Параметры биномиального распределения
| English | Русский |
|---|---|
| parameters/pəˈræmɪtəz/ | параметрами |
Математическое ожидание биномиального распределения
- Для биномиальной величины математическое ожидание имеет очень простую формулу:
-
$$\mu_X = np$$
- Число испытаний умножить на вероятность успеха — ожидаемое число успехов.
- Подбросить монету $100$ раз: ожидать $\mu_X = 100 \times 0.5 = 50$ орлов.
Стандартное отклонение биномиального распределения
- Стандартное отклонение равно:
-
$$\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$$
- Оно показывает, насколько обычно колеблется количество успехов.
- Эти два параметра ($\mu_X$, $\sigma_X$) описывают всё биномиальное распределение.
Форма распределения
- Форма зависит от $p$: при $p = 0.5$ распределение симметрично.
- $p < 0.5$ → скошено вправо; $p > 0.5$ → скошено влево.
- По мере роста $n$ форма становится более симметричной и похожей на колокол (даже если исходное $p$ было скошенным).
- Это почти нормальное распределение при больших $n$ лежит в основе методов статистического вывода в последующих разделах.
Интерпретация в контексте задачи
- Всегда указывайте параметры своими словами из условия задачи.
- $\mu_X$: «мы ожидаем примерно $np$ успехов в среднем».
- $\sigma_X$: «количество успехов обычно варьируется примерно на $\sigma_X$».
- Цифры мало что значат, пока не будут привязаны к реальной ситуации.
Удобные формулы $\mu=np$ и $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$ действуют только для биномиальной ситуации — не используйте их для произвольной случайной величины и только после проверки условий BINS. Также обратите внимание, что SD использует $p(1-p)$: оно максимально при $p=0.5$ и уменьшается по мере приближения $p$ к $0$ или $1$ (крайние значения $p$ делают подсчет более предсказуемым).
Баскетболистка попадает со штрафного броска с вероятностью $p = 0.8$; она делает $n = 25$ бросков. $X =$ попадет.
- Математическое ожидание: ожидается $\mu_X = 25 \times 0.8 = 20$ попаданий.
- SD: $\sigma_X = \sqrt{25 \times 0.8 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2$.
- Форма: при $p = 0.8 > 0.5$ скошено влево; при $n=25$ достаточно похоже на колокол.
Для биномиальной случайной величины параметрами являются $\mu_X = np$ и $\sigma_X = \sqrt{np(1-p)}$. Форма симметрична при $p=0.5$, скошена иначе и становится более похожей на колокол по мере роста $n$. Всегда интерпретируйте $\mu_X$ и $\sigma_X$ в контексте — ожидаемые успехи и их типичная вариативность.
Форма биномиального распределения
При p ≠ 0.5 распределение скошено; при большом n оно становится более похожим на колокол.
У биномиального распределения n = 25, p = 0.8. Найдите среднее np.
μ = np = 25 × 0.8 = 20.
Для n = 25, p = 0.8 найдите стандартное отклонение √(np(1−p)).
√(25·0.8·0.2) = √4 = 2.
Биномиальное распределение абсолютно симметрично, когда...
p = 0.5 дает симметричное распределение.
По мере увеличения n биномиальное распределение становится более похожим на колокол (более симметричным).
Большое n приближает форму к нормальной.
Стандартное отклонение биномиального распределения √(np(1−p)) максимально, когда...
p(1−p) достигает пика при p = 0.5.