Гармонический ряд и p-ряды
| English | Русский |
|---|---|
| harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/ | гармонический ряд |
| p-series/piː ˈsɪəriːz/ | p-ряд |
Целое семейство примеров для проверки
- Два связанных ряда встречаются так часто, что получили названия — и простое правило сходимости.
- Гармонический ряд — это $\sum\tfrac1n=1+\tfrac12+\tfrac13+\cdots$.
- p-ряд p- обобщает его: $\sum\tfrac1{n^p}$ для фиксированной степени $p$.
- Один четкий порог на $p$ решает вопрос сходимости для всего семейства.
Правило p-ряда
- $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}}$ сходится при $p>1$ и расходится при $p\le 1$.
- Чем больше $p$, тем быстрее убывают члены — достаточно быстро, чтобы ряд сходился, как только $p$ превышает $1$.
- Это следует непосредственно из интегрального признака примененного к $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$.
- Запомните порог: отсечное значение составляет ровно $p=1$.
Как быстро убывают члены?
p-ряд сходится только если его члены $\tfrac1{n^p}$ убывают достаточно быстро — порог ровно $p>1$.
p-ряд $\sum\tfrac1{n^p}$ сходится тогда и только тогда, когда...
Сходится тогда и только тогда, когда $p>1$.
Порог сходимости для p-ряда составляет ровно $p=$ ____.
Сходится при $p>1$, расходится при $p\le1$.
Гармонический ряд находится на границе
- Гармонический ряд — это случай $p=1$ — и $p=1$ расходится.
- Его члены $\tfrac1n\to0$, однако сумма растет неограниченно (медленно, но навсегда).
- Это классический пример «члены убывают, но ряд все равно расходится».
- $p=1$ сидит точно на неправильной стороне порога.
Гармонический ряд $\sum\tfrac1n$ ($p=1$)...
$p=1$ расходится, хотя члены $\to0$.
Ряд гармонических чисел показывает: стремление членов к $0$ не гарантирует сходимость.
Его члены $\to0$, но он расходится.
Мгновенные проверки сходимости
- Узнайте p-ряд, и вы пропустите всю работу — просто сравните $p$ с $1$.
- $\sum\tfrac1{n^2}$: $p=2>1$ → сходится. $\sum\tfrac1{\sqrt n}=\sum\tfrac1{n^{1/2}}$: $p=\tfrac12\le1$ → расходится.
- Они также являются стандартными сравнительными рядами для признаков сравнения (следующий урок).
- Знание p-рядов наизусть ускоряет огромную часть задач о рядах.
Выберите все сходящиеся ряды.
$p=2,3>1$ сходятся; $p=\tfrac12,1$ расходятся.
$\sum\tfrac1{\sqrt n}$ — это p-ряд со $p=\tfrac12$. Он...
Выражение $p=\tfrac12\le1$ → расходится.
Порог строгий: $\sum\tfrac1{n^p}$ сходится только при $p>1$. Граничный случай $p=1$ (гармонический) расходится — очень частая ловушка, поскольку его члены действительно стремятся к $0$. А $\sum\tfrac1{\sqrt n}$ представляет собой $p=\tfrac12$, который расходится (а не сходится) — дробная степень ниже $1$.
Классифицируйте каждый ряд.
- $\sum\tfrac1{n^3}$: $p=3>1$ → сходится.
- $\sum\tfrac1{n}$: $p=1$ → расходится (гармонический).
- $\sum\tfrac1{n^{0.9}}$: $p=0.9\le1$ → расходится.
p-ряд $\sum\tfrac1{n^p}$ сходится тогда и только тогда, когда $p>1$; он расходится при $p\le1$. Гармонический ряд — это случай $p=1$, который расходится, несмотря на то, что его члены стремятся к $0$. Распознавание p-ряда дает мгновенный вердикт о сходимости.