Случайные величины
| English | Русский |
|---|---|
| random variable/ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | случайная величина |
| probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | распределение вероятностей |
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | дискретная случайная величина |
| continuous random variable/kənˈtɪnjuːəs ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | непрерывная случайная величина |
Число, зависящее от случайности
- Случайная величина присваивает число каждому исходу случайного процесса.
- Пример: $X =$ количество орлов в $3$ бросках монеты.
- Её значение определяется случайностью, поэтому она имеет распределение вероятностей.
- Случайные величины позволяют нам выполнять арифметику со случайностью.
Дискретная против непрерывной
- Дискретная случайная величина принимает отсчетные, отдельные значения ($0, 1, 2, \dots$).
- Непрерывная случайная величина может принимать любое значение в интервале (рост, время).
- Отсчет → дискретный; измерение по шкале → непрерывный.
- Этот раздел фокусируется на дискретных распределениях (таблица значений и вероятностей).
Распределение вероятностей
- Распределение вероятностей перечисляет каждое значение $x$ с его вероятностью $P(x)$.
- Два правила делают его действительным: каждое $0 \le P(x) \le 1$, и все $P(x)$ в сумме дают $1$.
- Его можно представить в виде таблицы или гистограммы.
- Распределение является полным описанием случайной величины.
Вероятности событий
- Чтобы найти $P(X \ge 2)$ или $P(X = 1)$, просто сложите соответствующие значения $P(x)$.
- "$X$ хотя бы $2$" = $P(2) + P(3) + \cdots$.
- "$X$ между" = сложите вероятности в этом диапазоне.
- Вероятность любого события — это сумма перечисленных частей.
Распределение вероятностей должно иметь все $P(x)$ в $[0,1]$, суммирующихся ровно до $1$ — если вероятности в таблице не составляют в сумме $1$, оно недействительно. И не путайте дискретное и непрерывное: вы отсчитываете дискретную величину (количество орлов), но измеряете непрерывную (точный рост человека) — инструменты различаются.
$X =$ орлов в $2$ честных бросках. Распределение: $P(0)=0.25,\ P(1)=0.5,\ P(2)=0.25$.
- Действительно? Все в $[0,1]$ и $0.25+0.5+0.25 = 1$. ✓
- $P(X \ge 1) = P(1) + P(2) = 0.5 + 0.25 = 0.75$.
- $P(X = 2) = 0.25$ — ровно два орла.
Случайная величина присваивает число каждому исходу. Дискретная принимает отсчетные значения; непрерывная принимает любое значение в интервале. Её распределение вероятностей перечисляет $P(x)$ с каждым в $[0,1]$, суммирующимся до $1$; вероятности событий, такие как $P(X\ge 2)$, являются суммами соответствующих $P(x)$.
Дискретное распределение вероятностей
Каждый столбец равен P(x); сумма столбцов равна 1.
Количество орлов при 3 бросках монеты — какая это случайная величина?
Принимает счетные отдельные значения (0,1,2,3) — дискретная.
В валидном распределении вероятностей вероятности должны суммироваться до 1.
Все P(x) находятся в [0,1] и в сумме дают ровно 1.
X = количество орлов при 2 бросках: P(0)=0.25, P(1)=0.5, P(2)=0.25. Найдите P(X ≥ 1).
P(1)+P(2) = 0.5 + 0.25 = 0.75.
Точный рост человека — какая это переменная?
Рост измеряется по шкале — непрерывная.
Правило, присваивающее число каждому исходу случайного процесса, является ___ величиной.
Это определение случайной величины.