Работа с геометрическими рядами
| English | Русский |
|---|---|
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | геометрическая прогрессия |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | общий знаменатель |
Единственный ряд, который можно просуммировать точно
- Большинство рядов сложно просуммировать. Геометрический ряд — дружелюбное исключение, у него есть формула.
- Каждый член равен предыдущему, умноженному на фиксированное общее отношение $r$: $a+ar+ar^2+ar^3+\cdots$.
- Это бесконечная версия геометрических прогрессий, которые вы уже знаете.
- И существует четкое правило, когда именно он сходится и к чему.
Геометрическая прогрессия
Геометрический ряд складывает члены, умноженные на $r$ каждый раз — он сходится (к $a/(1-r)$) тогда и только тогда, когда $|r|<1$.
Сходится только при $|r|<1$
- Геометрический ряд сходится тогда и только тогда, когда $|r|<1$ (отношение — дробь).
- Если $|r|\ge1$, члены не уменьшаются до $0$, поэтому ряд расходится.
- $\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ ($r=\tfrac12$) сходится; $1+2+4+\cdots$ ($r=2$) расходится.
- Одно число $|r|$ решает всё.
Геометрический ряд $\sum a r^n$ сходится тогда и только тогда, когда...
Сходится тогда и только тогда, когда знаменатель — дробь, $|r|<1$.
Какой геометрический ряд расходится?
$r=2$ имеет $|r|\ge1$ → расходится.
Формула суммы
- Когда ряд сходится ($|r|<1$), сумма равна
-
$$\sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}=\frac{a}{1-r}$$
- $a$ — это первый член, а $r$ — общее отношение.
- Подставьте значения и получите точную бесконечную сумму — вычислять пределы вручную не нужно.
Сумма сходящегося геометрического ряда равна...
$\sum a r^n=\frac{a}{1-r}$ для $|r|<1$.
Формулу $\tfrac{a}{1-r}$ можно применять даже когда $|r|\ge1$.
Только когда $|r|<1$ (сходящийся).
Правильно определив $a$ и $r$
- $a$ — это фактический первый член ряда (то, с чего он начинается), а не обязательно $1$.
- $r$ — это отношение между последовательными членами — разделите любой член на предшествующий ему.
- Если ряд начинается с $n=1$ вместо $n=0$, скорректируйте $a$, чтобы он стал этим первым членом.
- При правильном $a$ и $r$ формула $\tfrac{a}{1-r}$ сделает остальное.
Найдите $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty 5\left(\tfrac13\right)^n$ (десятичное число).
$\frac{5}{1-1/3}=\frac{5}{2/3}=7.5$.
В формуле $\tfrac{a}{1-r}$, $a$ — это ____ член ряда.
$a$ — это фактический первый член.
Формула $\frac{a}{1-r}$ применяется только при $|r|<1$ — использование её для расходящегося геометрического ряда дает бессмысленное число. А $a$ — это первый член как записано, а не всегда $1$: для $\sum_{n=1}^\infty 3\cdot 2^{-n}=\tfrac32+\tfrac34+\cdots$ первый член равен $\tfrac32$, а не $3$.
Найдите сумму $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} 5\left(\tfrac13\right)^{n}$.
- Первый член $a=5$, общее отношение $r=\tfrac13$. Поскольку $|r|<1$, ряд сходится.
- $\displaystyle\sum=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\tfrac13}=\frac{5}{\tfrac23}=\frac{15}{2}$.
Геометрический ряд $\sum a\,r^n$ сходится тогда и только тогда, когда $|r|<1$, и тогда сумма равна $\frac{a}{1-r}$ (где $a$ — первый член, а $r$ — общее отношение). Если $|r|\ge1$, он расходится. Это единственный ряд с точной и легкой суммой.