Exponential and Logarithmic Functions · ⁨Показательные и логарифмические функции⁩

Цель обучения 2.1.A: Представлять арифметические прогрессии, встречающиеся в математических и контекстных задачах, в виде функций от целых чисел.

• 2.1.A.1 Прогрессия — это функция из множества целых чисел в множество действительных чисел. Следовательно, график прогрессии состоит из дискретных точек, а не из непрерывной кривой.
• 2.1.A.2 Последовательные члены арифметической прогрессии имеют общую разность, или постоянную скорость изменения.
• 2.1.A.3 Общий член арифметической прогрессии с разностью $d$ обозначается как $a_n$ и задается формулой $a_n = a_0 + dn$, где $a_0$ — начальное значение, или формулой $a_n = a_k + d(n - k)$, где $a_k$ — $k$-й член прогрессии.

Цель обучения 2.1.B: Представлять геометрические прогрессии, встречающиеся в математических и контекстных задачах, в виде функций от целых чисел.

• 2.1.B.1 Последовательные члены геометрической прогрессии имеют общий множитель, или постоянный коэффициент пропорционального изменения.
• 2.1.B.2 Общий член геометрической прогрессии с общим множителем $r$ обозначается $g_n$ и задается формулой $g_n = g_0 r^n$, где $g_0$ — начальное значение, или формулой $g_n = g_k r^{(n-k)}$, где $g_k$ — $k$-й член прогрессии.
• 2.1.B.3 Возрастающие арифметические прогрессии увеличиваются на одинаковую величину на каждом шаге, тогда как возрастающие геометрические прогрессии увеличиваются на все большую величину с каждым последующим шагом.

Цель обучения 2.2.A: Составлять функции действительных чисел, аналогичные арифметическим и геометрическим прогрессиям.

• 2.2.A.1 Линейные функции вида $f(x) = b + mx$ подобны арифметическим прогрессиям вида $a_n = a_0 + dn$, так как обе могут быть представлены как начальное значение ($b$ или $a_0$) плюс повторяющееся прибавление постоянной скорости изменения — наклонной ($m$ или $d$).
• 2.2.A.2 Аналогично арифметическим прогрессиям вида $a_n = a_k + d(n - k)$, которые определяются известной разностью $d$ и $k$-м членом, линейные функции могут быть представлены в виде $f(x) = y_i + m(x - x_i)$ на основе известного углового коэффициента (наклона) $m$ и точки $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.3 Показательные функции вида $f(x) = ab^x$ аналогичны геометрическим прогрессиям вида $g_n = g_0 r^n$, так как обе могут быть выражены как начальное значение ($a$ или $g_0$), умноженное на повторяющееся умножение на постоянный множитель ($b$ или $r$).
• 2.2.A.4 Аналогично геометрическим прогрессиям вида $g_n = g_k r^{(n-k)}$, которые определяются известным отношением $r$ и $k$-м членом, показательные функции могут быть представлены в виде $f(x) = y_i r^{(x - x_i)}$ на основе известного отношения $r$ и точки $(x_i, y_i)$.
• 2.2.A.5 Прогрессии и их соответствующие функции могут иметь различные области определения.

Цель обучения 2.3.A: Определять ключевые характеристики экспоненциальных функций.

• 2.3.A.1 Общий вид экспоненциальной функции: $f(x) = ab^x$, где начальное значение — $a$, при этом $a \neq 0$; основание — $b$, при этом $b > 0$ и $b \neq 1$. Когда $a > 0$ и $b > 1$, экспоненциальная функция демонстрирует экспоненциальный рост. Когда $a > 0$ и $0 < b < 1$, экспоненциальная функция демонстрирует экспоненциальное убывание.
• 2.3.A.2 Когда натуральные числа являются входными значениями в экспоненциальной функции, входное значение указывает количество множителей основания, которые должны быть применены к начальному значению функции. Областью определения экспоненциальной функции являются все действительные числа.
• 2.3.A.3 Поскольку выходные значения экспоненциальных функций общего вида пропорциональны на интервалах входных значений одинаковой длины, экспоненциальные функции либо всегда возрастают, либо всегда убывают, а их графики либо всегда выпуклы вверх, либо всегда выпуклы вниз. Следовательно, у экспоненциальных функций нет экстремумов, за исключением замкнутого интервала, и их графики не имеют точек перегиба.
• 2.3.A.4 Если значения аддитивной преобразующей функции $g(x) = f(x) + k$ любой функции $f$ пропорциональны на интервалах входных значений одинаковой длины, то $f$ является экспоненциальной функцией.

Цель обучения 2.4.A: Переписывать экспоненциальные выражения в эквивалентных формах.

• 2.4.A.1 Свойство произведения степеней гласит, что $b^m b^n = b^{(m+n)}$. Графически это свойство означает, что любое горизонтальное смещение экспоненциальной функции $f(x) = b^{(x+k)}$ эквивалентно вертикальному растяжению $f(x) = b^{(x+k)} = b^x b^k = ab^x$, где $a = b^k$.
• 2.4.A.2 Свойство степени гласит, что $\left(b^m\right)^n = b^{(mn)}$. Графически это свойство означает, что любое горизонтальное растяжение экспоненциальной функции $f(x) = b^{(cx)}$ эквивалентно изменению основания экспоненциальной функции $f(x) = \left(b^c\right)^x$, где $b^c$ является константой, а $c \neq 0$.
• 2.4.A.3 Свойство отрицательной степени гласит, что $b^{-n} = \dfrac{1}{b^n}$.
• 2.4.A.4 Значение экспоненциального выражения, включающего экспоненциальную дробную степень, такую как $b^{(1/k)}$, где $k$ — натуральное число, представляет собой корень $k$-й степени из $b$, если он существует.

Цель обучения 2.5.A: Составлять модель для ситуаций, в которых выходные значения пропорциональны на интервалах входных значений одинаковой длины.

• 2.5.A.1 Экспоненциальные функции моделируют паттерны роста, где последовательные выходные значения на интервалах входных значений одинаковой длины пропорциональны. Когда входные значения являются целыми числами, экспоненциальные функции моделируют ситуации повторяющегося умножения постоянной на начальное значение.
• 2.5.A.2 К значениям зависимой переменной набора данных может потребоваться прибавить постоянную величину, чтобы выявить паттерн пропорционального роста.
• 2.5.A.3 Модель экспоненциальной функции может быть составлена по подходящему коэффициенту и начальному значению или по двум парам входных и выходных значений. Начальное значение и основание можно найти, решив систему уравнений, полученную из двух пар входных и выходных значений.
• 2.5.A.4 Модели экспоненциальных функций могут быть составлены путем применения преобразований к $f(x) = ab^x$ на основе характеристик контекстной сценария или набора данных.
• 2.5.A.5 Модели экспоненциальных функций для набора данных могут быть построены с использованием технологий путем выполнения экспоненциальной регрессии.
• 2.5.A.6 Натуральное основание $e$, которое приблизительно равно $2.718$, часто используется в качестве основания в экспоненциальных функциях, моделирующих контекстные сценарии.

Цель обучения 2.6.A: Составлять линейные, квадратичные и экспоненциальные модели на основе набора данных.

• 2.6.A.1 Две переменные в наборе данных, демонстрирующие изменяющуюся скорость изменения, могут быть смоделированы с помощью моделей линейных, квадратичных и экспоненциальных функций.
• 2.6.A.2 Модели можно сравнивать на основе контекстуальных подсказок и применимости, чтобы определить, какая модель наиболее подходит.

Цель обучения 2.6.B: Проверять модель, построенную на основе набора данных.

• 2.6.B.1 Модель считается подходящей для набора данных, если график остатков регрессии, или диаграмма остатков, выглядит без видимых закономерностей.
• 2.6.B.2 Разница между предсказанными и фактическими значениями является ошибкой в модели. В зависимости от набора данных и контекста может быть более уместным получить заниженную или завышенную оценку для любого заданного интервала.

Цель обучения 2.7.A: Вычислять композицию двух или более функций для заданных значений.

• 2.7.A.1 Если $f$ и $g$ — это функции, то составная функция $f \circ g$ отображает множество входных значений на множество выходных значений таким образом, что выходные значения $g$ используются как входные значения для $f$. По этой причине область определения составной функции ограничена теми входными значениями для $g$, для которых соответствующее выходное значение находится в области определения для $f$. $(f \circ g)(x)$ также можно записать как $f(g(x))$.
• 2.7.A.2 Значения для составной функции $f \circ g$ могут быть вычислены или оценены по графическим, числовым, аналитическим или словесным представлениям $f$ и $g$ с использованием выходных значений из $g$ в качестве входных значений для $f$.
• 2.7.A.3 Композиция функций не является коммутативной; то есть $f \circ g$ и $g \circ f$ обычно являются разными функциями; следовательно, $f(g(x))$ и $g(f(x))$ обычно являются разными значениями.
• 2.7.A.4 Если функция $f(x) = x$ компонируется с любой другой функцией $g$, полученная составная функция совпадает с $g$; то есть $g(f(x)) = f(g(x)) = g(x)$. Функция $f(x) = x$ называется тождественной функцией. При композиции двух функций тождественная функция действует так же, как $0$ (аддитивная единица), при сложении двух чисел, и $1$ (мультипликативная единица), при умножении двух чисел.

Цель обучения 2.7.B: Составлять представление композиции двух или более функций.

• 2.7.B.1 Композиция функций полезна для связи двух величин, которые не связаны напрямую существующей формулой.
• 2.7.B.2 Когда доступны аналитические представления функций $f$ и $g$, аналитическое представление для $f(g(x))$ можно составить, подставив $g(x)$ вместо каждого вхождения $x$ в выражение $f$.
• 2.7.B.3 Численное или графическое представление для $f \circ g$ часто можно составить, вычислив или оценив значения для $(x, f(g(x)))$.

Цель обучения 2.7.C: Представить заданную функцию в виде композиции двух или более функций.

• 2.7.C.1 Функции, заданные аналитически, часто можно разложить на менее сложные функции. При правильном разложении переменная одной функции должна заменять каждое вхождение функции, с которой она была составлена.
• 2.7.C.2 Аддитивное преобразование функции $f$, приводящее к вертикальным и горизонтальным сдвигам, можно понимать как композицию $g(x) = x + k$ с $f$.
• 2.7.C.3 Мультипликативное преобразование функции $f$, приводящее к вертикальным и горизонтальным растяжениям/сжатиям, можно понимать как композицию $g(x) = kx$ с $f$.

Цель обучения 2.8.A: Определять пары «вход-выход» для обратной функции.

• 2.8.A.1 На указанной области определения функция $f$ имеет обратную функцию (или является обратимой), если каждое выходное значение $f$ соответствует единственному входному значению. Область определения функции может быть ограничена различными способами, чтобы сделать её обратимой.
• 2.8.A.2 Обратную функцию можно рассматривать как обратное отображение исходной функции. Обратная функция $f^{-1}$ отображает выходные значения функции $f$ на её обратимой области определения в соответствующие им входные значения; то есть, если $f(a) = b$, то $f^{-1}(b) = a$. Альтернативно, на обратимой области определения, если функция состоит из пар «вход-выход» $(a, b)$, то обратная функция состоит из пар «вход-выход» $(b, a)$.

Цель обучения 2.8.B: Определить обратную функцию на обратимой области определения.

• 2.8.B.1 Композиция функции $f$ и её обратной функции $f^{-1}$ дает тождественную функцию; то есть $f\left(f^{-1}(x)\right) = f^{-1}(f(x)) = x$.
• 2.8.B.2 На обратимой области определения область значений и область определения функции становятся областью определения и областью значений обратной функции соответственно. Обращение таблицы значений для $y = f(x)$ можно найти, изменив местами пары «вход-выход»; то есть $(a, b)$ соответствует $(b, a)$.
• 2.8.B.3 График обратной функции для функции $y = f(x)$ можно найти, изменив местами оси $x$ и $y$; то есть, отразив график функции относительно графика тождественной функции $h(x) = x$.
• 2.8.B.4 Обратную функцию можно найти, определив обратные операции для обратного отображения. Один из методов нахождения обратной функции для $f$ заключается в изменении местами $x$ и $y$ в уравнении $y = f(x)$, а затем решении относительно $y = f^{-1}(x)$.
• 2.8.B.5 Помимо ограничения области определения функции для получения обратной функции, контекстные ограничения также могут ограничивать применимость обратной функции.

Цель обучения 2.9.A: Вычислять логарифмические выражения.

• 2.9.A.1 Логарифмическое выражение $\log_b c$ равно (или представляет собой) значение, до которого нужно возвести основание $b$ в степень, чтобы получить значение $c$. То есть, $\log_b c = a$ тогда и только тогда, когда $b^a = c$, где $a$ и $c$ — константы, $b > 0$, и $b \neq 1$. (когда основание логарифмического выражения не указано, подразумевается десятичный логарифм с основанием $10$)
• 2.9.A.2 Значения некоторых логарифмических выражений легко находятся с помощью базовой арифметики, тогда как другие значения можно оценить с использованием технических средств.
• 2.9.A.3 На логарифмической шкале каждая единица соответствует умножительному изменению, равному основанию логарифма. Например, на стандартной шкале единицами могут быть $0, \; 1, \; 2, \; \ldots$, а на логарифмической шкале, используя основание логарифма $10$, единицами могут быть $10^0, \; 10^1, \; 10^2, \; \ldots$.

Цель обучения 2.10.A: Строить представления обратной функции для показательной функции с начальным значением 1.

• 2.10.A.1 Общий вид логарифмической функции: $f(x) = a\log_b x$, с основанием $b$, где $b > 0$, $b \neq 1$ и $a \neq 0$.
• 2.10.A.2 Способ, которым входные и выходные значения изменяются вместе, имеет обратную зависимость в показательных и логарифмических функциях. Выходные значения показательных функций общего вида изменяются пропорционально, когда входные значения увеличиваются на равные интервалы. Однако входные значения логарифмических функций общего вида изменяются пропорционально, когда выходные значения увеличиваются на равные интервалы. Альтернативно, показательный рост характеризуется умножительным изменением выходных значений при аддитивном изменении входных значений, тогда как логарифмический рост характеризуется аддитивным изменением выходных значений при умножительном изменении входных значений.
• 2.10.A.3 $f(x) = \log_b x$ и $g(x) = b^x$, где $b > 0$ и $b \neq 1$, являются взаимно обратными функциями. То есть, $g(f(x)) = f(g(x)) = x$.
• 2.10.A.4 График логарифмической функции $f(x) = \log_b x$, где $b > 0$ и $b \neq 1$, является отражением графика показательной функции $g(x) = b^x$, где $b > 0$ и $b \neq 1$, относительно графика тождественной функции $h(x) = x$.
• 2.10.A.5 Если $(s, \; t)$ — упорядоченная пара показательной функции $g(x) = b^x$, где $b > 0$ и $b \neq 1$, то $(t, \; s)$ — упорядоченная пара логарифмической функции $f(x) = \log_b x$, где $b > 0$ и $b \neq 1$.

Цель обучения 2.11.A: Определять ключевые характеристики логарифмических функций.

• 2.11.A.1 Областью определения логарифмической функции общего вида является любое действительное число, большее нуля, а областью значений — все действительные числа.
• 2.11.A.2 Поскольку логарифмические функции являются обратными к показательным, они всегда либо строго возрастают, либо строго убывают, а их графики либо всегда выпуклы вверх, либо всегда выпуклы вниз. Следовательно, логарифмические функции не имеют экстремумов (за исключением замкнутого интервала), а их графики не имеют точек перегиба.
• 2.11.A.3 Аддитивная преобразующая функция $g(x) = f(x + k)$, где $k \neq 0$, логарифмической функции $f$ в общем виде не имеет входных значений, пропорциональных на равных по длине интервалах выходных значений. Однако если входные значения аддитивной преобразующей функции $g(x) = f(x + k)$ любой функции $f$ пропорциональны на равных по длине интервалах выходных значений, то $f$ является логарифмической функцией.
• 2.11.A.4 В связи с ограниченной областью определения логарифмические функции в общем виде имеют вертикальную асимптоту $x = 0$ и неограниченное поведение на концах. То есть для логарифмической функции в общем виде $\lim\limits_{x \to 0^+} a\log_b x = \pm\infty$ и $\lim\limits_{x \to \infty} a\log_b x = \pm\infty$.

Цель обучения 2.12.A: Преобразовывать логарифмические выражения в эквивалентные формы.

• 2.12.A.1 Свойство произведения логарифмов гласит, что $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$. Графически это свойство означает, что каждое горизонтальное растяжение логарифмической функции $f(x) = \log_b(kx)$ эквивалентно вертикальному сдвигу $f(x) = \log_b(kx) = \log_b k + \log_b x = a + \log_b x$, где $a = \log_b k$.
• 2.12.A.2 Свойство степени логарифмов гласит, что $\log_b x^n = n\log_b x$. Графически это свойство означает, что возведение входа логарифмической функции в степень $f(x) = \log_b x^k$ приводит к вертикальному растяжению $f(x) = \log_b x^k = k\log_b x$.
• 2.12.A.3 Свойство смены основания логарифмов гласит, что $\log_b x = \dfrac{\log_a x}{\log_a b}$, где $a > 0$ и $a \neq 1$. Это означает, что все логарифмические функции являются вертикальными растяжениями друг друга.
• 2.12.A.4 Функция $f(x) = \ln x$ является логарифмической функцией с натуральным основанием $e$; то есть $\ln x = \log_e x$.

Цель обучения 2.13.A: Решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства.

• 2.13.A.1 Свойства степеней, свойства логарифмов и взаимно-обратные отношения между показательными и логарифмическими функциями могут быть использованы для решения уравнений и неравенств, содержащих степени и логарифмы.
• 2.13.A.2 При решении показательных и логарифмических уравнений, полученных аналитическими или графическими методами, результаты следует проверять на наличие посторонних решений, исключенных математическими или контекстными ограничениями.
• 2.13.A.3 Логарифмы можно использовать для переписывания выражений, содержащих показательные функции, различными способами, которые могут раскрыть полезную информацию. В частности, $b^x = c^{(\log_c b)(x)}$.

Цель обучения 2.13.B: Строить обратную функцию для показательных и логарифмических функций.

• 2.13.B.1 Функция $f(x) = ab^{(x-h)} + k$ представляет собой комбинацию аддитивных преобразований показательной функции в общем виде. Обратную функцию от $y = f(x)$ можно найти, определив обратные операции для reversal отображения.
• 2.13.B.2 Функция $f(x) = a\log_b(x - h) + k$ представляет собой комбинацию аддитивных преобразований логарифмической функции в общем виде. Обратную функцию от $y = f(x)$ можно найти, определив обратные операции для reversal отображения.

Цель обучения 2.14.A: Строить модель логарифмической функции.

• 2.14.A.1 Логарифмические функции являются обратными к показательным и могут использоваться для моделирования ситуаций, связанных с пропорциональным ростом или повторным умножением, когда входные значения изменяются пропорционально на равных по длине интервалах выходных значений. Альтернативно, если выходное значение является целым числом, это указывает на количество раз, на которое начальное значение было умножено на пропорцию.
• 2.14.A.2 Модель логарифмической функции может быть построена на основе соответствующей пропорции и реального нуля или двух пар «вход-выход».
• 2.14.A.3 Модели логарифмических функций могут быть построены путем применения преобразований к $f(x) = a\log_b x$ на основе характеристик контекста или набора данных.
• 2.14.A.4 Модели логарифмических функций для набора данных могут быть построены с использованием технологий с помощью логарифмической регрессии.
• 2.14.A.5 Натуральный логарифм часто полезен при моделировании явлений реального мира.
• 2.14.A.6 Модели логарифмических функций могут использоваться для прогнозирования значений зависимой переменной.

Цель обучения 2.15.A: Определить, подходит ли показательная модель, изучив полулогарифмический график набора данных.

• 2.15.A.1 На полулогарифмическом графике одна из осей имеет логарифмическую шкалу. Когда ось $y$ полулогарифмического графика имеет логарифмическую шкалу, данные или функции, демонстрирующие показательные характеристики, будут выглядеть линейно.
• 2.15.A.2 Преимущество полулогарифмических графиков заключается в том, что к значениям зависимой переменной никогда не нужно прибавлять постоянную величину, чтобы выявить пригодность показательной модели.

Цель обучения 2.15.B: Построить линеаризацию показательных данных.

• 2.15.B.1 Методы, используемые для моделирования линейных функций, могут применяться к полупрологарифмическому графику.
• 2.15.B.2 Для экспоненциальной модели вида $y = ab^x$ соответствующая линейная модель для полупрологарифмического графика имеет вид $y = (\log_n b)x + \log_n a$, где $n > 0$ и $n \neq 1$. В частности, линейная скорость изменения равна $\log_n b$, а начальное линейное значение равно $\log_n a$.