Признак расходимости n-го члена
| English | Русский |
|---|---|
| nth Term Test/ˌenˌtiːˈeɪtʃ tɜːm test/ | Признак n-го члена |
Быстрый способ доказать расходимость
- Перед проведением сложного теста выполните самую дешевую проверку: посмотрите на члены.
- Тест n-го члена (или тест расходимости) использует предел членов $a_n$.
- Если члены не уменьшаются до $0$, ряд не может сходиться — он сразу расходится.
- Это первое, что следует попробовать, и он доказывает только расходимость.
Тест
- Вычислите $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$.
- Если $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ (или предела не существует), ряд $\sum a_n$ расходится.
- Интуитивно: если вы продолжаете складывать части, не уменьшающиеся до $0$, общая величина никогда не стабилизируется.
- Одно вычисление предела, и вы, возможно, закончили.
Члены, не достигающие нуля
Если члены ряда стабилизируются на ненулевом значении, сумма никогда не установится — признак n-го члена доказывает расходимость.
Если $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$, то $\sum a_n$...
Ненулевой предел члена → расходимость.
Он никогда не может доказать сходимость
- Если $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n = 0$, тест неопределен — он ничего не говорит.
- Ряд может сходиться или расходиться; вам нужно использовать другой тест.
- Гармонический ряд $\sum\tfrac1n$ имеет $a_n\to0$, но расходится — доказательство того, что тест не может подтвердить сходимость.
- Так что «$0$» — это тупик для этого теста, а не зеленый свет.
Если $\lim_{n\to\infty}a_n=0$, признак n-го члена является...
Он доказывает только расходимость; предел $0$ ничего вам не говорит.
Признак n-го члена может доказать сходимость ряда.
Он может только доказать расходимость.
Ряд $\sum\tfrac1n$ имеет $a_n\to0$, но расходится. Это показывает, что признак n-го члена...
Предел $0$ не гарантирует сходимость.
Место в стратегии
- Всегда запускайте тест n-го члена первым — он быстрый и может сэкономить вам сложный тест.
- Члены не стремятся к $\to0$? Готово: расходится.
- Члены стремятся к $\to0$? Переходите к реальному тесту сходимости (геометрический, интегральный, сравнения, отношения, знакочередующийся).
- Это фильтр, а не полный ответ.
Для $\sum\dfrac{n}{2n+1}$, $\lim a_n=\tfrac12$. Значит, ряд...
Выражение $\tfrac12\neq0$ → расходится.
Как быстрый фильтр, примените признак n-го члена ____ среди признаков сходимости.
Это самая дешевая проверка на расходимость.
Тест n-го члена может доказать только расходимость. Если $\lim a_n=0$, он неопределен — не делайте вывод о сходимости. Самая частая ошибка — «$a_n\to0$, значит, сходится» — неверно; $\sum\frac1n$ — контрпример.
Сходится ли $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2n+1}$?
- Члены: $a_n=\dfrac{n}{2n+1}$. Предел: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n}{2n+1}=\dfrac12$.
- Поскольку предел равен $\tfrac12\neq0$, ряд расходится по тесту n-го члена.
Тест n-го члена: если $\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0$ (или DNE), то $\sum a_n$ расходится. Если $\lim a_n=0$, тест неопределен (он никогда не доказывает сходимость). Запускайте его первым как быстрый фильтр расходимости.