Нахождение рядов Тейлора или Маклорена для функции
| English | Русский |
|---|---|
| Taylor series/ˈteɪlə ˈsɪəriːz/ | ряд Тейлора |
| Maclaurin series/məˈklɔːrɪn ˈsɪəriːz/ | Ряд Маклорена |
Полином, который никогда не останавливается
- Тейлоровский полином останавливается на степени $n$. Пусть он идет навек, и вы получите ряд Тейлора.
- $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}$ — это его бесконечная версия, точно представляющая функцию $f$ в области сходимости.
- Центрированный относительно $0$, это ряд Маклорена.
- Несколько из них стоит знать наизусть.
Ряд Тейлора с центром в $0$ называется ____ рядом.
Маклорен = Тейлор с центром в $0$.
Обязательные к запоминанию ряды Маклорена
- $\displaystyle e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$
- $\displaystyle \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$
- $\displaystyle \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$
- $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^{n}=1+x+x^2+\cdots$ (геометрический ряд, $|x|<1$).
cos x из его ряда
$\cos x=1-\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^4}{4!}-\cdots$ — четные степени, чередующиеся знаки, знаменатели — факториалы.
Ряд Маклорена для $e^x$ равен...
Все степени, коэффициенты $\tfrac1{n!}$, без чередования.
Ряд для $\dfrac{1}{1-x}$ (с $|x|<1$) равен...
Геометрический ряд $1+x+x^2+\cdots$.
Построение ряда с нуля
- Вычислите $f(a),f'(a),f''(a),\dots$ и подставьте в формулу $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$, член за членом.
- Ищите закономерность в производных, чтобы записать общий $n$-й член.
- Известные ряды выше обычно выводятся один раз, затем используются повторно — выучите их.
- Общий член делает это рядом, а не просто несколькими членами.
Используя $\cos x\approx1-\tfrac{x^2}{2}$, оцените $\cos(0.2)$.
$1-\tfrac{0.04}{2}=0.98$.
$\sin$ и $\cos$ принадлежат одной семье
- Заметьте, что $\sin x$ использует нечетные степени, а $\cos x$ — четные — и оба чередуют знак.
- $e^x$ содержит все степени со всеми положительными коэффициентами $\tfrac1{n!}$.
- Эти закономерности позволяют быстро выписывать члены и распознавать, какой ряд требуется в задаче.
- Распознавание «семьи» составляет половину успеха на экзамене.
Ряд Маклорена для $\sin x$ использует...
$\sin x=x-\tfrac{x^3}{3!}+\cdots$ (нечетные, чередование).
Знаменатели в этих стандартных рядах — факториалы.
Член порядка $n$ содержит $n!$ (или $(2n)!$, $(2n+1)!$).
Держите факториалы и знаковую закономерность в уме: $\sin x$ имеет нечетные степени $x^{2n+1}$ (начинается с $x$), $\cos x$ имеет четные степени $x^{2n}$ (начинается с $1$), оба чередуются; $e^x$ содержит все степени, без чередования. Перепутать нечетные/четные степени или пропустить знак $(-1)^n$ — классическая ошибка.
Запишите ряд Маклорена для $\cos x$ и используйте его для аппроксимации $\cos(0.2)$ с точностью до двух членов.
- $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\cdots$
- Два члена в точке $x=0.2$: $1-\dfrac{0.04}{2}=1-0.02=0.98$.
- Верно для функции $\cos 0.2\approx0.980$. ✓
Ряд Тейлора — это бесконечный $\sum\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$; при центрировании в точке $0$ он называется рядом Маклорена. Запомните $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ и $\frac{1}{1-x}$. Следите за факториалами и знаками: $\sin$ = нечётные степени, $\cos$ = чётные степени, оба чередуются; $e^x$ = все степени, без чередования.