Оценка ошибки Лагранжа
| English | Русский |
|---|---|
| Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/ | оценка ошибки Лагранжа |
Ограничение ошибки многочлена Тейлора
- Многочлен Тейлора — лишь приближение. Насколько он может ошибаться?
- Оценка остатка Лагранжа дает гарантированную верхнюю границу.
- Она использует следующую производную — первую, которую многочлен не учел.
- С её помощью можно доказать, что приближение достаточно точно для заданной погрешности.
Оценка
- Ошибка полинома Тейлора степени $n$ $P_n$ в точке $x$ удовлетворяет:
-
$$|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}\,\big|x-a\big|^{\,n+1}$$
- Здесь $M$ — это максимум функции $\big|f^{(n+1)}\big|$ на интервале между $a$ и $x$.
- Это похоже на следующий член Тейлора, но с производной, заменённой её наихудшим значением $M$.
Разрыв, который ограничивает эта оценка
y = a·e^{bx}
Оценка Лагранжа ограничивает разрыв между $e^x$ и его полиномом Тейлора с использованием максимума следующей производной $M$.
Оценка ошибки Лагранжа равна $|R_n(x)|\le$
Использует оценку производной порядка $(n+1)$ и $(n+1)!$.
Нахождение компонентов
- $(n+1)$: на единицу больше степени полинома — порядок первого отсутствующего члена.
- $M$: оценка абсолютной величины $(n+1)$-й производной между $a$ и $x$ (возьмите наибольшее из её значений).
- $|x-a|^{n+1}$: расстояние от центра, возведённое в эту степень.
- Умножьте, разделите на $(n+1)!$, и вы получите гарантированную верхнюю границу погрешности.
Для полинома степени $n$, что ограничивает $M$?
На одну степень выше: производная порядка $(n+1)$.
В оценке $M$ — это...
Оценка худшего случая для следующей производной.
Доказательство точности
- Чтобы показать, что $P_n$ укладывается, скажем, в $0.001$: вычислите оценку Лагранжа и проверьте, что она ≤ $\le 0.001$.
- Поскольку оценка занижает реальную погрешность, если оценка мала, то и настоящая ошибка ещё меньше.
- Больший $n$ уменьшает оценку (больший факториал, выше точность).
- Это строгий аналог приближения Тейлора.
С $M=1.2$, $n=2$, $x=0.1$, $a=0$: чему равно $\dfrac{1.2}{3!}(0.1)^3=$? (десятичное число)
$\frac{1.2}{6}\cdot0.001=0.0002$.
Оценка Лагранжа — гарантированная верхняя граница, обычно превышающая фактическую ошибку.
Если оценка мала, то истинная ошибка еще меньше.
Увеличение степени $n$ обычно приводит к уменьшению верхней границы погрешности...
Большой факториал уменьшает оценку → больше точности.
Используйте $(n+1)$-ю производную и факториал $(n+1)!$ — на единицу больше степени полинома, а не $n$. $M$ — это максимум $|f^{(n+1)}|$ на интервале между $a$ и $x$ (оценка наихудшего случая, поэтому выберите значение, которое можно обосновать как достаточное). Оценка является гарантией, обычно превышающей фактическую ошибку.
Оцените погрешность макилорина полинома степени $2$ для функции $e^x$ в точке $x=0.1$.
- Следующая производная: $f'''(x)=e^x$; на интервале $[0,0.1]$, максимальное значение $M=e^{0.1}\le 1.2$.
- $|R_2(0.1)|\le \dfrac{1.2}{3!}\,(0.1)^3=\dfrac{1.2}{6}(0.001)=0.0002$.
- Значит, $1+0.1+\tfrac{0.01}{2}=1.105$ укладывается в $0.0002$ от значения $e^{0.1}$. ✓
Оценка погрешности Лагранжа: $|R_n(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}$, где $M$ ограничивает $(n+1)$-ю производную на интервале между $a$ и $x$. Это следующий член разложения Тейлора с заменой производной на её максимум — гарантированная верхняя граница погрешности для доказательства того, что приближение удовлетворяет заданной точности.