Определение сходящихся и расходящихся бесконечных рядов
| English | Русский |
|---|---|
| infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ | бесконечный ряд |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | сходится |
| diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ | расходится |
| partial sum/ˈpɑːʃl sʌm/ | частичная сумма |
Сложение бесконечного количества чисел
- Можно ли сложить бесконечно много членов и получить конечную сумму? Иногда да.
- Бесконечный ряд — это сумма $a_1+a_2+a_3+\cdots$ членов последовательности.
- Он сходится, если частичная сумма стремится к конечному числу, и расходится в противном случае.
- Этот раздел посвящен тому, как определить, сходится ли он, и, если сходится, к какому значению.
Частичные суммы — ключевой элемент
- Складывайте члены по одному: частичная сумма $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ — это сумма первых $n$ членов.
- Эти частичные суммы образуют собственную последовательность $S_1,S_2,S_3,\dots$.
- Значение ряда определяется как предел частичных сумм: $\displaystyle\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
- Таким образом, бесконечная сумма на самом деле является пределом — той же идеей предела, что и в Разделе 1.
Члены сходящегося ряда
Члены $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$ убывают геометрически, поэтому частичные суммы сходятся к конечному пределу.
Значение бесконечного ряда определяется как предел его...
$\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
Сумма первых $n$ членов, $S_n$, называется $n$-й ____ суммой.
Ряд является пределом этих частичных сумм.
Сходимость против расходимости
- Сходится: частичные суммы $S_n$ стремятся к конечному пределу $L$ — это $L$ и есть сумма ряда.
- Расходится: частичные суммы неограниченно возрастают или колеблются, никогда не стабилизируясь.
- $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ сходится (к $2$); $1+1+1+\cdots$ расходится.
- Сходимость относится к тому, что частичные суммы стабилизируются, а не к самим членам.
К какому пределу стремятся частичные суммы $1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$?
Геометрический ряд со знаменателем $\tfrac12$ сходится к $2$.
Какой ряд явно расходится?
Члены не убывают до $0$, поэтому он расходится.
Ряд сходится, когда его частичные суммы...
Сходимость = частичные суммы стремятся к конечному $L$.
Уменьшение членов необходимо, но недостаточно
- Чтобы ряд сходился, его члены должны стремиться к $0$ — иначе сумма не сможет стабилизироваться.
- Но одних только уменьшающихся членов недостаточно для сходимости (гармонический ряд $\sum\tfrac1n$ имеет члены $\to0$, но расходится).
- Поэтому условие «$a_n\to0$» является необходимым, но не достаточным.
- Признаки сходимости, рассматриваемые в этом разделе, — это инструменты для более сложных случаев.
Если члены $a_n\to 0$, ряд должен сходиться.
Необходимое, но недостаточное условие — например, $\sum\tfrac1n$ расходится.
Ряд — это предел частичных сумм, а не просто «члены». Стремление членов к $0$ является необходимым для сходимости, но не достаточным — ряд $\sum\frac1n$ имеет члены $\to0$, но расходится. Не делайте вывод о сходимости только потому, что члены уменьшаются; вам нужно использовать один из признаков сходимости.
Сходится ли $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$?
- Частичные суммы: $S_1=1$, $S_2=1.5$, $S_3=1.75$, $S_4=1.875,\dots$
- Они растут, приближаясь к $2$, и никогда не превышают его.
- Предел равен $2$, поэтому ряд сходится к $2$.
Бесконечный ряд $\sum a_n$ — это предел его частичных сумм $S_n=a_1+\cdots+a_n$: он сходится к $L$, если $S_n\to L$ (конечно), и расходится в противном случае. Убывание членов до $0$ является необходимым, но недостаточным условием сходимости.