Признак Даламбера (признак отношения) для сходимости
| English | Русский |
|---|---|
| Ratio Test/ˈreɪʃɪəʊ test/ | Признак Д’Аламбера |
Сравнение члена с предыдущим
- Когда выражения содержат факториалы или степени $n$, сравнение затруднено. Используйте вместо этого признак Даламбера.
- Он рассматривает, как каждый член соотносится с предыдущим — отношение $\big|\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\big|$ — в пределе.
- Предел отношения, меньший $1$, означает геометрически быстрое убывание членов, что гарантирует сходимость.
- Это основной тест для факториалов и показательных функций.
Тест
- Вычислите $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$.
- $L<1$: ряд сходится (абсолютно).
- $L>1$ (или $L=\infty$): ряд расходится.
- $L=1$: признак не дает ответа — используйте другой тест.
Отношение ниже 1 обязывает сходимость
Если отношение последовательных членов устанавливается ниже $1$, члены уменьшаются геометрически быстро — ряд сходится.
В признаке Даламбера, если $L=\lim|a_{n+1}/a_n|<1$, ряд...
$L<1$ → сходится.
Признак Даламбера использует модуль отношения последовательных членов.
$L=\lim|a_{n+1}/a_n|$.
Факториалы и степени любят признак Даламбера
- Факториалы прекрасно сокращаются: $\dfrac{(n+1)!}{n!}=n+1$ — отношение упрощается до огромного масштаба.
- То же самое касается степеней константы $n$: $\dfrac{r^{n+1}}{r^n}=r$.
- Поэтому ряды вроде $\sum\tfrac{2^n}{n!}$ или $\sum\tfrac{n!}{n^n}$ идеально подходят для признака Даламбера.
- Запишите $\tfrac{a_{n+1}}{a_n}$, сократите и найдите предел.
Если признак Даламбера дает $L=1$, то...
$L=1$ не дает информации.
Для $a_n=\tfrac{2^n}{n!}$, $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=$
$\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\frac{2}{n+1}$.
Признак Даламбера работает особенно хорошо для рядов с...
p-ряды дают $L=1$ (бесполезно); факториалы/экспоненты упрощаются красиво.
«Мертвая зона» при $L=1$
- Когда $L=1$, признак Даламбера не дает информации — ряд может сходиться или расходиться.
- Это случается с p-рядами (например, $\sum\tfrac1{n^2}$ дает $L=1$), где вместо этого используют правило p-ряда.
- Так что признак Даламбера эффективен для факториалов/экспонент, но бесполезен для обычных степеней $n$.
- Узнайте $L=1$ и переключите инструменты.
Поскольку $\lim\tfrac{2}{n+1}=0<1$, ряд $\sum\tfrac{2^n}{n!}$...
$L=0<1$ → сходится.
Возьмите абсолютное значение отношения и помните три случая: $L<1$ сходится, $L>1$ расходится, $L=1$ не дает ответа (не гадайте — примените другой признак). Признак Даламбера эффективен для факториалов/экспонент, но дает $L=1$ (бесполезный результат) для p-рядов, таких как $\sum\tfrac1{n^p}$.
Сходится ли $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{n!}$?
- $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\dfrac{2}{n+1}$.
- $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{2}{n+1}=0<1$.
- Поскольку $L<1$, ряд сходится.
Признак Даламбера: $L=\lim\big|\frac{a_{n+1}}{a_n}\big|$. $L<1$ → сходится, $L>1$ → расходится, $L=1$ → не дает ответа. Идеален для факториалов и экспонент (отношения упрощаются); бесполезен (дает $L=1$) для p-рядов.