Радиус и интервал сходимости степенного ряда
| English | Русский |
|---|---|
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | степенной ряд |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | радиус сходимости |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | интервал сходимости |
Когда степенной ряд имеет смысл?
- Степенной ряд — это бесконечный полином: $\sum c_n(x-a)^n$ — подобно ряду Тейлора с переменной $x$.
- Он сходится при некоторых $x$ и расходится при других. При каких именно $x$?
- Ответом является интервал, центрированный относительно $a$, измеряемый радиусом сходимости $R$.
- Нахождение $R$ и точных граничных точек является целью.
Радиус сходимости
- Степенной ряд сходится при $|x-a|
- $R$ — это радиус: ряд сходится внутри расстояния $R$ от центра $a$.
- Три возможных варианта: $R=0$ (только в точке $a$), $R=\infty$ (для всех $x$) или конечный $R$.
- Найдите $R$ с помощью признака Д’Аламбера для членов ряда.
Интервал сходимости
Степенной ряд сходится внутри радиуса $R$ от своего центра — интервал идет от $a-R$ до $a+R$, концы проверяются отдельно.
Степенной ряд $\sum c_n(x-a)^n$ сходится при...
Внутри радиуса $R$ от центра $a$.
Радиус сходимости $R$ может быть...
Радиус никогда не бывает отрицательным.
Получение R из признака Д’Аламбера
- Примените признак Д’Аламбера: составьте неравенство $\lim\big|\tfrac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\big|<1$ и решите его относительно $|x-a|$.
- Это неравенство имеет вид $|x-a|
- Центр находится в $a$; интервал простирается от $a-R$ до $a+R$.
- Признак Д’Аламбера выполняет основную работу — алгебра лишь выделяет $|x-a|$.
Для $\sum\tfrac{x^n}{n}$ признак Д’Аламбера дает $|x|<1$. Чему равно $R$?
$R=1$.
Радиус сходимости обычно находится с помощью...
Признак Д’Аламбера для членов выявляет $|x-a|
Проверьте границы отдельно
- Признак Д’Аламбера не дает ответа на границах $x=a\pm R$ (там $L=1$).
- Поэтому проверяйте каждую границу отдельно, подставляя её значение и используя другой признак сходимости.
- Интервал сходимости может не включать ни одной, одну или обе границы.
- Запишите интервал с правильными открытыми/закрытыми скобками после проверки обоих концов.
Признак Д’Аламбера не дает ответа на концах, их нужно проверять отдельно.
В точке $x=a\pm R$ получаем $L=1$; используйте другой признак.
Для $\sum\tfrac{x^n}{n}$: $x=1$ расходится, $x=-1$ сходится. Интервал сходимости...
Включить $-1$ (сходится), исключить $1$ (расходится).
Признак Д’Аламбера дает радиус, но не дает ответа на границах — вы должны проверить $x=a-R$ и $x=a+R$ отдельно (они могут сходиться или расходиться независимо). Не предполагайте, что интервал открыт или закрыт; ответом может быть $[a-R,a+R)$, $(a-R,a+R]$ и т. д. Проверяйте оба конца каждый раз.
Найдите радиус и интервал сходимости для $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$.
- Признак Д’Аламбера: $\lim\big|\tfrac{x^{n+1}/(n+1)}{x^n/n}\big|=|x|\cdot\lim\tfrac{n}{n+1}=|x|<1$, значит $R=1$.
- Границы: $x=1\Rightarrow\sum\tfrac1n$ (расходится); $x=-1\Rightarrow\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ (сходится).
- Интервал сходимости: $[-1,1)$.
Степенной ряд $\sum c_n(x-a)^n$ сходится при $|x-a|