Выборочное распределение p-ша

Словарь

English	Русский
sample proportion/ˈsæmpl prəˈpɔːʃn/	доля выборки
large counts condition/lɑːdʒ kaʊnts kənˈdɪʃn/	условие больших чисел
10% condition/ten pəˈsent kənˈdɪʃn/	условие 10%

Распределение p-hat

Доля выборки $\hat{p}$ оценивает истинную долю генеральной совокупности $p$.
Его выборочное распределение центрировано в $p$: $\mu_{\hat{p}} = p$ (так что $\hat{p}$ является несмещённым).
Разные выборки дают разные $\hat{p}$ — разброс мы количественно оценим далее.
При подходящих условиях это распределение является приблизительно нормальным.

Её стандартное отклонение

Стандартное отклонение $\hat{p}$ равно:
$$\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$
Больший $n$ → меньшее разброс → более точная оценка (знаменатель в формуле $\sqrt{n}$).
Это измеряет типичное расстояние $\hat{p}$ от истинного $p$.

Условие больших чисел

Чтобы использовать нормальную модель для $\hat{p}$, проверьте условие больших чисел:
$$np \ge 10 \quad\text{and}\quad n(1-p) \ge 10$$
Простыми словами: ожидайте хотя бы $10$ успехов и хотя бы $10$ неудач.
Если любое количество меньше $10$, выборочное распределение слишком скошено для нормальной модели.

Условие 10%

При выборке без возвращения проверьте условие 10% 10%.
Выборка должна составлять не более $10\%$ от генеральной совокупности: $n \le 0.10 N$.
Это сохраняет испытания «достаточно близкими» к независимым, чтобы формула СО работала.
Небольшой срез большой популяции почти не меняется при выборке.

Watch out

Два разных условия выполняют разные функции. Условие больших чисел ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$) обосновывает нормальную форму; условие 10% ($n\le0.10N$) обосновывает независимость, лежащую в основе формулы СКО. Проверьте оба условия перед моделированием $\hat{p}$ как нормального — пропуск любого из них делает последующий вывод недействительным.

Example

$p = 0.4$ популяции поддерживает план; вы выбираете $n = 100$.

Центр: $\mu_{\hat{p}} = 0.4$. СО: $\sqrt{\dfrac{0.4 \times 0.6}{100}} = \sqrt{0.0024} \approx 0.049$.
Большие числа: $np = 40 \ge 10$ и $n(1-p) = 60 \ge 10$. ✓ Норма допустима.
10%: хорошо, пока популяция превышает $1000$.

Key idea

Выборочная доля $\hat{p}$ имеет $\mu_{\hat{p}} = p$ и $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Моделируйте её как нормальную, когда выполняется условие больших чисел ($np\ge10$, $n(1-p)\ge10$); при выборке без возвращения также проверьте условие 10% ($n \le 0.10N$).

Исследовать