Геометрическое распределение
| English | Русский |
|---|---|
| geometric/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk/ | геометрическим |
| geometric random variable/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | геометрическая случайная величина |
Ожидание первого успеха
- Геометрическое распределение подсчитывает испытания до первого успеха.
- Геометрическая случайная величина $X$ = количество испытаний, необходимых для получения первого успеха.
- Пример: сколько бросков нужно сделать, чтобы получить первую шестерку?
- В отличие от биномиального, $n$ здесь не фиксировано — вы останавливаетесь сразу же, как только добиваетесь успеха.
Геометрическая ситуация
- Те же условия для испытаний, что и в биномиальном случае, но другое правило остановки:
- Повторяющиеся независимые испытания, каждое с одинаковой вероятностью $p$ успеха.
- Вы продолжаете до первого успеха, затем останавливаетесь.
- Фраза «до первого успеха» является сигнальным словом для геометрического распределения.
Формула геометрического распределения
-
$$P(X = k) = (1-p)^{k-1}\,p$$
- Успеть первым на испытании $k$: проиграть первые $k-1$ раз, затем succeeded (добиться успеха).
- $(1-p)^{k-1}$ = эти неудачи; $p$ = успех на испытании $k$.
- Вероятности уменьшаются по мере роста $k$ — ранний успех наиболее вероятен.
Математическое ожидание геометрического распределения
- Математическое ожидание (ожидаемое число испытаний) равно:
-
$$\mu_X = \frac{1}{p}$$
- Если $p = 0.2$, то в среднем потребуется $1/0.2 = 5$ испытаний до первого успеха.
- Редкие успехи (маленькое $small$p$) означают, что придется ждать дольше — это интуитивно понятно.
Различие между геометрическим и биномиальным сводится к правилу остановки. Биномиальное: фиксированное $n$, считаем успехи. Геометрическое: работаем до первого успеха, считаем испытания. Если в задаче зафиксировано количество попыток — это биномиальное; если сказано «до первого...» — это геометрическое. И математическое ожидание геометрического равно $1/p$ — а не $np$.
Бросьте кубик до первой шестерки; $p = 1/6$.
- $P(X = 3) = (5/6)^2 (1/6) = \tfrac{25}{36}\cdot\tfrac{1}{6} \approx 0.116$ — первая шестерка выпадает на $3$-м броске.
- Математическое ожидание: ожидается $\mu_X = 1/(1/6) = 6$ бросков до первой шестерки.
- Логично — шестерка выпадает в среднем один раз каждые шесть бросков.
Геометрическая случайная величина подсчитывает испытания до первого успеха при независимых испытаниях с постоянной $p$. Тогда $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$, а математическое ожидание равно $\mu_X = \frac{1}{p}$. Ключевое отличие от биномиального: геометрическое работает до первого успеха (переменное число испытаний), биномиальное имеет фиксированное $n$.
Бросание до первого успеха
Продолжайте бросать, пока цель не появится — это геометрический подсчет.
Геометрическая переменная имеет p = 0.2. Найдите среднее число испытаний, 1/p.
μ = 1/p = 1/0.2 = 5.
Какая ситуация является геометрической (не биномиальной)?
'До первого успеха' → геометрическое; фиксированное n → биномиальное.
Бросьте кубик до первой шестерки (p = 1/6). Найдите ожидаемое количество бросков.
μ = 1/p = 1/(1/6) = 6.
В формуле геометрического распределения P(X=k) = (1−p)^(k−1)·p часть (1−p)^(k−1) означает первые k−1 неудач.
Неудача k−1 раз, затем успех на испытании k.
Среднее геометрической случайной величины равно 1, деленному на ___ (букву вероятности успеха).
μ = 1/p.