Условная вероятность
| English | Русский |
|---|---|
| conditional probability/kənˈdɪʃənl ˌprɒbəˈbɪlɪti/ | условная вероятность |
| multiplication rule/ˌmʌltɪplɪˈkeɪʃn ruːl/ | правило умножения |
Вероятность при наличии условия
- Условная вероятность — это шанс наступления $A$ при условии, что произошло $B$.
- Записывается как $P(A \mid B)$ — «вероятность $A$ при условии $B$».
- Знание того, что произошло $B$, сужает мир только до исходов $B$.
- Затем вы спрашиваете, какая доля этих также является $A$.
Формула
-
$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$
- Числитель — «происходит и то, и другое»; знаменатель — «условие».
- Вы пересчитываете: из $B$-миров, сколько также является $A$?
- Условие $B$ становится новым «общим итогом».
Из двумерной таблицы
- Двумерные таблицы упрощают условную вероятность: ограничьтесь строкой или столбцом условия.
- $P(A \mid B)$ = (ячейка для обоих) ÷ (итог строки/столбца $B$).
- Это в точности условная относительная частота из Раздела 2.
- Знаменатель — это пограничная сумма, а не общий итог.
Общее правило умножения
- Преобразование формулы дает правило умножения:
-
$$P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$$
- "Оба происходят" = (первое происходит) × (второе происходит при условии первого).
- Так вы цепочку вероятностей событий, зависящих друг от друга.
$P(A \mid B)$ и $P(B \mid A)$ обычно разные — не меняйте их местами. "Вероятность кашля при гриппе" высока; "вероятность гриппа при кашле" низкая (большинство кашля не связаны с гриппом). Условие — то, что дано — стоит после черты и становится знаменателем. Внимательно читайте, какое событие является условием.
В классе $P(\text{plays sport}) = 0.5$ и $P(\text{sport and music}) = 0.2$.
- $P(\text{music} \mid \text{sport}) = \dfrac{0.2}{0.5} = 0.4$.
- Среди спортивной половины $40\%$ также занимаются музыкой.
- Проверка умножением: $P(\text{sport and music}) = 0.5 \times 0.4 = 0.2$. ✓
Условная вероятность $P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ — это шанс на $A$ при условии $B$ — ограничьтесь строкой/столбцом $B$ в двумерной таблице. Переформулированное правило умножения $P(A \cap B) = P(B)\,P(A \mid B)$. Запомните $P(A\mid B) \ne P(B \mid A)$ в общем случае.
Условные вероятности
Как меняется вероятность B в зависимости от того, произошло ли A.
P(A и B) = 0.2 и P(B) = 0.5. Найдите P(A | B).
P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4.
В общем случае P(A | B) равно P(B | A).
Обычно они различаются — условие имеет значение.
Общее правило умножения для P(A и B) выглядит так...
P(A∩B) = P(B)·P(A|B), последовательное применение к двум событиям.
Чтобы найти P(A | B) по таблице contingency, разделите на...
Условие B становится знаменателем — его итоговая сумма (маргинальная).
P(A | B) читается как «вероятность A ___ B» (одно слово).
Черта означает «при условии» условия.