Look at these numbers. A small battery says one point five volts. A car battery says twelve. A high-voltage transmission line carries four hundred thousand. A…
Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
9.1
Электрический потенциальная энергия
Программа
Цель обучения 9.1.A: Описать электростатический потенциал системы.
9.1.A.1 Электростатический потенциал системы двух точечных зарядов равен работе внешней силы, необходимой для перемещения этих точечных зарядов из бесконечно удаленного расстояния в их текущие положения.
9.1.A.2 Общий вид выражения для электростатического потенциала между двумя заряженными объектами задается уравнением
9.1.A.3 Полный электростатический потенциал системы может быть определен как сумма электростатических потенциалов отдельных взаимодействий между каждой парой заряженных объектов в системе.
Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
Когда вы сближаете два одноименных заряда, вы совершаете работу против электрической силы. Эта работа накапливается парой в виде электрического потенциальной энергии:
$U_E$ определяется как работа внешней силы, которую необходимо совершить для перемещения зарядов из бесконечно удаленного места на расстояние $r$ друг от друга. Знаки имеют физический смысл:
Одноименные заряды:$U_E>0$. Для их сближения потребовалось внешнее давление. Если их отпустить, они разлетятся, и накопленная энергия превратится в кинетическую энергию.
Разноименные заряды:$U_E<0$. Пара связана. Вы должны совершить работу $|U_E|$, чтобы разъединить их на бесконечность.
Электрическая сила является консервативной силой: совершаемая ею работа зависит только от начальной и конечной точек, а не от траектории, и равна $-\Delta U_E$.
Для системы нескольких зарядов сложите потенциальную энергию каждой отдельной пары:
Разобранное решение. Три заряда $+2.0\ \mu\text{C}$ расположены в вершинах равностороннего треугольника со сторонами $0.30\ \text{m}$. Каждая пара хранит энергию $U=\dfrac{kq^2}{r}=\dfrac{(9.0\times10^{9})(2.0\times10^{-6})^2}{0.30}=0.12\ \text{J}$. Таких пар три, поэтому $U_{\text{total}}=3\times0.12\ \text{J}=0.36\ \text{J}$. Это работа, необходимая для сборки треугольника из бесконечности — и кинетическая энергия, которую заряды получили бы, если бы все три были отпущены.
9.2
Электрический потенциал
Программа
Цель обучения 9.2.A: Описать электрический потенциал, создаваемый конфигурацией заряженных объектов.
9.2.A.1 Электрический потенциал характеризует энергию электрического поля на единицу заряда в данной точке пространства.
9.2.A.2 Выражения для электрического потенциала распределений зарядов могут быть получены с помощью интегрирования и принципа суперпозиции.
9.2.A.2.i Электрический потенциал для одиночного точечного заряда равен
Уравнение:$V = \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$.
9.2.A.2.ii Электрический потенциал, создаваемый несколькими точечными зарядами, определяется по принципу скалярной суперпозиции потенциалов каждого из точечных зарядов.
9.2.A.3 Разность электрических потенциалов между двумя точками равна изменению электрической потенциальной энергии на единицу заряда при перемещении проб Charge между этими точками.
Уравнение:$\Delta V = \dfrac{\Delta U_E}{q}$
9.2.A.4 Разность электрических потенциалов также может возникать в результате химических процессов, приводящих к разделению положительных и отрицательных зарядов, например, в батарее.
Предельное утверждение: AP Physics C: Электричество и магнетизм требует от студентов использования дифференциального исчисления для нахождения электрического потенциала, создаваемого следующими распределениями зарядов и в следующих точках: бесконечно длинный равномерно заряженный проводник или цилиндр на расстоянии от его центральной оси, тонкое кольцо заряда в точке на оси кольца, полукруговая дуга или часть полукруговой дуги в ее центре, а также конечный проводник или линейный заряд в точке, коллинеарной с линейным зарядом, или в точке на перпендикуляре к нему, проходящем через середину.
Цель обучения 9.2.B: Описать связь между электрическим потенциалом и электрическим полем.
9.2.B.1 Значение компоненты вектора электрического поля в любом направлении в данной точке равно отрицательному значению пространственной производной электрического потенциала в этой точке.
Уравнение:$E_x = -\dfrac{dV}{dx}$
9.2.B.2 Изменение электрического потенциала между двумя точками может быть определено путем интегрирования скалярного произведения вектора электрического поля и вектора перемещения вдоль пути, соединяющего эти точки.
Уравнение:$\Delta V = V_b - V_a = -\displaystyle\int_a^b \vec{E}\cdot d\vec{r}$
9.2.B.3 Векторные карты электрического поля и линии эквипотенциалов являются инструментами для описания поля, создаваемого зарядом или конфигурацией зарядов, и могут использоваться для предсказания движения заряженных объектов в этом поле.
9.2.B.3.i Линии эквипотенциал представляют собой линии с одинаковым значением электрического потенциала. Эти линии также называются изолиниями электрического потенциала.
9.2.B.3.ii Изолинии перпендикулярны векторам электрического поля. Карту изолиний электрического потенциала можно построить по векторной карте электрического поля, и наоборот — векторную карту электрического поля можно построить по карте изолиний.
9.2.B.3.iii Вектор электрического поля направлен в сторону уменьшения потенциала.
9.2.B.3.iv Вдоль изолинии отсутствует компонента вектора электрического поля.
Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
Электрический потенциал — это потенциальная энергия на единицу заряда в данной точке пространства. Он измеряется в вольтах ($1\ \text{V}=1\ \text{J/C}$):
Потенциал является скаляром: он имеет знак, но не имеет направления. Это делает $V$ гораздо удобнее для работы, чем поле $\vec{E}$. Для нескольких точечных зарядов используйте скалярную суперпозицию — складывайте потенциалы с учетом их знаков:
Разобранный пример. Потенциал $0.10\ \text{m}$ от точечного заряда $+3.0\ \text{nC}$ равен $V=\dfrac{kq}{r}=\dfrac{9.0\times10^{9}(3.0\times10^{-9})}{0.10}=270\ \text{V}$. Теперь добавим заряд $-3.0\ \text{nC}$ на расстоянии $0.30\ \text{m}$ от той же точки: он вносит вклад $\dfrac{9.0\times10^{9}(-3.0\times10^{-9})}{0.30}=-90\ \text{V}$, поэтому полная сумма равна $270-90=180\ \text{V}$. Это просто алгебраическая сумма – разлагать векторные составляющие не нужно.
Непрерывные распределения заряда
Для непрерывного распределения заряда разрежьте его на малые элементы $dq$, каждый элемент Considered as a point charge, and integrate:
Это скалярный интеграл, поэтому обычно он намного проще, чем интеграл для поля. В программе AP ожидается умение работать с четырьмя геометрическими фигурами с помощью исчисления: тонким кольцом (в точке на оси), дугой (в её центре), конечным стержнем или проводом (коллинеарно или на перпендикулярном биссекторе) и бесконечно длинным проводом или цилиндром (на расстоянии от оси).
Изображение кольца с зарядом: каждый элемент dq находится на одинаковом расстоянии от точки на оси
Разобранное решение (кольцо с зарядом). Тонкое кольцо радиуса $R$ несет полный заряд $Q$. Для точки $P$ на оси, находящейся на расстоянии $z$ от центра, каждый элемент $dq$ находится на одинаковом расстоянии $r=\sqrt{R^2+z^2}$ от точки $P$. Расстояние постоянно, поэтому оно выносится за знак интеграла:
На FRQ скажите, что $r$ одинаков для каждого элемента — это утверждение является ключевым этапом оценки. Та же идея дает результат $V=kQ/R$ в центре любой дуги, независимо от угла.
От потенциала к полю
Потенциал и поле содержат одну и ту же информацию, связанную производной в каждом направлении и контурным интегралом:
Поле является отрицательным градиентом потенциала: $\vec{E}$ указывает от высокого потенциала к низкому, «по склону». Там, где $V$ меняется быстро, поле сильное.
Разобранное решение. Вдоль оси $x$, $V(x)=3x^{2}-2x$ (вольты, при $x$ в метрах). Тогда $E_x=-\dfrac{dV}{dx}=2-6x\ \text{V/m}$. При $x=0.50\ \text{m}$, $E_x=-1.0\ \text{V/m}$: поле там направлено в $-x$ направлении.
Изображение в однородном поле потенциал убывает равномерно с расстоянием
Разность потенциалов между двумя точками — это изменение потенциальной энергии на единицу заряда, перемещаемого между ними: $\Delta V=\Delta U_E/q$. Аккумулятор создает разность потенциалов химическим путем: реакции внутри разделяют положительные и отрицательные заряды и удерживают клеммы на фиксированном расстоянии $\Delta V$ друг от друга.
Потенциал вблизи точечного заряда изменяется как 1/r
Карты эквипотенциалов
Эквипотенциальная линия (также называемая изолинией) соединяет точки с одинаковым потенциалом. Четыре правила помогут вам прочитать любую карту:
Изолинии перпендикулярны силовым линиям везде, где они их пересекают.
$\vec{E}$ указывает от высокого $V$ к низкому $V$ – никогда вдоль изолинии. Перемещение заряда вдоль изолинии не требует работы.
Плотное расположение изолиний означает сильное поле: $E\approx-\Delta V/\Delta x$.
Вы можете нарисовать карту поля по карте изолиний и карту изолиний по карте поля.
Эквипотенциальные линии вокруг диполя пересекают силовые линии под прямым углом
Навык для экзамена. Дана карта с изолиниями через каждые $10\ \text{V}$, расположенными примерно на расстоянии $2\ \text{cm}$ друг от друга. Оцените $E\approx\dfrac{10}{0.02}=500\ \text{V/m}$, направленный от линии с большим значением к линии с меньшим. Работа внешнего агента при перемещении заряда $q$ медленно от $A$ до $B$ равна $W=q(V_B-V_A)$ – путь не имеет значения.
Высоковольтные линии электропередачи: энергия электрического потенциала преобразуется и передается в виде тока под высоким напряжением
Исследовать
Силовые линии и потенциал вокруг заряда
Электрический потенциал — это энергия на единицу заряда. Он убывает с удалением от положительного заряда; силовые линии направлены от высокого потенциала к низкому.
Цель обучения 9.3.A: Описать изменения в системе, вызванные разностью электрических потенциалов между двумя участками.
9.3.A.1 При перемещении заряженного объекта между двумя участками с различными электрическими потенциалами resulting изменение электрической потенциальной энергии системы «объект-поле» задается следующим уравнением.
Уравнение:$\Delta U_E = q\Delta V$
9.3.A.2 Перемещение заряженного объекта между двумя точками с разными электрическими потенциалами приводит к изменению кинетической энергии объекта, согласующемуся с законом сохранения энергии.
Источник: Описание курса и экзамена College Board AP
Когда заряд $q$ перемещается между двумя точками, разность потенциалов которых составляет $\Delta V$, потенциальная энергия системы «заряд–поле» изменяется на
$$\Delta U_E=q\,\Delta V.$$
Если действует только электрическая сила, полная энергия сохраняется, поэтому кинетическая энергия изменяется на противоположное количество:
$$\Delta K=-\Delta U_E=-q\,\Delta V.$$
Следите за обоими знаками одновременно: положительный заряд ускоряется при движении к более низкому потенциалу, а отрицательный — при движении к более высокому потенциалу. В обоих случаях система просто обменивает потенциальную энергию на кинетическую. Именно так ускорители частиц сообщают заряженным частицам энергию, и именно это лежит в основе энергетического анализа в цепях.
Разобранный пример. Протон ($q=1.6\times10^{-19}\ \text{C}$, $m=1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$) начинает движение из состояния покоя и ускоряется через падение потенциала на $500\ \text{V}$ (он движется к более низкому потенциалу, значит $\Delta V=-500\ \text{V}$ и $\Delta K=-q\,\Delta V=+8.0\times10^{-17}\ \text{J}$). Принимая $\Delta K=\tfrac12 mv^2$:
Навык для экзамена. Выбирайте методы сохранения энергии, а не кинематику, когда поле неоднородно или траектория изогнута: важны только потенциалы начальной и конечной точек. Типичная цепочка заданий FRQ выглядит как $q\,\Delta V \to \Delta K \to v$, с одной строкой обоснования: «электрическая сила является консервативной, поэтому энергия сохраняется.»
9.3
Советы для экзамена
Связать поле и потенциал можно через $V=-\int \vec E\cdot d\vec l$ и $\vec E=-\nabla V$ (в 1-D: $E_x=-\tfrac{dV}{dx}$).
Потенциал является скалярной величиной — складывайте вклады со знаками, векторные компоненты не нужны.
Потенциальная энергия пары равна $U=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{q_1 q_2}{r}$; используйте закон сохранения энергии для скорости заряда.
Знать, что работа не совершается при перемещении вдоль эквипотенциали, которая перпендикулярна $\vec E$.
Выберите ноль потенциала (обычно бесконечность) и укажите его.
Интерактивные уроки по этой теме
Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
