Polynomial and Rational Functions · ⁨Полиномиальные и рациональные функции⁩

Цель обучения 1.1.A: Описывать, как входные и выходные значения функции изменяются совместно, сравнивая значения функции.

• 1.1.A.1 Функция — это математическая зависимость, которая ставит в соответствие каждому элементу множества входных значений ровно один элемент множества выходных значений. Множество входных значений называется областью определения функции, а множество выходных значений называется областью значений функции. Переменная, представляющая входные значения, называется независимой переменной, а переменная, представляющая выходные значения, называется зависимой переменной.
• 1.1.A.2 Входные и выходные значения функции изменяются совместно в соответствии с правилом функции, которое может быть выражено графически, численно, аналитически или словесно.
• 1.1.A.3 Функция является возрастающей на интервале её области определения, если при увеличении входных значений выходные значения также всегда увеличиваются. То есть, для любых $a$ и $b$ в этом интервале, если $a < b$, то $f(a) < f(b)$.
• 1.1.A.4 Функция является убывающей на интервале её области определения, если при увеличении входных значений выходные значения всегда уменьшаются. То есть, для любых $a$ и $b$ в этом интервале, если $a < b$, то $f(a) > f(b)$.

Цель обучения 1.1.B: Построить график, представляющий две величины, изменяющиеся друг относительно друга в контекстной ситуации.

• 1.1.B.1 График функции отображает набор пар вход-выход и показывает, как изменяются значения входных и выходных значений функции.
• 1.1.B.2: Вербальное описание того, как аспекты явлений изменяются совместно, может служить основой для построения графика.
• 1.1.B.3 График функции является выпуклым вниз (вогнутым вверх) на интервалах, где скорость изменения увеличивается.
• 1.1.B.4 График функции является выпуклым вверх (вогнутым вниз) на интервалах, где скорость изменения уменьшается.
• 1.1.B.5 График пересекает ось $x$, когда выходное значение равно нулю. Соответствующие входные значения называются нулями функции.

Цель обучения 1.2.A: Сравнивать скорости изменения в двух точках, используя средние скорости изменения вблизи этих точек.

• 1.2.A.1 Средняя скорость изменения функции на интервале области определения этой функции — это постоянная скорость изменения, которая дает такое же изменение значений функции, что и сама функция на этом интервале. Это отношение изменения значений функции к изменению значений аргумента на этом интервале.
• 1.2.A.2 Скорость изменения функции в точке характеризует скорость, с которой менялись бы значения функции, если бы значения аргумента менялись в этой точке. Скорость изменения в точке может быть приближенно определена как средняя скорость изменения функции на малых интервалах, содержащих эту точку, если такие значения существуют.
• 1.2.A.3 Скорости изменения в двух точках можно сравнить, используя приближения средней скорости изменения на достаточно малых интервалах, содержащих каждую точку, если такие значения существуют.

Цель обучения 1.2.B: Описывать, как две величины изменяются совместно в различных точках и на различных интервалах функции.

• 1.2.B.1 Скорости изменения характеризуют, как две величины изменяются совместно.
• 1.2.B.2 Положительная скорость изменения указывает на то, что при увеличении или уменьшении одной величины другая величина ведет себя аналогично (тоже увеличивается или уменьшается).
• 1.2.B.3 Отрицательная скорость изменения указывает на то, что при увеличении одной величины другая уменьшается.

Цель обучения 1.3.A: Определять средние скорости изменения для последовательностей и функций, включая линейные, квадратичные и другие типы функций.

• 1.3.A.1 Для линейной функции средняя скорость изменения на любом интервале значений аргумента является постоянной.
• 1.3.A.2 Для квадратичной функции средние скорости изменения на последовательных равных по длине интервалах значений аргумента могут быть представлены линейной функцией.
• 1.3.A.3 Средняя скорость изменения на замкнутом интервале $[a, b]$ равна угловому коэффициенту секущей прямой, проходящей через точки $(a, f(a))$ и $(b, f(b))$.

Цель обучения 1.3.B: Определять изменение средних скоростей изменения для линейных, квадратичных и других типов функций.

• 1.3.B.1 Для линейной функции, поскольку средние скорости изменения на последовательных равных по длине интервалах значений аргумента могут быть представлены постоянной функцией, эти средние скорости изменения для линейной функции изменяются со скоростью, равной нулю.
• 1.3.B.2 Для квадратичной функции, поскольку средние скорости изменения на последовательных интервалах входных значений одинаковой длины могут быть заданы линейной функцией, эти средние скорости изменения для квадратичной функции изменяются с постоянной скоростью.
• 1.3.B.3 Когда средняя скорость изменения на интервалах входных значений одинаковой длины возрастает для всех малых длинных интервалов, график функции является выпуклым вниз (вогнутым вверх). Когда средняя скорость изменения на интервалах входных значений одинаковой длины убывает для всех малых длинных интервалов, график функции является выпуклым вверх (вогнутым вниз).

Цель обучения 1.4.A: Определять ключевые характеристики полиномиальных функций, связанные со скоростями изменения.

• 1.4.A.1 Непостоянная полиномиальная функция $x$ — это любое представление функции, эквивалентное аналитической форме $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$, где $n$ — положительное целое число, $a_i$ — действительное число для каждого $i$ от $1$ до $n$, а $a_n$ — ненулевое число. Степень многочлена равна $n$, старший член — $a_n x^n$, а старший коэффициент — $a_n$. Константа также является полиномиальной функцией нулевой степени.
• 1.4.A.2 В точках смены монотонности (с возрастания на убывание или наоборот) или на включенном конце интервала определения полиномиальной функции функция принимает локальное или относительное максимальное или минимальное значение. Из всех локальных максимумов наибольший называется глобальным или абсолютным максимумом. Аналогично, наименьшее из всех локальных минимумов называется глобальным или абсолютным минимумом.
• 1.4.A.3 Между любыми двумя различными действительными нулями непостоянной полиномиальной функции должно существовать как минимум одно значение входного аргумента, соответствующее локальному максимуму или локальному минимуму.
• 1.4.A.4 Полиномиальные функции четной степени имеют либо глобальный максимум, либо глобальный минимум.
• 1.4.A.5 Точки перегиба полиномиальной функции возникают при значениях входного аргумента, где скорость изменения функции меняется с возрастания на убывание или с убывания на возрастание. Это происходит там, где график полиномиальной функции меняет вогнутость с выпуклости вниз на выпуклость вверх или наоборот.

Цель обучения 1.5.A: Определять ключевые характеристики полиномиальной функции, связанные с ее нулями, при наличии подходящих разложений или с использованием технических средств.

• 1.5.A.1 Если $a$ — комплексное число и $p(a) = 0$, то $a$ называется нулем полиномиальной функции $p$ или корнем уравнения $p(x) = 0$. Если $a$ — действительное число, то $(x - a)$ является линейным множителем выражения $p$ тогда и только тогда, когда $a$ является нулем функции $p$.
• 1.5.A.2 Если линейный множитель $(x - a)$ повторяется $n$ раз, то соответствующий ноль полиномиальной функции имеет кратность $n$. Полиномиальная функция степени $n$ имеет ровно $n$ комплексных нуля, если учитывать кратности.
• 1.5.A.3 Если $a$ — действительный нуль полиномиальной функции $p$, то график функции $y = p(x)$ имеет пересечение с осью $x$ в точке $(a, 0)$. Следовательно, действительные нули полинома могут служить концами интервалов, удовлетворяющих полиномиальным неравенствам.
• 1.5.A.4 Если $a + bi$ — мнимый (недействительный) ноль полиномиальной функции $p$, то его сопряженное число $a - bi$ также является нулем функции $p$.
• 1.5.A.5 Если действительный нуль $a$ полиномиальной функции имеет четную кратность, то знаки выходных значений одинаковы для входных значений, близких к $x = a$. Для таких полиномиальных функций график будет касаться оси $x$ в точке $x = a$.
• 1.5.A.6 Степень полиномиальной функции можно определить, изучая последовательные разности выходных значений на равных интервалах входных значений. Степень полиномиальной функции равна наименьшему значению $n$, при котором последовательные $n$-е разности становятся постоянными.

Цель обучения 1.5.B: Определить, является ли полиномиальная функция четной или нечетной.

• 1.5.B.1 Четная функция симметрична относительно прямой $x = 0$ и аналитически обладает свойством $f(-x) = f(x)$. Если степень $n$ четная, то полином вида $p(x) = a_n x^n$, где $n \geq 1$ и $a_n \neq 0$, является четной функцией.
• 1.5.B.2 Нечетная функция симметрична относительно точки $(0, 0)$ и аналитически обладает свойством $f(-x) = -f(x)$. Если степень $n$ нечетная, то полином вида $p(x) = a_n x^n$, где $n \geq 1$ и $a_n \neq 0$, является нечетной функцией.

Цель обучения 1.6.A: Описывать поведение полиномиальных функций на бесконечности.

• 1.6.A.1 При возрастании входных значений непостоянной полиномиальной функции безгранично выходные значения либо возрастают, либо убывают безгранично. Соответствующая математическая нотация: $\lim_{x \to \infty} p(x) = \infty$ или $\lim_{x \to \infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.2 При стремлении входных значений непостоянной полиномиальной функции к минус бесконечности, выходные значения будут либо возрастать, либо убегать без bounds. Соответствующая математическая нотация: $\lim_{x \to -\infty} p(x) = \infty$ или $\lim_{x \to -\infty} p(x) = -\infty$.
• 1.6.A.3 Степень и знак старшего члена полинома определяют поведение функции на бесконечности, поскольку при стремлении входных значений к плюс или минус бесконечности значения старшего члена доминируют над значениями всех членов меньшей степени.

Цель обучения 1.7.A: Описывать поведение рациональных функций на бесконечности.

• 1.7.A.1 Рациональная функция аналитически представлена как частное двух полиномиальных функций и показывает соотношение размеров полиномиальной функции в числителе по сравнению с полиномиальной функцией в знаменателе для каждого значения из области определения рациональной функции.
• 1.7.A.2 Поведение рациональной функции на бесконечности в наибольшей степени определяется многочленом с большей степенью, поскольку его значения доминируют над значениями рациональной функции при входных значениях большой величины. При входных значениях большой величины поведение многочлена определяется его старшим членом. Следовательно, поведение рациональной функции на бесконечности можно понять, изучив соответствующее отношение старших членов.
• 1.7.A.3 Если многочлен в числителе доминирует над многочленом в знаменателе при входных значениях большой величины, то отношение старших членов представляет собой ненулевой многочлен, и исходная рациональная функция обладает поведением на бесконечности этого многочлена. Если этот многочлен является линейным, то график рациональной функции имеет наклонную асимптоту, параллельную графику прямой.
• 1.7.A.4 Если ни один из многочленов рациональной функции не доминирует над другим при входных значениях большой величины, то отношение старших членов является константой, и эта константа указывает положение горизонтальной асимптоты графика исходной рациональной функции.
• 1.7.A.5 Если многочлен в знаменателе доминирует над многочленом в числителе при входных значениях большой величины, то отношение старших членов представляет собой рациональную функцию с константой в числителе и ненулевым многочленом в знаменателе, и график исходной рациональной функции имеет горизонтальную асимптоту на $y = 0$.
• 1.7.A.6 Когда график рациональной функции $r$ имеет горизонтальную асимптоту на $y = b$, где $b$ — константа, выходные значения рациональной функции становятся произвольно близкими к $b$ и остаются произвольно близкими к $b$, когда входные значения увеличиваются или уменьшаются без границ. Соответствующая математическая нотация: $\lim_{x \to \infty} r(x) = b$ или $\lim_{x \to -\infty} r(x) = b$.

Цель обучения 1.8.A: Определять нули рациональных функций.

• 1.8.A.1 Действительные нули рациональной функции соответствуют действительным нулям её числителя для тех значений, которые входят в её область определения.
• 1.8.A.2 Действительные нули обоих многочленных функций рациональной функции $r$ являются границами интервалов или асимптотами для интервалов, удовлетворяющих неравенствам рациональной функции $r(x) \geq 0$ или $r(x) \leq 0$.

Цель обучения 1.9.A: Определять вертикальные асимптоты графиков рациональных функций.

• 1.9.A.1 Если значение $a$ является действительным нулем многочленной функции в знаменателе рациональной функции и одновременно не является действительным нулем многочленной функции в числителе, то график рациональной функции имеет вертикальную асимптоту на $x = a$. Кроме того, вертикальная асимптота также возникает на $x = a$, если кратность $a$ как действительного нуля в знаменателе больше, чем её кратность как действительного нуля в числителе.
• 1.9.A.2 Вблизи вертикальной асимптоты $x = a$ рациональной функции значения многочлена в знаменателе становятся произвольно близкими к нулю, поэтому значения рациональной функции $r$ неограниченно возрастают или убывают. Соответствующая математическая нотация: $\lim_{x \to a^+} r(x) = \infty$ или $\lim_{x \to a^+} r(x) = -\infty$ для входных значений, близких к $a$ и больших $a$, а также $\lim_{x \to a^-} r(x) = \infty$ или $\lim_{x \to a^-} r(x) = -\infty$ для входных значений, близких к $a$ и меньших $a$.

Цель обучения 1.10.A: Определить наличие выколотых точек на графиках рациональных функций.

• 1.10.A.1 Если кратность действительного нуля в числителе больше или равна его кратности в знаменателе, то график рациональной функции имеет выколотую точку при соответствующем входном значении.
• 1.10.A.2 Если график рациональной функции $r$ имеет выколотую точку в точке $x = c$, то местоположение этой точки можно определить, изучив выходные значения, соответствующие входным значениям, достаточно близким к $c$. Если входные значения, достаточно близкие к $c$, соответствуют выходным значениям, произвольно близким к $L$, то выколотая точка расположена в точке с координатами $(c, L)$. Соответствующая математическая запись выглядит так: $\lim_{x \to c} r(x) = L$. Следует отметить, что $\lim_{x \to c^-} r(x) = \lim_{x \to c^+} r(x) = \lim_{x \to c} r(x) = L$.

Цель обучения 1.11.A: Переписать многочлены и рациональные выражения в эквивалентной форме.

• 1.11.A.1 Поскольку разложенная форма многочлена или рациональной функции легко предоставляет информацию о действительных нулях, она может раскрыть информацию об пересечениях с осью $x$, асимптотах, выколотых точках, области определения и множестве значений.
• 1.11.A.2 Стандартная форма многочлена или рациональной функции может раскрыть информацию о поведении функции на бесконечности.
• 1.11.A.3 Информация, извлеченная из различных аналитических представлений одного и того же многочлена или рациональной функции, может быть использована для ответов на вопросы в контексте.

Цель обучения 1.11.B: Найти частное двух многочленных функций с помощью деления уголком.

• 1.11.B.1 Деление многочленов уголком — это алгебраический процесс, аналогичный делению чисел уголком, включающий частное и остаток. Если многочлен $f$ делится на многочлен $g$, то $f$ можно переписать в виде $f(x) = g(x)q(x) + r(x)$, где $q$ является частным, $r$ — остатком, а степень $r$ меньше степени $g$.
• 1.11.B.2 Результат деления многочленов уголком полезен при нахождении уравнений наклонных асимптот для графиков рациональных функций.

Цель обучения 1.11.C: Переписать повторное произведение биномов, используя бином Ньютона.

• 1.11.C.1 Бином Ньютона использует элементы одной строки треугольника Паскаля для более легкого раскрытия выражений вида $(a + b)^n$, включая многочленные функции вида $p(x) = (x + c)^n$, где $c$ — константа.

Цель обучения 1.12.A: Построить функцию, которая является аддитивным и/или мультипликативным преобразованием другой функции.

• 1.12.A.1 Функция $g(x) = f(x) + k$ является аддитивным преобразованием функции $f$, что приводит к вертикальному сдвигу графика функции $f$ на $k$ единиц.
• 1.12.A.2 Функция $g(x) = f(x + h)$ является аддитивным преобразованием функции $f$, что приводит к горизонтальному сдвигу графика $f$ на $-h$ единиц.
• 1.12.A.3 Функция $g(x) = a f(x)$, где $a \neq 0$, является мультипликативным преобразованием функции $f$, что приводит к вертикальному растяжению графика $f$ с коэффициентом $|a|$. Если $a < 0$, преобразование включает отражение относительно оси $x$.
• 1.12.A.4 Функция $g(x) = f(bx)$, где $b \neq 0$, является мультипликативным преобразованием функции $f$, что приводит к горизонтальному растяжению графика $f$ с коэффициентом $\left| \dfrac{1}{b} \right|$. Если $b < 0$, преобразование включает отражение относительно оси $y$.
• 1.12.A.5 Аддитивные и мультипликативные преобразования могут быть объединены, что приводит к комбинациям горизонтальных и вертикальных сдвигов и растяжений.
• 1.12.A.6 Область определения и множество значений функции, являющейся преобразованием родительской функции, могут отличаться от таковых у родительской функции.

Цель обучения 1.13.A: Определить подходящий тип функции для построения модельной функции для заданной ситуации.

• 1.13.A.1 Линейные функции моделируют наборы данных или аспекты контекстных ситуаций, демонстрирующих примерно постоянные скорости изменения.
• 1.13.A.2 Квадратичные функции моделируют наборы данных или аспекты контекстных ситуаций, демонстрирующих примерно линейные скорости изменения, или наборы данных, которые примерно симметричны и имеют единственное максимальное или минимальное значение.
• 1.13.A.3 Геометрические контексты, связанные с площадью или двумя измерениями, часто моделируются квадратичными функциями. Геометрические контексты, связанные с объемом или тремя измерениями, часто моделируются кубическими функциями.
• 1.13.A.4 Полиномиальные функции моделируют наборы данных или контекстные сценарии с несколькими действительными нулями или несколькими максимумами и минимумами.
• 1.13.A.5 Полиномиальная функция степени $n$ моделирует набор данных или контекстные ситуации, демонстрирующие приблизительно постоянные ненулевые разности $n$-го порядка.
• 1.13.A.6 Полиномиальную функцию степени $n$ или ниже можно использовать для моделирования графика из $n + 1$ точек с различными значениями аргумента.
• 1.13.A.7 Функция, заданная кусочно, состоит из множества функций, определенных на непересекающихся интервалах области определения, и полезна для моделирования набора данных или контекстного сценария, который демонстрирует различные характеристики на разных интервалах.

Цель обучения 1.13.B: Описывать предпосылки и ограничения, связанные со созданием функциональной модели.

• 1.13.B.1 Модель может иметь скрытые предпосылки относительно того, что является неизменным в данной модели.
• 1.13.B.2 Модель может иметь скрытые предпосылки относительно того, как величины изменяются совместно.
• 1.13.B.3 Модель может требовать ограничений области определения на основе математических подсказок, контекстных подсказок или экстремальных значений в наборе данных.
• 1.13.B.4 Модель может требовать ограничений области значений, таких как округление значений, на основе математических подсказок, контекстных подсказок или экстремальных значений в наборе данных.

Цель обучения 1.14.A: Построить линейную, квадратичную, кубическую, четвертой степени, полиномиальную функцию степени $n$ или связанную с ней кусочно-заданную функциональную модель.

• 1.14.A.1 Модель может быть построена на основе ограничений, выявленных в математическом или контекстном сценарии.
• 1.14.A.2 Модель набора данных или контекстного сценария может быть построена с использованием преобразований базовой функции.
• 1.14.A.3 Модель набора данных может быть построена с использованием технологий и регрессионного анализа, включая линейную, квадратичную, кубическую и регрессию четвертой степени.
• 1.14.A.4 Модель функции, заданной кусочно, может быть построена путем комбинации методов моделирования.

Цель обучения 1.14.B: Построить рациональную функциональную модель на основе контекста.

• 1.14.B.1 Наборы данных и аспекты контекстных сценариев, связанных с величинами, обратно пропорциональными друг другу, часто моделируются рациональными функциями. Например, модули гравитационной и электромагнитной сил между объектами обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними.

Цель обучения 1.14.C: Применять функциональную модель для ответов на вопросы о наборе данных или контекстном сценарии.

• 1.14.C.1 Модель может использоваться для вывода заключений о смоделированном наборе данных или контекстном сценарии, включая ответы на ключевые вопросы и прогнозирование значений, скоростей изменения, средних скоростей изменения и меняющихся скоростей изменения. Необходимо извлекать или выводить соответствующие единицы измерения из заданного контекста.