распределение x-черты имело вдвое меньший разброс, следует...
Разброс ∝ 1/√n, поэтому 4× n уменьшает SD вдвое.