Нормальное распределение: повторение
| English | Русский |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | нормального распределения |
| z-score/zed skɔː/ | z-оценка |
| standard normal/ˈstændəd ˈnɔːml/ | стандартное нормальное распределение |
| statistical inference/stəˈtɪstɪkl ˈɪnfərəns/ | статистический вывод |
Возвращение колокола
- Многие выборочные распределения хорошо моделируются нормальным распределением.
- Это знакомая симметричная кривая, описываемая средним и стандартным отклонением.
- Когда выборочное распределение статистики нормальное, мы можем вычислять для него вероятности.
- Именно поэтому нормальная модель является основным инструментом статистических выводов.
z-оценки для статистики
- $z$-оценка показывает, на сколько стандартных отклонений значение находится от среднего:
-
$$z = \frac{\text{statistic} - \text{mean}}{\text{standard deviation}}$$
- Для выборочной статистики «стандартное отклонение» — это стандартное отклонение её выборочного распределения.
- $z$-оценка переводит любое нормальное значение на единую шкалу.
Стандартное нормальное распределение
- Стандартное нормальное распределение имеет среднее $0$ и стандартное отклонение $1$.
- Любая $z$-оценка живет на ней, поэтому одна таблица (или калькулятор) решает все нормальные задачи.
- Вероятности: площадь под кривой слева/справа от $z$.
- Критические значения: $z$, которое отсекает выбранный хвостовой участок (например, $z^* = 1.96$ для среднего $95\%$).
Почему это важно для выводов
- Статистические выводы задают вопрос: «Насколько неожиданна моя выборка, если бы утверждение было верным?»
- Нормальная модель превращает это в площадь (вероятность) под кривой.
- Статистика, находящаяся далеко в хвосте (большая $|z|$), является неожиданным доказательством.
- Каждый доверительный интервал и тест в Разделах 6–9 работают на этом механизме.
Знаменатель $z$-оценки — это стандартное отклонение выборочного распределения, а не разброс сырых данных одной выборки. Путаница между ними — классическая ошибка. И помните ориентир эмпирического правила: примерно $68\%$ внутри $1$ SD, $95\%$ внутри $2$, $99.7\%$ внутри $3$ — для быстрой оценки того, насколько экстремальна является $z$.
Статистика имеет нормальное распределение со средним $50$ и SD $4$. Вы наблюдаете значение $58$.
- $z = \dfrac{58 - 50}{4} = 2$ — два стандартных отклонения выше среднего.
- Согласно эмпирическому правилу, только около $2.5\%$ значений превышают $z = 2$.
- Значит, значение $58$ является довольно неожиданным при данной модели.
Нормальное распределение моделирует многие выборочные распределения. $z$-оценка $z = \frac{\text{stat} - \text{mean}}{\text{SD}}$ отображает значение на стандартную нормаль (среднее $0$, SD $1$), где вероятности — это площади, а критические значения отсекают хвостовые области. Этот нормальный механизм лежит в основе всего статистического вывода.
Стандартное нормальное распределение, заштрихованное z
Площади под кривой дают вероятности; z обозначает порог.
Статистика имеет нормальное распределение со средним 50 и SD 4. Найдите z-оценку значения 58.
z = (58 − 50)/4 = 2.
Стандартное нормальное распределение имеет...
По определению, среднее 0 и SD 1.
Критическое значение z* для средних 95% стандартного нормального распределения составляет примерно... (два знака после запятой)
z* = 1.96 оставляет 2.5% в каждом хвосте.
Z-оценка для выборочной статистики использует стандартное отклонение ее выборочного распределения.
Не разброс исходных данных одной выборки — SD выборочного распределения.
В рамках нормальной модели статистика с большим |z| — это...
Большое |z| = далеко от центра = удивительные доказательства.