Разность двух долей
| English | Русский |
|---|---|
| difference of two sample proportions/ˈdɪfrəns ɒv tuː ˈsæmpl prəˈpɔːʃnz/ | разность двух долей выборки |
Сравнение двух групп
- Часто мы сравниваем две доли — например, поддержку в группе $1$ против группы $2$.
- Статистикой является разность двух выборочных долей $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$.
- Её выборочное распределение центрировано на истинной разности: $\mu = p_1 - p_2$.
- Это позволяет оценить, действительно ли две группы различаются.
Объединение разбросов
- Стандартное отклонение объединяет изменчивость обеих выборок:
-
$$\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$$
- Обратите внимание на $+$: дисперсии складываются (напоминает правило «объединения переменных»), даже для разности.
- Каждая группа вносит свой собственный член $\frac{p(1-p)}{n}$.
Проверка обеих выборок
- Примените условие больших чисел к каждой группе: $n_1p_1, n_1(1-p_1), n_2p_2, n_2(1-p_2)$ все $\ge 10$.
- Требуйте независимости: две выборки независимы друг от друга.
- Также проверьте условие 10% для каждой при выборке без возвращения.
- Только тогда нормальная модель для $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ будет корректна.
Использование нормальной модели
- При выполнении условий $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ приблизительно нормально.
- Стандартизируйте с помощью $z$-оценки: (наблюдаемая разница $-$ истинная разница) $\div$ объединенное SD.
- Затем найдите вероятности из стандартного нормального распределения, как и раньше.
- Это основа для тестов и интервалов для двух долей (Раздел 6).
Дисперсии складываются — даже для разности. СКО для $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ объединяет два члена $\frac{p(1-p)}{n}$ через $+$, а затем корень; вы никогда не вычитаете их. И проверяйте условие больших чисел в обеих группах отдельно (четыре числа, все $\ge 10$) — одна здоровая группа не оправдывает малую.
$p_1 = 0.5$ ($n_1 = 100$), $p_2 = 0.4$ ($n_2 = 100$).
- Центр: $p_1 - p_2 = 0.5 - 0.4 = 0.1$.
- SD: $\sqrt{\dfrac{0.5(0.5)}{100} + \dfrac{0.4(0.6)}{100}} = \sqrt{0.0025 + 0.0024} = \sqrt{0.0049} = 0.07$.
- Числа: все четыре ($50, 50, 40, 60$) превышают $10$ → нормальность допустима.
Разность двух выборочных долей $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ имеет среднее $p_1 - p_2$ и СКО $\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$ (дисперсии складываются). Моделируйте её как нормальную, когда условия больших чисел и независимости выполнены для обеих выборок.
Распределение p-ша1 − p-ша2
Центрировано при p1 − p2; две дисперсии складываются под корнем.
p1=0,5, p2=0,4. Найдите центр (среднее) p-ша1 − p-ша2.
Среднее = p1 − p2 = 0,5 − 0,4 = 0,1.
При p1=0,5,n1=100 и p2=0,4,n2=100: SD = √(0,0025+0,0024). Округлите до двух знаков.
√0.0049 = 0.07.
Чтобы найти SD разности двух долей, нужно вычесть две дисперсии.
Дисперсии СЛАГАЮТСЯ, даже для разности, затем берется корень.
Для нормальной модели p-ша1 − p-ша2 условие больших чисел должно выполняться...
Все четыре числа (в обеих группах) должны быть ≥ 10.
Две выборки должны быть независимы друг от друга для этой модели.
Независимость между выборками обязательна.