Интегральный признак сходимости
| English | Русский |
|---|---|
| Integral Test/ˈɪntɪɡrəl test/ | Интегральный признак |
Ряд и интеграл, растущие или убывающие вместе
- Если члены ряда получены из хорошей убывающей функции, их судьба совпадает с интегралом этой функции.
- Интегральный признак сравнивает $\sum a_n$ с $\int f(x)\,dx$, где $a_n=f(n)$.
- Представьте члены как площади прямоугольников — они ограничены площадью под кривой.
- Так что сходимость (или несходимость) несобственного интеграла заставляет ряд делать то же самое.
Условия
- Для теста требуется, чтобы $f$ была положительной, непрерывной и убывающей для $x\ge$ некоторого момента.
- Затем определите $a_n=f(n)$ и сравните с несобственным интегралом.
- Эти условия позволяют прямоугольникам заключать площадь под $f$.
- Проверьте все три перед применением — неубывающая $f$ нарушает сравнение.
Интегральный признак требует, чтобы $f$ было каким на $[1,\infty)$?
Положительная, непрерывная, убывающая — не обязательно многочлен.
Интегральный признак связывает ряд с интегралом, устанавливая $a_n=f(\ \_\_\ )$.
Члены — это функция, взятая в целых точках.
Заключение
- $\displaystyle\sum a_n$ и $\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,dx$ оба сходятся или оба расходятся — одна судьба.
- Вычислите несобственный интеграл: если он конечен, ряд сходится; если бесконечен, расходится.
- (Сумма ряда не является значением интеграла — они лишь разделяют сходимость, а не число.)
- Один несобственный интеграл решает судьбу всего ряда.
Интегральный признак гласит, что $\sum a_n$ и $\int_1^\infty f\,dx$...
Они разделяют судьбу, а не значение.
Значение несобственного интеграла равно сумме ряда.
Они разделяют сходимость, а не значение ($\sum\tfrac1{n^2}=\tfrac{\pi^2}{6}\neq1$).
Почему это работает
- Прямоугольники площадью $a_n$ помещаются прямо над или под кривой $y=f(x)$.
- Так ряд заключен между $\int f$ и $\int f + a_1$ — конечный интеграл означает конечный ряд.
- Это строгое «сравнение площадей», превращающее сумму в интеграл, который можно вычислить.
- Это особенно удобно для членов вроде $\tfrac1{n^p}$ и $\tfrac1{n\ln n}$.
Прямоугольники, ограниченные кривой
y = 1/x²
Прямоугольники членов примыкают к площади под $f$, поэтому ряд и интеграл сходятся или расходятся вместе.
Поскольку $\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (конечно), ряд $\sum\tfrac1{n^2}$...
Конечный интеграл → сходящийся ряд.
Если $\int_1^\infty f\,dx$ расходится (к $\infty$), то $\sum a_n$...
Та же судьба: расходящийся интеграл → расходящийся ряд.
Для интегрального признака необходимо, чтобы $f$ была положительной, непрерывной и убывающей — проверьте все три условия. И признак определяет только сходимость/расхождение, а не значение: $\sum a_n \neq \int_1^\infty f\,dx$ в общем случае. Не сообщайте значение интеграла как сумму ряда.
Проверьте $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^2}$ с помощью интегрального признака.
- $f(x)=\tfrac1{x^2}$ положительна, непрерывна и убывает при $x\ge1$. ✓
- $\displaystyle\int_1^\infty \tfrac1{x^2}\,dx=1$ (конечная, из урока 6.13).
- Интеграл сходится, значит ряд сходится. (Его сумма равна $\tfrac{\pi^2}{6}$, а не $1$.)
Интегральный признак: если $f$ положительна, непрерывна и убывает при $a_n=f(n)$, то $\sum a_n$ и $\int_1^\infty f(x)\,dx$ имеют одинаковую судьбу (оба сходятся или оба расходятся). Вычислите несобственный интеграл для принятия решения — но его значение не является суммой ряда.