Введение в теорию вероятностей
| English | Русский |
|---|---|
| sample space/ˈsæmpl speɪs/ | пространство исходов |
| outcome/ˈaʊtkʌm/ | результат |
| complement rule/ˈkɒmplɪmənt ruːl/ | правило дополнения |
| equally likely/ˈiːkwəli ˈlaɪkli/ | равновероятны |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | диаграмма Венна |
Все возможные варианты исходов
- Пространство элементарных исходов — это множество всех возможных результатов случайного процесса.
- Каждый отдельный результат является исходом; событие — это набор исходов.
- Бросок кубика: пространство элементарных исходов $\{1,2,3,4,5,6\}$; событие «чётное» $= \{2,4,6\}$.
- Перечисление пространства элементарных исходов — первый шаг в нахождении вероятности.
Основные правила
- Любая вероятность удовлетворяет условию $0 \le P(A) \le 1$ (никогда не отрицательна, никогда не превышает $1$).
- Сумма вероятностей всех исходов в пространстве элементарных исходов равна $1$.
- Правило дополнения: $P(A^c) = 1 - P(A)$ — «не $A$» — это всё, что осталось.
- Эти правила ограничивают каждую допустимую вероятностную модель.
Равновозможные исходы
- Когда исходы равновозможны, вероятность определяется простым подсчётом.
- $P(A) = \dfrac{\text{number of outcomes in } A}{\text{total number of outcomes}}$.
- $P(\text{even on a die}) = 3/6 = 0.5$.
- Правило «благоприятные делённые на общее» работает только когда исходы равновозможны.
Визуализация событий
- Диаграмма Венна изображает события как перекрывающиеся круги внутри пространства элементарных исходов.
- Пересечение — это пересечение (оба события); вся заштрихованная область — это объединение (хотя бы одно).
- Двусторонняя таблица выполняет ту же задачу с помощью подсчёта строк и столбцов.
- Оба метода делают операции «и», «или» и «не» простыми для восприятия и вычисления.
Правило подсчёта $P(A)=\frac{\text{favorable}}{\text{total}}$ работает только тогда, когда исходы равновозможны. Для смещённой монеты или неравновозможных исходов необходимо использовать заданные вероятности, а не просто считать. И всегда проверяйте, соответствует ли ваша модель основам: каждое $P$ находится в диапазоне $[0,1]$, а сумма над всем пространством элементарных исходов равна $1$.
Вытяните одну карту из стандартной колоды из $52$ карт.
- Пространство элементарных исходов: $52$ карт (равновозможны). Событие «черви» имеет $13$ исходов.
- $P(\text{heart}) = 13/52 = 0.25$.
- Дополнение: $P(\text{not a heart}) = 1 - 0.25 = 0.75$.
Пространство элементарных исходов включает все возможные исходы; каждая модель имеет значения в диапазоне $0 \le P(A) \le 1$ с суммой, равной $1$, и правило дополнения $P(A^c) = 1 - P(A)$. Для равновозможных исходов применяется правило $P(A) = \frac{\text{favorable}}{\text{total}}$. Представьте события с помощью диаграммы Венна или двусторонней таблицы.
События как перекрывающиеся круги
Диаграмма Венна иллюстрирует объединение, пересечение и дополнение.
При броске честной кости какова P(четное)? Дайте ответ в виде десятичной дроби.
Четные = {2,4,6}, поэтому 3/6 = 0.5.
Если P(A) = 0.25, чему равно P(не A) по правилу дополнения?
P(A^c) = 1 − 0.25 = 0.75.
Правило P(A) = благоприятные/все исходы работает только тогда, когда исходы...
Подсчет работает только для равновероятных исходов.
Валидная вероятность может быть равна 1.4.
Каждая вероятность должна удовлетворять условию 0 ≤ P ≤ 1.
Множество всех возможных исходов случайного процесса — это выборочная ___.
Выборочное пространство перечисляет все возможные исходы.