Признаки сравнения для сходимости
| English | Русский |
|---|---|
| comparison tests/kəmˈpærɪsn tests/ | признаки сравнения |
Оценка ряда по известному соседу
- Если неизвестный ряд похож на ряд, который вы уже знаете, сравните их.
- Признаки сравнения оценивают неизвестный положительный ряд по известному (обычно p-ряду или геометрическому ряду).
- Больше того, что расходится → расходится. Меньше того, что сходится → сходится.
- Два вида: прямой признак сравнения и признак предельного сравнения.
Прямой признак сравнения
- Для положительных членов с $0\le a_n\le b_n$:
- Если $\sum b_n$ сходится, то меньший $\sum a_n$ тоже сходится.
- Если $\sum a_n$ расходится, то больший $\sum b_n$ тоже расходится.
- Ограничение справа: ограничено сверху сходящимся рядом или снизу расходящимся.
Сравните с известным рядом
Положительный ряд, ограниченный известным сходящимся (или расходящимся) рядом, разделяет его судьбу — выберите доминирующее сравнение.
Если $0\le a_n\le b_n$ и $\sum b_n$ сходятся, то $\sum a_n$...
Меньше сходящегося ряда → сходится.
Признаки сравнения требуют положительных членов.
Они сравнивают величины положительных рядов.
Признак предельного сравнения
- Иногда неравенства неудобны; вместо этого сравните скорости роста.
- Возьмите $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$. Если $L$ является конечно положительным числом ($0
- Выберите $b_n$ из доминирующих членов $a_n$ (например, сравните $\tfrac{n}{n^3+1}$ с $\tfrac1{n^2}$).
- То, что предел положителен и конечен, означает, что они ведут себя аналогично.
В признаке предельного сравнения, если $\lim\tfrac{a_n}{b_n}=L$ с $0
Конечный положительный предел → одинаковое поведение сходимости.
Чтобы тест сравнения по пределу позволил сделать вывод, предел $L$ должен быть конечным и ____.
Требует $0
Выбор сравнительного ряда
- Посмотрите на доминирующее поведение $a_n$ при больших $n$ — высшие степени в числителе и знаменателе.
- $\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ ведет себя как $\dfrac{3n^2}{n^4}=\dfrac{3}{n^2}$ — сравните с p-рядом $\tfrac1{n^2}$.
- Затем либо ограничите его напрямую, либо найдите предел отношения.
- Правильный сравнительный ряд превращает пугающий ряд в известный.
Для проверки $\sum\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ хорошим рядом для сравнения является...
Доминирующее поведение $\tfrac{3n^2}{n^4}=\tfrac{3}{n^2}$ → сравнивайте с $\tfrac1{n^2}$.
Поскольку $\tfrac{1}{n^2+1}<\tfrac1{n^2}$ и $\sum\tfrac1{n^2}$ сходятся, $\sum\tfrac{1}{n^2+1}$...
Ограничен сверху сходящимся рядом → сходится.
Признаки сравнения требуют положительных членов. Для прямого признака неравенство должно указывать правильным образом: чтобы доказать сходимость, ограничить сверху сходящимся рядом; чтобы доказать расходимость, ограничить снизу расходящимся. Для признака предельного сравнения предел $L$ должен быть конечным и положительным ($0
Сходится ли $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^2+1}$?
- При больших $n$, $\dfrac{1}{n^2+1}$ ведет себя как $\dfrac{1}{n^2}$ (сходящийся p-ряд).
- Прямо: $\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}$, и $\sum\tfrac1{n^2}$ сходится → значит, и меньший ряд сходится.
- Следовательно $\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ сходится.
Признаки сравнения оценивают положительный ряд по известному. Прямо: ограничить сверху сходящимся рядом (→ сходится) или снизу расходящимся (→ расходится). Предельно: если $\lim\frac{a_n}{b_n}$ конечен и положителен, оба имеют одинаковую судьбу. Выберите $b_n$ из доминирующих членов $a_n$.