Центральная предельная теорема
| English | Русский |
|---|---|
| Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/ | Центральная предельная теорема |
| population distribution/ˌpɒpjʊˈleɪʃn ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | распределение населения |
Самый важный теорема
- Центральная предельная теорема (ЦПТ) — это двигатель большинства статистических выводов.
- Она гласит: выборочное распределение выборочного среднего $\bar{x}$ является приблизительно нормальным для большой выборки.
- Это верно при любой форме собственной генеральной совокупности.
- Почти волшебный результат — нормальность возникает усреднением.
Работает даже для странных совокупностей
- Распределение генеральной совокупности может быть скошенным, бимодальным или причудливым.
- Тем не менее, распределение $\bar{x}$ по многим выборкам всё равно оказывается приблизительно нормальным.
- Усреднение «сглаживает» странную форму совокупности.
- Нужна лишь достаточно большая выборка, а не нормальная совокупность.
Правило n ≥ 30
- Общее правило: $n \ge 30$ обычно достаточно для того, чтобы ЦПТ начала действовать.
- Для приблизительно симметричной совокупности даже меньшее $n$ может быть приемлемым.
- Для очень скошенной совокупности может потребоваться еще большее $n$.
- Это практическое руководство, а не точный закон.
Больше n — лучше нормальность
- Чем больше размер выборки, тем более близким к нормальному становится выборочное распределение $\bar{x}$.
- Большое $n$ также делает выборочное распределение уже (меньший разброс).
- Таким образом, большие выборки дают оценки, которые одновременно более нормальны и более точны.
- Вот почему размер выборки так важен при планировании исследований.
CLT относится к выборочному распределению $\bar{x}$, а не к самим данным. Большой объём выборки не делает популяцию или сырые данные нормальными — он делает распределение выборочного среднего приблизительно нормальным. Если популяция уже нормальна, $\bar{x}$ является точно нормальным для любого $n$; CLT имеет значение только тогда, когда это не так.
Доходы сильно смещены вправо (единицы с очень высоким доходом).
- Доходы одной выборки выглядят скошенными — CLT ничего об этом не говорит.
- Но усредните доходы $n = 50$ человек и повторите: эти $\bar{x}$ значения образуют приблизительно нормальное распределение.
- Так что мы можем использовать нормальную модель для $\bar{x}$, даже если доходы не являются нормальными.
Центральная предельная теорема гласит, что выборочное распределение $\bar{x}$ является приблизительно нормальным при большом объёме выборки, даже если распределение популяции не является нормальным. Общим правилом считается $n \ge 30$; большая выборка делает выборочное распределение как более нормальным, так и более узким.
Нормальность возникает из усреднения
При большом n x-bar приблизительно нормален даже из скошенной генеральной совокупности.
Центральная предельная теорема гласит, что для большой выборки выборочное распределение x-bar является...
ЦПТ обеспечивает приблизительную нормальность x-bar для большого n.
ЦПТ требует, чтобы сама генеральная совокупность была нормальной.
Она работает даже для скошенных генеральных совокупностей — в этом и заключается суть.
Какой размер выборки является общепринятым минимальным ориентиром для применения ЦПТ?
n ≥ 30 — обычная рекомендация.
По мере увеличения размера выборки выборочное распределение x-bar становится...
Большее n → более нормальное и меньший разброс.
ЦПТ делает исходные данные нормальными, а не только распределение x-bar.
Речь идет о выборочном распределении среднего, а не об исходных данных.