Нахождение приближений функций с помощью многочленов Тейлора
| English | Русский |
|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | многочлен Тейлора |
| Maclaurin polynomial/məˈklɔːrɪn ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | многочлен Маклорена |
Приближение функции многочленом
- Линейное приближение (Раздел 4) использовало касательную прямую для аппроксимации функции. Зачем останавливаться на прямой?
- Многочлен Тейлора совпадает со значением функции и несколькими её производными в точке.
- Чем больше производных совпадает, тем лучше он прилегает к кривой рядом.
- Многочлены легко вычислять, поэтому они являются мощной заменой сложным функциям.
Построение многочлена
- Центрированный в $x=a$, многочлен Тейлора степени $n$ выглядит так:
-
$$P_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$
- Каждый член использует $k$-ю производную в точке $a$, деленную на $k!$, умноженную на $(x-a)^k$.
- Слагаемое степени $1$ точно соответствует линейному приближению; высшие члены добавляют кривизну.
Стре$k$-й член многочлена Тейлора, разложенного в точке $a$, равен...
Производная в точке $a$, делённая на $k!$, умноженная на $(x-a)^k$.
Каждая производная в полиноме Тейлора вычисляется в ____ $a$.
Использовать $f^{(k)}(a)$, а не $f^{(k)}(x)$.
Маклорен: центрирование в нуле
- Многочлен Маклорена — это просто многочлен Тейлора, центрированный в $a=0$.
- $P_n(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$ — $(x-a)$ факториалы становятся обычными $x^k$.
- Их полезно запомнить: $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ имеют простые многочлены Маклорена.
- Та же формула, центрированная в начале координат.
Полином Маклорена — это полином Тейлора с центром в...
Маклорен = центр в $0$.
Улучшение вблизи центра
- Приближение наилучше вблизи $x=a$ и ухудшается по мере удаления.
- Добавление дополнительных членов (более высокой степени) повышает точность на большем участке.
- Совпадение значений, наклона, выпуклости и далее — каждая производная фиксирует одну дополнительную характеристику.
- Касательная прямая — это лишь первые два члена этой общей идеи.
Многочлен, «прилегающий» к eˣ
y = a·e^{bx}
Маκлорена-многочлен степени 2 $1+x+\tfrac{x^2}{2}$ «прилегает» к $e^x$ вблизи точки $0$ — добавление членов расширяет область хорошей точности.
Полином Маклорена степени 2 для $e^x$ равен...
Все производные $e^x$ в точке $0$ равны $1$.
Член Тейлора делит производную порядка $k$ на $k!$ (факториал).
Делить на $k!$, а не на $k$.
Приближение полиномом Тейлора наиболее точно...
Точность最佳 рядом с $a$ и улучшается с увеличением числа членов.
Не forget the факториалы: $k$-й член равен $\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — делите на $k!$, а не просто на $k$. Вычисляйте каждую производную в центре $a$ (не в $x$). И помните, что приближение хорошее только рядом с $a$; далеко от него усеченный многочлен Тейлора может быть совершенно неточным.
Найдите полином Маклорена степени $2$ для функции $f(x)=e^x$.
- $f(0)=1$, $f'(0)=1$, $f''(0)=1$ (так как каждая производная от $e^x$ равна $e^x$).
- $P_2(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2=1+x+\frac{x^2}{2}$.
- Вблизи $0$, $e^x\approx 1+x+\tfrac{x^2}{2}$ (например, $e^{0.1}\approx1.105$). ✓
Многочлен Тейлора, центрированный в $a$, имеет вид $P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k$ — совпадающий со значением функции и её производными в точке $a$. Многочлен Маклорена — это частный случай $a=0$. Сохраняйте факториалы, вычисляйте производные в точке $a$ и ожидайте наилучшей точности вблизи центра.