Разность двух средних
| English | Русский |
|---|---|
| difference of two sample means/ˈdɪfrəns ɒv tuː ˈsæmpl miːnz/ | разность двух средних значений выборки |
Сравнение двух средних
- Для сравнения двух средних популяции используйте разность двух выборочных средних $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$.
- Её выборочное распределение центрировано на истинной разности: $\mu_1 - \mu_2$.
- Эта статистика лежит в основе каждой двухвыборочной $t$-процедуры в Разделе 7.
- Она показывает, действительно ли средние двух групп различаются.
Объединение двух разбросов
- Стандартное отклонение объединяет изменчивость обеих групп:
-
$$\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$$
- Снова дисперсии складываются — каждая группа вносит свой собственный член $\frac{\sigma^2}{n}$.
- $+$ выполняется, даже если мы берем разность средних.
Условия для обеих выборок
- Нормальность: каждое $\bar{x}$ должно быть нормальным — нормальная популяция или достаточно большой $n$ (ЦТН) для каждой группы.
- Независимость: две выборки независимы друг от друга.
- Условие 10% для каждой при выборке без возвращения.
- Проверьте их отдельно для группы $1$ и группы $2$.
Использование нормальной модели
- При выполнении условий $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ приблизительно нормально.
- Стандартизируйте: (наблюдаемая разность $-$ истинная разность) $\div$ объединенное СКО.
- Найдите вероятность из стандартного нормального распределения.
- Этот фундамент становится двухвыборочным $t$-тестом и интервалом позже.
Складывайте дисперсии, даже для разности средних — $\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}$, затем корень; никогда не вычитайте и никогда не складывайте СКО напрямую. И каждой группе нужно собственное обоснование нормальности (нормальная популяция или большой $n$) — ЦТН должна выполняться для каждой группы, а не для объединенных данных.
Группа $1$: $\mu_1 = 50$, $\sigma_1 = 6$, $n_1 = 9$. Группа $2$: $\mu_2 = 45$, $\sigma_2 = 8$, $n_2 = 16$.
- Центр: $\mu_1 - \mu_2 = 50 - 45 = 5$.
- SD: $\sqrt{\dfrac{36}{9} + \dfrac{64}{16}} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} \approx 2.83$.
- Стандартизируйте любую наблюдаемую разность относительно этого центра и СКО.
Разность двух выборочных средних $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ имеет среднее $\mu_1 - \mu_2$ и СКО $\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1} + \frac{\sigma_2^2}{n_2}}$ (дисперсии складываются). Моделируйте её как нормальную, когда выполнены условия нормальности (для каждой группы) и независимости — это основа для двухвыборочных выводов о средних.
Распределение x-черта1 − x-черта2
Центрировано при μ1 − μ2; две дисперсии складываются под корнем.
μ1 = 50, μ2 = 45. Найдите центр x-черта1 − x-черта2.
μ1 − μ2 = 50 − 45 = 5.
σ1=6,n1=9 и σ2=8,n2=16. Найдите SD = √(36/9 + 64/16). Округлите до двух знаков.
√(4 + 4) = √8 ≈ 2.83.
Дисперсия разности двух независимых выборочных средних равна сумме двух дисперсий.
Дисперсии складываются даже для разности: σ1²/n1 + σ2²/n2.
Для нормальной модели x-черта1 − x-черта2 нормальность должна быть обоснована...
Каждая группа должна иметь нормальную генеральную совокупность или достаточно большое n.
Вы можете сложить два стандартных отклонения напрямую, чтобы получить SD разности.
Сложите дисперсии, затем извлеките корень — а не SD.