Взаимоисключающие события
| English | Русский |
|---|---|
| mutually exclusive/ˈmjuːtʃuːəli eksˈkluːsɪv/ | взаимоисключающие |
| disjoint/dɪsˈdʒɔɪnt/ | несовместные |
| addition rule/əˈdɪʃn ruːl/ | правило сложения |
| union/ˈjuːnɪən/ | профсоюзом |
Несовместные события
- Два события являются несовместными (или дизъюнктными), если они не могут произойти одновременно.
- Бросок кубика: «выпало $2$» и «выпало $5$» не могут произойти одновременно при одном броске.
- На диаграмме Венна дизъюнктные события — это круги, которые не пересекаются.
- Их пересечение пусто: $P(A \cap B) = 0$.
Общее правило сложения
- Чтобы найти $P(A \text{ or } B)$ — объединение — используйте правило сложения:
-
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
- Вы вычитаете пересечение, чтобы его не посчитать дважды.
- Это правило работает для любых двух событий, независимо от того, пересекаются они или нет.
Упрощение для несовместных событий
- Если $A$ и $B$ несовместны, их пересечение равно $0$.
- Тогда правило упрощается до $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
- Просто сложите — ничего вычитать не нужно.
- Это упрощение действительно справедливо только тогда, когда события действительно не могут происходить вместе.
Из таблицы или диаграммы
- Двусторонняя таблица или диаграмма Венна дают вам необходимые данные напрямую.
- Определите значения $P(A)$, $P(B)$ и пересечения $P(A \cap B)$, затем примените правило.
- Пересечение — это ячейка (или область), принадлежащая обоим событиям.
- Тщательный учёт пересечения — это и есть весь секрет.
Не забудьте вычесть пересечение. Общее правило выглядит так: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; пропуск пересечения $-P(A\cap B)$ приводит к двойному подсчёту пересечения и завышению вероятности. Складывать можно только тогда, когда события несовместны (пересечение $=0$). Проверяйте наличие пересечения перед выбором упрощённого правила.
Вытяните одну карту. Значения: $P(\text{king}) = 4/52$, $P(\text{heart}) = 13/52$, $P(\text{king and heart}) = 1/52$.
- Объединение: $P(\text{king or heart}) = \tfrac{4}{52} + \tfrac{13}{52} - \tfrac{1}{52} = \tfrac{16}{52}$.
- $-\tfrac{1}{52}$ исключает короля червей, который учитывается в обеих выборках.
- «Король» и «дама», напротив, являются дизъюнктными → просто складываем.
События являются несовместными (дизъюнктными), когда они не могут происходить вместе, поэтому их пересечение равно $P(A \cap B) = 0$. Правило сложения $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ используется для нахождения объединения; для несовместных событий оно упрощается до $P(A) + P(B)$. Всегда вычитайте пересечение, если оно не равно нулю.
Объединение двух событий
Объединение включает всё из A или B; вычитаем пересечение один раз.
P(A)=0.3, P(B)=0.4, P(A и B)=0.1. Найдите P(A или B).
0.3 + 0.4 − 0.1 = 0.6.
Два события являются взаимоисключающими. Тогда P(A и B) равно...
Непересекающиеся события не могут произойти одновременно, поэтому их пересечение равно 0.
Для взаимоисключающих событий с P(A)=0.2 и P(B)=0.5 найдите P(A или B).
Непересекающиеся → просто сложить: 0.2 + 0.5 = 0.7.
Для любых двух событий P(A или B) = P(A) + P(B), вычитать ничего не нужно.
Вы должны вычесть пересечение, если только события не являются непересекающимися.
События, которые не могут произойти одновременно, называются взаимо___.
Взаимоисключающие = непересекающиеся = не могут произойти одновременно.