Оценка погрешности знакочередующегося ряда
| English | Русский |
|---|---|
| alternating series error bound/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz ˈerə baʊnd/ | оценка ошибки знаочередующегося ряда |
Насколько близка частичная сумма?
- Если вы остановите знакочередующийся ряд после нескольких членов, насколько ваше приближение отличается от истинного значения?
- Для сходящегося знакочередующегося ряда существует beautifully simple (прекрасно простой) оценка.
- Оценка ошибки знакочередующегося ряда: ошибка не превышает первого пропущенного члена.
- Один член дает точность без громоздких вычислений.
Оценка
- Приближенно вычислите сумму $S$ с помощью $n$-й частичной суммы $S_n$. Остаток (ошибка) равен $|S-S_n|$.
- Для сходящегося знакочередующегося ряда (убывающее $b_n\to0$):
-
$$|S-S_n|\le b_{n+1}$$
- Ошибка не превосходит модуля следующего члена — первого из тех, что вы не добавили.
Следующий член оценивает погрешность
Частичные суммы знакочередующегося ряда заключают истинную сумму, поэтому погрешность не превышает размера следующего (пропущенного) члена.
Для сходящегося знакочередующегося ряда погрешность $|S-S_n|$ не превышает...
$|S-S_n|\le b_{n+1}$.
Погрешность ограничена первым ____ членом, а не последним включенным.
Используйте $b_{n+1}$, член, который вы не прибавили.
Почему следующий член ограничивает ошибку
- Поскольку члены чередуют знаки и уменьшаются по модулю, истинная сумма всегда заключена между последовательными частичными суммами.
- Поэтому остановка на $S_n$ приводит к превышению или недобору меньше, чем величина следующего члена.
- Частичные суммы сходятся подобно складывающемуся гармошке вокруг $S$.
- Следовательно, самый следующий член является гарантированной верхней границей ошибки.
Приближая $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ с помощью $3$ членов, оценка погрешности — следующий член $b_4$. Каков он?
$b_4=\tfrac14=0.25$.
Истинная сумма всегда заключена между последовательными частичными суммами знакочередующегося ряда.
Поэтому следующий член ограничивает погрешность.
Использование оценки для обеспечения точности
- Хотите ошибку меньше $0.01$? Найдите первый член с $b_{n+1}\le 0.01$ и остановитесь на нем.
- Оценка позволяет определить, сколько членов нужно для достижения заданной точности.
- Она применяется только к знакочередующимся рядам, удовлетворяющим условиям признака Лейбница.
- Простая, точная и удобная для экзаменов.
Эта оценка погрешности применима к любому сходящемуся ряду, знакочередующемуся или нет.
Только знакочередующимся рядам, удовлетворяющим условиям признака.
Чтобы гарантировать погрешность менее $0.01$, вы сохраняете члены, пока следующий член $b_{n+1}$ не станет...
Остановитесь, когда $b_{n+1}\le0.01$.
Эта оценка работает только для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница (убывающее $b_n\to0$) — она не применима к рядам с положительными членами. Ошибка ограничена первым пропущенным членом $b_{n+1}$, а не последним включенным. Используйте $b_{n+1}$, величину члена, который вы не прибавили.
Оцените $\sum_{n=1}^\infty\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}=1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ первыми $3$ членами; ограничьте ошибку.
- $S_3=1-\tfrac12+\tfrac13=\tfrac{5}{6}\approx0.833$.
- Первый пропущенный член: $b_4=\tfrac14$. Значит, $|S-S_3|\le\tfrac14=0.25$.
- Истинная сумма $\ln 2\approx0.693$ действительно находится в пределах $0.25$ от $0.833$. ✓
Оценка ошибки знакочередующегося ряда: для сходящегося знакочередующегося ряда ошибка его $n$-й частичной суммы не превышает первого пропущенного члена $|S-S_n|\le b_{n+1}$. Она применяется только к знакочередующимся рядам, удовлетворяющим условиям признака, и позволяет выбрать количество членов, гарантирующих целевую точность.