Functions Involving Parameters, Vectors, and Matrices · ⁨Функции, включающие параметры, векторы и матрицы⁩

Цель обучения 4.1.A: Построить график или таблицу значений для параметрической функции, заданной аналитически.

• 4.1.A.1 Параметрическая функция в $\mathbb{R}^2$, множестве всех упорядоченных пар вещественных чисел, состоит из набора двух параметрических уравнений, в которых две зависимые переменные, $x$ и $y$, зависят от одной независимой переменной, $t$, называемой параметром.
• 4.1.A.2 Поскольку переменные $x$ и $y$ зависят от независимой переменной $t$, координаты $(x_i,\, y_i)$ в момент времени $t_i$ можно записать как функции от $t$ и выразить как единую параметрическую функцию $f(t) = (x(t),\, y(t))$, где в данном случае $x$ и $y$ — названия двух функций.
• 4.1.A.3 Численную таблицу значений можно построить для параметрической функции $f(t) = (x(t),\, y(t))$, вычисляя значения $x_i$ и $y_i$ при нескольких значениях параметра $t_i$ из области определения.
• 4.1.A.4 График параметрической функции можно нарисовать, соединив несколько точек из числовой таблицы значений в порядке возрастания значения $t$.
• 4.1.A.5 Множество определения параметрической функции $f$ часто ограничено, что приводит к появлению начальной и конечной точек на графике $f$.

Цель обучения 4.2.A: Определять ключевые характеристики параметрической функции плоского движения, связанные с положением.

• 4.2.A.1 Параметрическая функция, заданная выражением $f(t) = (x(t),\, y(t))$, может использоваться для моделирования движения частицы в плоскости. График этой функции показывает положение частицы в момент времени $t$.
• 4.2.A.2 Горизонтальные и вертикальные экстремумы движения частицы можно определить, найдя максимальные и минимальные значения функций $x(t)$ и $y(t)$ соответственно.
• 4.2.A.3 Действительные нули функции $x(t)$ соответствуют точкам пересечения с осью $y$, а действительные нули функции $y(t)$ соответствуют точкам пересечения с осью $x$.

Цель обучения 4.3.A: Определять ключевые характеристики параметрической функции плоского движения, связанные с направлением и скоростью изменения.

• 4.3.A.1 По мере увеличения параметра направление плоского движения частицы можно анализировать независимо по компонентам $x$ и $y$. Если $x(t)$ увеличивается или уменьшается, направление движения — вправо или влево соответственно. Если $y(t)$ увеличивается или уменьшается, направление движения — вверх или вниз соответственно.
• 4.3.A.2 В данной точке плоскости направление плоского движения может различаться для разных значений параметра $t$.
• 4.3.A.3 Одна и та же кривая в плоскости может быть задана параметрически различными способами и может проходиться в разных направлениях с использованием различных параметрических функций.
• 4.3.A.4 На заданном интервале $[t_1,\, t_2]$ области определения среднюю скорость изменения можно вычислить для компонент $x(t)$ и $y(t)$ независимо. Отношение средней скорости изменения компоненты $y$ к средней скорости изменения компоненты $x$ дает наклон графика между точками на кривой, соответствующими параметрам $t_1$ и $t_2$, при условии, что средняя скорость изменения компоненты $x(t) \neq 0$ не равна нулю.

Цель обучения 4.4.A: Выражать движение по окружности или вдоль отрезка прямой параметрически.

• 4.4.A.1 Полный оборот против часовой стрелки вокруг единичной окружности, начинающийся и заканчивающийся в точке $(1,\, 0)$ и имеющий центр в начале координат, может быть смоделирован функцией $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ с областью определения $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.4.A.2 Преобразования параметрической функции $(x(t),\, y(t)) = (\cos t,\, \sin t)$ могут моделировать любую круговую траекторию, проходимую в плоскости.
• 4.4.A.3 Линейный путь вдоль отрезка прямой от точки $(x_1,\, y_1)$ до точки $(x_2,\, y_2)$ может быть задан параметрически множеством способов, включая использование начального положения $(x_1,\, y_1)$ и скоростей изменения для компоненты $x$ по переменной $t$ и для компоненты $y$ по переменной $t$.

Учебная цель 4.5.A: Построить график уравнения, содержащего две переменные.

• 4.5.A.1 Уравнение, содержащее две переменные, может неявно описывать одну или несколько функций.
• 4.5.A.2 Уравнение, содержащее две переменные, можно изобразить на графике, найдя решения этого уравнения.
• 4.5.A.3 Выражение одной из переменных в уравнении, содержащем две переменные, может определить функцию, график которой является частью или всем графиком данного уравнения.

Учебная цель 4.5.B: Определить, как изменяются вместе две величины, связанные неявно определенной функцией.

• 4.5.B.1 Для упорядоченных пар на графике неявно определенной функции, расположенных близко друг к другу, если отношение изменений двух переменных положительно, то обе переменные одновременно увеличиваются или уменьшаются; наоборот, если отношение отрицательно, то при увеличении одной переменной другая уменьшается.
• 4.5.B.2 Скорость изменения $x$ по отношению к $y$ или скорости изменения $y$ по отношению к $x$ может быть равна нулю, что указывает на вертикальные или горизонтальные интервалы соответственно.

Учебная цель 4.7.A: Представить кривую на плоскости параметрически.

• 4.7.A.1 Параметризация $(x(t),\, y(t))$ неявно определенной функции, при подстановке $x(t)$ и $y(t)$ вместо $x$ и $y$ соответственно, будет удовлетворять соответствующему уравнению для любого значения параметра $t$ из области определения.
• 4.7.A.2 Если $f$ является функцией от $x$, то $y = f(x)$ может быть параметризовано как $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$. Если $f$ обратима, её обратная функция может быть параметризована как $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$ для соответствующего интервала $t$.

Учебная цель 4.7.B: Представить конические сечения параметрически.

• 4.7.B.1 Параболу можно параметризовать тем же способом, которым параметризуются любые уравнения, которые можно решить относительно $x$ или $y$. Уравнения, которые можно решить относительно $x$, можно параметризовать как $(x(t),\, y(t)) = (f(t),\, t)$, выразив $x$ и заменив $y$ на $t$. Уравнения, которые можно решить относительно $y$, можно параметризовать как $(x(t),\, y(t)) = (t, f(t))$, выразив $y$ и заменив $x$ на $t$.
• 4.7.B.2 Эллипс можно параметризовать с помощью тригонометрических функций $x(t) = h + a\cos t$ и $y(t) = k + b\sin t$ для переменной $0 \leq t \leq 2\pi$.
• 4.7.B.3 Гиперболу можно параметризовать с помощью тригонометрических функций. Для гиперболы, раскрывающейся влево и вправо, используются функции $x(t) = h + a\sec t$ и $y(t) = k + b\tan t$ при $0 \leq t \leq 2\pi$. Для гиперболы, раскрывающейся вверх и вниз, используются функции $x(t) = h + a\tan t$ и $y(t) = k + b\sec t$ при $0 \leq t \leq 2\pi$.

Учебная цель 4.8.A: Определять характеристики вектора.

• 4.8.A.1 Вектор — это направленный отрезок прямой. Когда вектор помещается в координатную плоскость, точка в начале отрезка называется хвостом, а точка в конце отрезка называется головой. Длина отрезка является величиной (длиной) вектора.
• 4.8.A.2 Вектор $\overrightarrow{P_1 P_2}$ с двумя компонентами можно построить на координатной плоскости $xy$ от точки $P_1 = (x_1, y_1)$ до точки $P_2 = (x_2, y_2)$. Вектор определяется значениями $a$ и $b$, где $a = x_2 - x_1$ и $b = y_2 - y_1$. Вектор можно записать в виде $\langle a,\, b \rangle$. Нулевой вектор $\langle 0,\, 0 \rangle$ представляет тривиальный случай, когда выполняется условие $P_1 = P_2$.
• 4.8.A.3 Направление вектора параллельно отрезку прямой, соединяющему начало координат с точкой, имеющей координаты $(a,\, b)$. Величина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его компонент.
• 4.8.A.4 Для вектора, изображенного геометрически на плоскости, компоненты вектора можно найти, используя тригонометрию.

Учебная цель 4.8.B: Определять суммы и произведения, связанные с векторами.

• 4.8.B.1 Умножение скаляра (константы) на вектор дает новый вектор, компоненты которого находятся путем умножения скаляра на каждую компоненту исходного вектора. Новый вектор параллелен исходному вектору.
• 4.8.B.2 Сумма двух векторов из пространства $\mathbb{R}^2$ является новым вектором, компоненты которого находятся путем сложения соответствующих компонент исходных векторов. Новый вектор можно графически представить как вектор, чей хвост совпадает с хвостом первого вектора, а голова совпадает с головой второго вектора, когда хвост второго вектора расположен в голове первого вектора.
• 4.8.B.3 Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих компонент. То есть, $\langle a_1,\, b_1 \rangle \cdot \langle a_2,\, b_2 \rangle = a_1 a_2 + b_1 b_2$.

Учебная цель 4.8.C: Определять единичный вектор для заданного вектора.

• 4.8.C.1 Единичный вектор — это вектор величиной $1$. Единичный вектор того же направления, что и данный ненулевой вектор, можно найти, умножив вектор на скаляр, равный обратной величине его длины.
• 4.8.C.2 Вектор $\langle a,\, b \rangle$ может быть выражен как $a\vec{i} + b\vec{j}$ в $\mathbb{R}^2$, где $\vec{i}$ и $\vec{j}$ — единичные векторы в направлениях $x$ и $y$ соответственно. То есть, $\vec{i} = \langle 1,\, 0 \rangle$ и $\vec{j} = \langle 0,\, 1 \rangle$.

Учебная цель 4.8.D: Определять меры углов между векторами и величины векторов, участвующих в сложении векторов.

• 4.8.D.1 Скалярное произведение геометрически эквивалентно произведению длин двух векторов и косинуса угла между ними. Следовательно, если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.
• 4.8.D.2 Закон синусов и закон косинусов могут использоваться для определения длин сторон и величин углов треугольников, образованных сложением векторов.

Цель обучения 4.9.A: Описывать движение в плоскости с помощью вектор-значных функций.

• 4.9.A.1 Положение частицы, движущейся в плоскости и заданной параметрической функцией $f(t) = (x(t),\, y(t))$, может быть выражено как вектор-значная функция, $p(t) = x(t)\vec{i} + y(t)\vec{j}$ или $p(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$. Длина вектора положения в момент времени $t$ определяет расстояние частицы от начала координат.
• 4.9.A.2 Вектор-значную функцию $v(t) = \langle x(t),\, y(t) \rangle$ можно использовать для описания скорости частицы, движущейся в плоскости, в различные моменты времени $t$. В момент времени $t$ знак компоненты $x(t)$ указывает направление движения частицы влево или вправо, а знак компоненты $y(t)$ указывает направление вверх или вниз. Длина вектора скорости в момент времени $t$ определяет скорость частицы.

Цель обучения 4.10.A: Найти произведение двух матриц.

• 4.10.A.1 Матрица размера $n \times m$ — это массив, состоящий из $n$ строк и $m$ столбцов.
• 4.10.A.2 Две матрицы можно перемножить, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Произведением матриц является новая матрица, элемент которой в строке $i$ и столбце $j$ равен скалярному произведению строки $i$ первой матрицы и столбца $j$ второй матрицы.

Цель обучения 4.11.A: Найти обратную матрицу для матрицы размера $2 \times 2$.

• 4.11.A.1 Единичная матрица $I$ — это квадратная матрица, состоящая из единиц $1$ на диагонали от левого верхнего угла к правому нижнему и нулей $0$ во всех остальных позициях.
• 4.11.A.2 Умножение квадратной матрицы на соответствующую ей единичную матрицу дает исходную квадратную матрицу.
• 4.11.A.3 Произведение квадратной матрицы и её обратной (если она существует) равно единичной матрице того же размера.
• 4.11.A.4 Обратную матрицу размера $2 \times 2$ (если она существует) можно вычислить с помощью технических средств или без них.

Цель обучения 4.11.B: Применить значение определителя для проверки обратимости и работы с векторами.

• 4.11.B.1 Определитель матрицы $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ равен $ad - bc$. Определитель можно вычислить с помощью технических средств или без них и обозначается как $\det(A)$.
• 4.11.B.2 Если матрица размера $2 \times 2$ состоит из двух столбцовых или строчных векторов из пространства $\mathbb{R}^2$, то ненулевое абсолютное значение определителя этой матрицы представляет собой площадь параллелограмма, натянутого на векторы, представленные в столбцах или строках матрицы. Если определитель равен $0$, то векторы параллельны.
• 4.11.B.3 Квадратная матрица $A$ имеет обратную тогда и только тогда, когда $\det(A) \neq 0$.

Цель обучения 4.12.A: Найти выходные векторы линейного преобразования с использованием матрицы размера $2 \times 2$.

• 4.12.A.1 Линейное преобразование — это функция, которая отображает входной вектор на выходной вектор так, что каждый компонент выходного вектора является суммой постоянных кратностей компонентов входного вектора.
• 4.12.A.2 Линейное преобразование отображает нулевой вектор в нулевой вектор.
• 4.12.A.3 Один вектор из пространства $\mathbb{R}^2$ может быть представлен в виде матрицы размера $2 \times 1$. Набор из $n$ векторов из пространства $\mathbb{R}^2$ может быть представлен в виде матрицы размера $2 \times n$.
• 4.12.A.4 Для линейного преобразования $L$ из пространства $\mathbb{R}^2$ в пространство $\mathbb{R}^2$ существует единственная матрица $2 \times 2$, обозначаемая как $A$, такая что $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ для векторов в пространстве $\mathbb{R}^2$. Наоборот, для заданной матрицы $2 \times 2$, обозначаемой как $A$, функция $L(\vec{v}) = A\vec{v}$ является линейным преобразованием из пространства $\mathbb{R}^2$ в пространство $\mathbb{R}^2$.
• 4.12.A.5 Умножение матрицы преобразования $2 \times 2$, $A$, на матрицу из $2 \times n$ входных векторов размерности $n$ дает матрицу из $2 \times n$ выходных векторов размерности $n$ для линейного преобразования $L(\vec{v}) = A\vec{v}$.

Цель обучения 4.13.A: Установить связь между линейным преобразованием и матрицей.

• 4.13.A.1 Линейное преобразование, отображающее пространство $\langle x,\, y \rangle$ в пространство $\langle a_{11} x + a_{12} y,\, a_{21} x + a_{22} y \rangle$, связано с матрицей $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
• 4.13.A.2 Отображение единичных векторов при линейном преобразовании предоставляет ценную информацию для определения связанной с ним матрицы.
• 4.13.A.3 Матрица $\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ связана с линейным преобразованием векторов, которое поворачивает каждый вектор на угол $\theta$ против часовой стрелки вокруг начала координат.
• 4.13.A.4 Абсолютная величина определителя матрицы преобразования $2 \times 2$ дает коэффициент растяжения областей в пространстве $\mathbb{R}^2$ при данном преобразовании.

Цель обучения 4.13.B: Определить композицию двух линейных преобразований.

• 4.13.B.1 Композиция двух линейных преобразований является линейным преобразованием.
• 4.13.B.2 Матрица, соответствующая композиции двух линейных преобразований, равна произведению матриц, связанных с каждым из этих линейных преобразований.

Цель обучения 4.13.C: Определить обратное преобразование линейного преобразования.

• 4.13.C.1 Два линейных преобразования являются взаимно обратными, если их композиция отображает любой вектор в него самого.
• 4.13.C.2 Если линейное преобразование $L$ задано формулой $L(\vec{v}) = A\vec{v}$, то его обратное преобразование задается формулой $L^{-1}(\vec{v}) = A^{-1}\vec{v}$, где $A^{-1}$ — это обратная матрица к матрице $A$.

Цель обучения 4.14.A: Построить модель сценария, включающего переходы между двумя состояниями, используя матрицы.

• 4.14.A.1 Контекстный сценарий может указывать скорость переходов между состояниями в виде процентных изменений. Матрица может быть составлена на основе этих скоростей для моделирования того, как состояния изменяются за дискретные интервалы времени.

Цель обучения 4.14.B: Применять матричные модели для прогнозирования будущих и прошлых состояний для $n$ шагов перехода.

• 4.14.B.1 Произведение матрицы, моделирующей переходы между состояниями, и соответствующего вектора состояния позволяет прогнозировать будущие состояния.
• 4.14.B.2 Повторное умножение матрицы, моделирующей переходы между состояниями, на соответствующие результирующие векторы состояний позволяет прогнозировать стационарное состояние — распределение между состояниями, которое не меняется от одного шага к следующему.
• 4.14.B.3 Произведение обратной матрицы, моделирующей переходы между состояниями, и соответствующего вектора состояния позволяет прогнозировать прошлые состояния.