Представление функций в виде степенных рядов
| English | Русский |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | степенной ряд |
Использование известных рядов для построения новых
- Не нужно вычислять каждый ряд Тейлора через производные. Преобразуйте те, которые вы знаете.
- Начните с геометрического ряда $\frac{1}{1-x}=\sum x^n$ или ряда $e^x,\sin,\cos$.
- Подставьте, умножьте, дифференцируйте или интегрируйте, чтобы представить новую функцию как степенной ряд.
- Это алгебра над рядами — быстро и элегантно.
Подстановка и умножение
- Подставьте выражение вместо $x$: замените $x$ на $-x^2$ в $\frac1{1-x}$, чтобы получить $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-x^2)^n=\sum(-1)^n x^{2n}$.
- Умножьте ряд на степень $x$ или константу: $x\cdot e^x=\sum\frac{x^{n+1}}{n!}$.
- Каждый такой шаг сохраняет корректность степенного ряда (обновите интервал сходимости для подстановок).
- Новые производные не нужны — просто подставьте и объедините.
Построены из геометрического ряда
y = a / (1 − b·x)
Подстановка $-x^2$ в $\tfrac{1}{1-x}=\sum x^n$ строит ряд для $\tfrac{1}{1+x^2}$ — новые производные не нужны.
Подстановка $u=-x^2$ в $\tfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ дает $\tfrac{1}{1+x^2}=$
$(-x^2)^n=(-1)^n x^{2n}$.
Какие операции порождают новые степенные ряды из известных?
Подстановка, масштабирование/умножение, дифференцирование, интегрирование — не случайное переставление.
Дифференцирование и интегрирование почленно
- Внутри интервала сходимости степенной ряд можно дифференцировать или интегрировать почленно.
- Проинтегрируйте $\frac{1}{1+x^2}=\sum(-1)^n x^{2n}$, чтобы получить $\arctan x=\sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$.
- Продифференцируйте ряд, чтобы получить ряд производной функции.
- Эти операции порождают знаменитые ряды (например, $\arctan$ и $\ln(1+x)$) из более простых.
В пределах интервала сходимости степенной ряд можно дифференцировать и интегрировать почленно.
Допустимое действие внутри интервала сходимости.
Интегрирование $\sum(-1)^n x^{2n}$ почленно дает ряд для...
$\int\tfrac{1}{1+x^2}\,dx=\arctan x$.
Мощный набор инструментов
- Подстановка, масштабирование, умножение, дифференцирование, интегрирование — пять приемов, бесконечное множество новых рядов.
- Это часто намного быстрее прямого вычисления высоких производных.
- Новый ряд наследует (приблизительно) радиус сходимости исходного ряда.
- Распознавание того, какой прием применить, — это главная навык.
Интегрирование степенного ряда почленно вводит постоянную ____, определяемую известным значением.
Например, $\arctan 0=0$ определяет $C=0$.
Подстановка $x\to -x^2$ может изменить интервал сходимости.
Перевывести интервал в новой переменной.
Дифференцирование и интегрирование почленны допустимы только внутри интервала сходимости (а интегрирование добавляет $+C$ — определите его по известному значению, например, $\arctan 0=0$). При подстановке (как в $x\to -x^2$) интервал сходимости также меняется — выведите его заново от новой переменной.
Найдите степенной ряд для $\dfrac{1}{1+x^2}$.
- Начните с $\dfrac{1}{1-u}=\sum u^n$ и подставьте $u=-x^2$.
- $\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n x^{2n}=1-x^2+x^4-\cdots$ (для функции $|x|<1$).
Чтобы представить функцию как степенной ряд, преобразуйте известный ряд: подставьте, умножьте/масштабируйте или дифференцируйте/интегрируйте почленно (допустимо внутри интервала сходимости; интегрирование добавляет $+C$). Например, подстановка в $\frac{1}{1-x}$ и последующее интегрирование дают ряды для $\frac{1}{1+x^2}$ и $\arctan x$.