Комбинирование случайных величин
| English | Русский |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | линейное преобразование |
Масштабирование и сдвиг
- Линейное преобразование $aX + b$ масштабирует на $a$ и сдвигает на $b$.
- Среднее: $\mu_{aX+b} = a\,\mu_X + b$ — и масштабирование, и сдвиг применяются.
- СО: $\sigma_{aX+b} = |a|\,\sigma_X$ — масштабирование растягивает разброс; сдвиг нет.
- Добавление константы смещает центр, но не меняет разброс.
Средние сумм и разностей
- Средние всегда складываются (или вычитаются), никаких условий не требуется:
-
$$\mu_{X+Y} = \mu_X + \mu_Y \qquad \mu_{X-Y} = \mu_X - \mu_Y$$
- Ожидаемые значения объединяются линейно, независимо от того, являются ли переменные независимыми.
- Это простая, всегда верная половина правил.
СО сумм и разностей
- Дисперсии складываются для независимых переменных — даже для разности:
-
$$\sigma_{X \pm Y}^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2$$
- Затем $\sigma_{X\pm Y} = \sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2}$.
- Обратите внимание на $+$: вы складываете дисперсии, даже когда вычитаете переменные.
Комбинирование независимых нормальных величин
- Сумма или разность независимых нормальных случайных величин также является нормальной.
- Её среднее и СО находятся по правилам выше ($\mu$ складывается/вычитается; дисперсии складываются).
- Так что можно найти вероятности для объединённой переменной с помощью нормальной модели.
- Это позволяет решать многие задачи с двумя переменными в один чистый шаг.
Две ловушки. (1) Когда вы вычитаете переменные, вы всё равно складываете их дисперсии ($\sigma_{X-Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — никогда не вычитайте дисперсии. (2) Никогда не складывайте стандартные отклонения напрямую ($\sigma_X+\sigma_Y$ неверно); складывайте дисперсии, а затем извлекайте корень. Оба правила требуют, чтобы переменные были независимыми.
$X$ (среднее $10$, СО $3$) и $Y$ (среднее $4$, СО $4$) являются независимыми.
- Среднее значение $X-Y$: $10 - 4 = 6$.
- Дисперсия: $\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 = 9 + 16 = 25$ (складывать, даже для разности).
- СКО $X-Y$: $\sqrt{25} = 5$.
Линейное преобразование: $\mu_{aX+b}=a\mu_X+b$, но $\sigma_{aX+b}=|a|\sigma_X$ (сдвиги не влияют на разброс). Средние всегда складываются/вычитаются; для независимых переменных дисперсии складываются ($\sigma_{X\pm Y}^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2$) — даже для разности. Комбинация независимых нормальных величин является нормальной.
Объединенная нормальная величина
Сумма/разность независимых нормальных величин сама является нормальной.
X имеет среднее 10, Y имеет среднее 4. Найдите среднее X − Y.
Средние вычитаются: 10 − 4 = 6.
X имеет СКО 3, Y имеет СКО 4, независимы. Найдите СКО X − Y.
Дисперсии складываются: 9 + 16 = 25, значит СКО = √25 = 5.
При вычитании двух независимых случайных величин вычитают их дисперсии.
Дисперсии СЛАГАЮТСЯ даже для разности — никогда не вычитайте их.
Для преобразования 2X + 5 стандартное отклонение становится...
СКО масштабируется на |a|, но сдвиг +5 не влияет на разброс.
Чтобы объединить стандартные отклонения независимых величин, следует складывать СКО напрямую.
Сложите дисперсии, затем извлеките квадратный корень — а не СКО.