Смещенные и несмещенные оценки
| English | Русский |
|---|---|
| point estimate/pɔɪnt ˈestɪmət/ | точечной оценкой |
| unbiased/ʌnˈbaɪəst/ | несмещенный |
Предположение параметра
- Точечная оценка — это одно число, полученное из выборки, используемое для оценки параметра.
- $\bar{x}$ оценивает $\mu$; $\hat{p}$ оценивает $p$; $s$ оценивает $\sigma$.
- Это наша лучшая одиночная догадка — но это лишь одно значение изменяющейся статистики.
- Качество оценщика зависит от того, где он центрируется и насколько сильно он варьирует.
Что означает «несмещенность»
- Оценщик является несмещённым, если его выборочное распределение центрировано на истинном параметре.
- «Центрировано на» означает, что среднее оценщика равно параметру.
- В среднем, на многих выборках несмещённый оценщик попадает в цель.
- $\bar{x}$ и $\hat{p}$ являются несмещенными оценками для $\mu$ и $p$.
Центр = смещение
- Смещение касается центра выборочного распределения, а не любой отдельной оценки.
- Если среднее оценщика находится в стороне от параметра, он является смещённым — систематически слишком высоким или низким.
- Несмещённый оценщик всё ещё может промахнуться на любой одной выборке (это вариабельность, а не смещение).
- Сначала стремитесь к оценщику, центрированному в правильном месте.
Вариабельность уменьшается с ростом n
- Вариабельность оценщика (насколько сильно он колеблется) уменьшается по мере роста $n$.
- Большие выборки → более узкое выборочное распределение → более точные оценки.
- Смещение и вариабельность — раздельные цели: попасть в центр, и сохранить разброс маленьким.
- Идеальный оценщик — несмещённый с низкой вариабельностью.
Смещение и вариабельность — разные вещи. Смещение касается центра выборочного распределения (попадает ли в цель?); вариабельность касается его размаха (насколько сильно колеблются оценки). Увеличение объёма выборки уменьшает вариабельность, но не устраняет смещение — смещённый метод остаётся со смещением при любом $n$ (повторение из Раздела 3).
Оценка среднего значения популяции $\mu = 100$.
- $\bar{x}$ является несмещённым: среднее его выборочного распределения в точности равно $100$.
- При $n = 25$ оценки широко рассеяны; при $n = 400$ они плотно группируются вокруг $100$.
- Тот же центр (несмещённость), меньшая вариабельность — лучшая оценка.
Точечная оценка — это однозначная догадка о параметре (например, $\bar{x}$ для $\mu$). Оценщик является несмещённым, когда центр его выборочного распределения равен параметру. Смещение касается этого центра; вариабельность касается размаха и уменьшается по мере роста $n$ — но большая выборка никогда не устраняет смещение.
Центр = смещение, разброс = вариабельность
Несмещенность означает центрирование на параметре; большее n сужает разброс.
Оценщик является несмещенным, когда центр его выборочного распределения...
Несмещенность = центрирование на параметре.
Увеличение размера выборки снижает вариабельность оценщика.
Большее n → более узкое выборочное распределение.
Увеличение объема выборки может устранить смещение смещенной оценки.
Уменьшение объема снижает вариабельность, но не смещение — смещенная оценка остается смещенной от центра.
Одно число из выборки, используемое для оценки параметра, представляет собой ___ оценку (одно слово).
Точечная оценка — это лучшее предположение в виде одного числа.
Смещение является свойством ___ выборочного распределения.
Смещение = смещение центра от цели; вариабельность = разброс.