Среднее и СКО случайных величин
| English | Русский |
|---|---|
| expected value/ekˈspektɪd ˈvæljuː/ | математическим ожиданием |
| variance/ˈveərɪəns/ | дисперсией |
Долгосрочное среднее
- Среднее (или математическое ожидание) случайной величины — это её долгосрочное среднее значение.
- Написано $\mu_X$ или $E(X)$ — точка равновесия распределения.
- Это взвешенное среднее: каждое значение взвешено по своей вероятности.
- При большом числе повторений средний результат стремится к $\mu_X$.
Вычисление среднего
-
$$\mu_X = \sum x_i \, P(x_i)$$
- Умножьте каждое значение на его вероятность, затем сложите всё вместе.
- Среднее не обязательно может быть возможным значением (семья из «$2.5$ детей»).
- Это среднее, а не прогноз для какой-либо отдельной попытки.
Дисперсия и стандартное отклонение
- Дисперсия $\sigma_X^2 = \sum (x_i - \mu_X)^2 \, P(x_i)$ — это взвешенная по вероятности средняя квадратичная дистанция от среднего.
- Стандартное отклонение $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ возвращает результат к исходным единицам измерения.
- Больший $\sigma_X$ = результаты более рассеяны вокруг среднего.
- Возведите отклонения в квадрат, взвесьте по вероятности, сложите, затем извлеките корень.
Интерпретация СО
- $\sigma_X$ — это типичное расстояние результата от среднего $\mu_X$.
- Малое $\sigma_X$: результаты плотно группируются около ожидаемого значения.
- Большое $\sigma_X$: результаты сильно колеблются от испытания к испытанию.
- Вместе $\mu_X$ (центр) и $\sigma_X$ (разброс) описывают всё распределение.
Математическое ожидание — это долгосрочное среднее, а не гарантированный или даже возможный результат. $E(X)=2.5$ детей означает среднее по множеству семей, а не то, что у какой-либо семьи есть $2.5$ ребенок. А для расчета СКО используйте дисперсию: сначала возведите отклонения в квадрат, затем взвесьте, просуммируйте, и только после этого извлеките корень — не усредняйте сырые расстояния.
Игра: выиграйте $5$ долларов с вероятностью $0.2$, иначе выиграйте $0$. Пусть $X$ — выигрыш.
- Среднее: $\mu_X = 5(0.2) + 0(0.8) = 1$ доллара — долгосрочная средняя выплата.
- Дисперсия: $(5-1)^2(0.2) + (0-1)^2(0.8) = 3.2 + 0.8 = 4$.
- СО: $\sigma_X = \sqrt{4} = 2$ долларов — типичное расстояние от среднего $1$.
Среднее (ожидаемое значение) $\mu_X = \sum x_i P(x_i)$ — это долгосрочное среднее; взвешенное по вероятности среднее, которое не обязательно является возможным значением. Дисперсия $\sigma_X^2 = \sum (x_i-\mu_X)^2 P(x_i)$ и стандартное отклонение $\sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2}$ измеряют типичное расстояние результата от $\mu_X$.
Взвешивание значений по вероятности
Среднее — это точка равновесия этого взвешенного распределения.
X выигрывает 5 с вероятностью 0.2, иначе 0. Найдите среднее E(X) = 5(0.2)+0(0.8).
5(0.2) + 0(0.8) = 1.
Со средним 1: дисперсия = (5−1)²(0.2)+(0−1)²(0.8). Затем найдите стандартное отклонение.
Дисперсия = 3.2 + 0.8 = 4, значит СКО = √4 = 2.
Математическое ожидание случайной величины должно быть одним из её возможных значений.
Это долгосрочное среднее — например, 2.5 детей — может быть недостижимо.
Стандартное отклонение случайной величины измеряет...
СКО = типичное рассеивание вокруг среднего.
Среднее случайной величины также называется её ___ значением (одно слово).
Среднее = математическое ожидание = долгосрочное среднее.