Признак Лейбница (признак знакочередующихся рядов) для сходимости
| English | Русский |
|---|---|
| alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ | знаочередующийся ряд |
Ряды со сменяющимися знаками
- Некоторые ряды чередуют знак: $+,-,+,-,\dots$, как и $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$.
- Это знаочередующиеся ряды, и у них есть свой мягкий признак сходимости.
- Смена знака позволяет членам частично сокращаться, поэтому знакочередующиеся ряды сходятся легче.
- Один признак с двумя простыми условиями справляется с ними.
Признак Лейбница (для знакочередующихся рядов)
- Знакочередующийся ряд $\sum(-1)^n b_n$ (с $b_n>0$) сходится, если оба:
- 1. члены убывают: $b_{n+1}\le b_n$, и
- 2. члены стремятся к нулю: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
- Если оба условия выполнены, знакочередующийся ряд сходится. Всё просто.
Убывающие знакочередующиеся члены
Если положительная часть убывает до $0$, а знаки чередуются, частичные суммы приближаются — ряд сходится.
Признак Лейбница требует, чтобы положительные члены $b_n$ были какими?
Убывающими и имеющими предел $0$.
Почему чередование помогает
- Каждый новый член меньше предыдущего и имеет противоположный знак, поэтому частично компенсирует его.
- Частичные суммы колеблются, но с уменьшающимся размахом — приближаясь к пределу.
- Именно поэтому $1-\tfrac12+\tfrac13-\cdots$ сходится, хотя $1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$ (гармонический) расходится.
- Чередование знаков усмиряет гармонические члены.
Знакочередующийся гармонический ряд $\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}{n}$...
$b_n=\tfrac1n$ убывает до $0$ → сходится.
Знак ____ позволяет частичным суммам приближаться к пределу.
Чередование вызывает частичную компенсацию.
$\sum\tfrac{(-1)^n}{n}$ сходится, хотя $\sum\tfrac1n$ расходится.
Чередение усмиряет гармонические члены.
Применение теста
- Уберите знак $(-1)^n$ и проверьте положительную часть $b_n$ на выполнение двух условий.
- Является ли $b_n$ убывающим? Стремится ли $b_n\to0$ к нулю? Если да на оба вопроса — ряд сходится.
- Если $b_n$ не стремится к $0$, ряд расходится (по признаку Неймана / тесту общего члена).
- Тест работает быстро, если изолировать $b_n$.
Вы проверяете два условия на положительной части $b_n$ после удаления $(-1)^n$.
Сначала выделите $b_n$.
Если $b_n\not\to0$ для знакочередующегося ряда, то он...
Члены не стремятся к $\to0$ → расходится независимо от чередования знаков.
Примените два условия к положительным членам $b_n$ (после удаления знака $(-1)^n$). Оба обязательны: убывание и предел $0$. Если $b_n\not\to0$, ряд расходится (признак Неймана). Этот тест доказывает сходимость знакочередующегося ряда; он ничего не говорит о $\sum b_n$ или $\sum|a_n|$ (см. абсолютная vs условная сходимость, урок 10.9).
Сходится ли знакочередующийся гармонический ряд $1-\tfrac12+\tfrac13-\tfrac14+\cdots$?
- Положительная часть $b_n=\tfrac1n$. Убывает? Да, $\tfrac1{n+1}<\tfrac1n$. Предел $0$? Да, $\tfrac1n\to0$.
- Оба условия выполнены, значит ряд сходится по признаку Лейбница.
- (Хотя обычный гармонический ряд расходится.)
Признак Лейбница: $\sum(-1)^n b_n$ (со знаком $b_n>0$) сходится, если члены $b_n$ убывают и стремятся к $b_n\to0$. Проверьте оба условия для положительной части $b_n$. Чередование позволяет рядам вроде $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ сходиться там, где их незнакопеременные аналоги расходятся.