AP Calculus AB

Математический анализ — это математика изменений и накопления. Он отвечает на два главных вопроса: как быстро что-то меняется прямо сейчас и сколько накопилось к данному моменту? Раздел 1 строит тот самый инструмент, на котором основаны оба этих вопроса, — предел.

Начните с задачи. Спидометр автомобиля показывает $60$ км/ч. Что это означает в один конкретный миг? Скорость — это расстояние, деленное на время. Но за один миг не проходит времени и не проходится расстояния, поэтому дробь выглядит как $\tfrac{0}{0}$ – неопределенность.

• Средняя скорость изменения используется для всего интервала: это изменение одной величины, деленное на изменение другой. Она не определена, так как деление на ноль, когда изменение входной величины равно нулю.
• Мгновенная скорость изменения — это то, что нам нужно в точке. Это значение, к которому стремится средняя скорость, по мере того как интервал сокращается до нуля.

Хитрость состоит не в подстановке нуля (что дает неопределенность), а в наблюдении за тем, к чему стремится средняя скорость, по мере того как интервал становится все меньше и меньше. Это приближающееся значение и есть предел. Таким образом, математический анализ позволяет описать изменение в один мгновенный момент — как предел средних скоростей на все более коротких интервалах. Одна эта идея порождает производную (Раздел 2) и, если двигаться в обратном направлении, интеграл (Раздел 6). Все остальное в этом разделе определяет пределы аккуратно и вычисляет их надежно.

Для функции $f$ предел $f(x)$ при $x$, стремящемся к $c$, является действительным числом $R$, если $f(x)$ может быть сделано произвольно близким к $R$ путем выбора $x$ достаточно близким к $c$ – но не равным $c$. Записываем:

и читаем: "предел $f(x)$, при $x$, стремящемся к $c$, равен $R$."

Последние слова суть сердца определения предела: он описывает поведение $f$ рядом с $c$, а не значение в $c$. Функция может быть не определена в $c$ или определена, но равна чему-то другому — пределу без разницы.

Предел можно показать тремя способами: графически, численно (таблица) и аналитически (алгебра). Навык переключения между этими представлениями является основным.

(Примечание: определение предела через эпсилон-дельту не проверяется на экзамене AP, поэтому данный материал его не использует.)

График часто является самым быстрым способом прочитать предел. Чтобы найти $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x)$, проведите пальцем вдоль кривой к $x = c$ с каждой стороны и спросите: к какой высоте стремится кривая?

• Следите слева (входные значения меньше $c$): это даст предел слева, $\displaystyle \lim_{x \to c^-} f(x)$.
• Следуйте справа (входные значения больше $c$): это даст предел справа, $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x)$.
• Это односторонние пределы. Если оба они стремятся к той же высоте $R$, то двусторонний предел существует и $\displaystyle \lim_{x \to c} f(x) = R$.

Ключевой момент: игнорируйте саму точку. Графики показывают различие между пределом и значением:

• Открытый кружок обозначает высоту, к которой кривая стремится, но не достигает – «дырку».
• Закрашенный кружок обозначает фактическое значение $f(c)$.

Так кривая может стремиться к $R = 3$ с обеих сторон (предел равен $3$), в то время как закрашенная точка находится на высоте $5$ (значение $f(c) = 5$). Предел равен $3$; они не обязаны совпадать.

Предел не существует (часто обозначается DNE), когда левая и правая стороны расходятся (скачок), функция неограничена (растет без предела) или она колеблется бесконечно вблизи $c$. Например:

Следите за шкалой графика: вид, уменьшенный в масштабе, может скрыть важное поведение рядом с точкой, поэтому подтверждайте алгебраически, если возможно.

Когда у вас есть данные или формула, но нет картинки, таблица значений оценивает предел численно. Выберите входные значения, которые медленно приближаются к $c$ с обеих сторон, и следите за выходами.

Например, для оценки $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (которое равно $\tfrac{0}{0}$ при $x=2$):

$x$	$1.9$	$1.99$	$1.999$	$\to 2 \leftarrow$	$2.001$	$2.01$	$2.1$
$f(x)$	$3.9$	$3.99$	$3.999$	?	$4.001$	$4.01$	$4.1$

Обе стороны движутся к $4$, поэтому мы оцениваем, что предел равен $4$. Таблица лишь предполагает значение — это численная оценка, а не доказательство.

Большинство пределов находятся аналитически с помощью теорем о пределах. Если $\lim_{x\to c} f(x)$ и $\lim_{x\to c} g(x)$ существуют, то предел комбинации равен той же комбинации пределов:

• Сумма / разность: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\pm g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x) \pm \lim_{x\to c}g(x)$
• Произведение: $\displaystyle \lim_{x\to c}\big[f(x)\,g(x)\big] = \lim_{x\to c}f(x)\cdot\lim_{x\to c}g(x)$
• Частное: $\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$, при условии, что нижний предел не равен $0$.
• Композиция: если $g$ непрерывна в точке $\lim_{x\to c} f(x)$, тогда $\displaystyle \lim_{x\to c} g\big(f(x)\big) = g\!\left(\lim_{x\to c} f(x)\right)$.

Практическое правило: для функции, составленной из многочленов, корней и тому подобных, сначала попробуйте прямую подстановку — подставьте $x = c$. Если вы получаете действительное число, это и есть предел. Односторонние пределы подчиняются тем же теоремам, но рассматриваются только с одной стороны.

Прямая подстановка иногда дает неопределенную форму $\tfrac{0}{0}$. Это не означает, что предел не существует – это значит, что нужно переписать функцию в эквивалентную форму, устраняющую проблему, а затем выполнить подстановку. Три стандартных приема:

• Разложить на множители и сократить рациональную функцию. Пример: $\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4$.
• Умножить на сопряженное выражение, чтобы упростить иррациональное выражение. Пример: $\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{x}{x\big(\sqrt{x+1}+1\big)} = \frac{1}{2}$.
• Использовать альтернативные формы тригонометрических функций (тождества) для упрощения.

Сокращенный множитель объясняет наличие выколотой точки на исходном графике: две функции совпадают везде, кроме точки $x=c$, поэтому имеют одинаковый предел там.

Это тема навыков, а не нового материала: выберите подходящий инструмент для конкретного предела.

1. Сначала попробуйте прямую подстановку. Если получен реальный ответ, задача решена.
2. Получили $\tfrac{0}{0}$? Перепишите выражение — разложите на множители и сократите, или используйте сопряженное, или тригонометрическое тождество — затем выполните подстановку.
3. Неzero число делится на $0$ (как $\tfrac{5}{0}$)? Предел равен бесконечности или не существует — проверьте знак с каждой стороны (см. вертикальные асимптоты ниже).
4. При $x\to\pm\infty$? Сравните старшие члены (см. пределы при бесконечности).
5. Функция заперта между двумя другими? Возможно применение теоремы о двух милиционерах (теоремы о зажатой функции).

Теорема о двух милиционерах (также известная как теорема о сэндвиче) находит предел, «зажимая» функцию между двумя другими. Если $g(x) \le f(x) \le h(x)$ близки к $c$, и

то $f$ «зажата» в том же месте: $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x) = L$.

Два знаменитых результата, доказанных таким образом и используемых во всем математическом анализе, это:

Еще одна тема навыков: один и тот же предел отражен на графике, в таблице и в алгебраической форме, и вы должны уметь переводить информацию из одной формы в другую. График показывает форму и любые выколотые точки или разрывы; таблица дает численные данные; алгебра дает точное значение и обоснование. Сильные ответы используют одно представление для подтверждения другого.

Функция является непрерывной при $c$, если её график «разрывается» в этой точке. Существует три типа:

• Устранимый разрыв – одна выколотая точка. Двусторонний предел существует, но сама точка отсутствует или задана неверно.
• Разрыв первого рода (скачок) – существуют односторонние пределы, но они не совпадают, поэтому кривая совершает скачок.
• Бесконечный разрыв – функция уходит в бесконечность к $\pm\infty$ в точке вертикальной асимптоты.

Непрерывность определяется трехчастичной проверкой. Функция $f$ непрерывна в точке $x=c$ тогда и только тогда, когда выполняются все три условия:

Простыми словами: точка существует, предел существует, и они совпадают. Если хотя бы одно условие нарушено, $f$ имеет разрыв в точке $c$. Эта проверка является основой почти каждого вопроса о непрерывности, поэтому запомните её как чек-лист.

Функция непрерывна на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Обычно мы не проверяем непрерывность по точкам, так как целые классы функций непрерывны на своих областях определения:

Полиномиальные, рациональные, степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Таким образом, рациональная функция непрерывна везде кроме точек, где знаменатель равен нулю; $\ln x$ непрерывна для всех $x>0$; и так далее. Знание этого позволяет быстро и правильно утверждать о непрерывности.

Если предел существует в точке «дыры», разрыв устраняем: переопределите функцию в этой единственной точке, присвоив ей значение предела, и график будет исправлен. Формально, задайте недостающее значение равным $\displaystyle \lim_{x\to c} f(x)$.

Для кусочно-заданной функции непрерывность на границе $x=c$ требует, чтобы две части стыковались: значение левой части, значение правой части и $f(c)$ должны быть равны. Это типичная задача экзамена – найдите параметр (неизвестную константу), который обеспечит совпадение частей:

Идея предела распространяется на бесконечные пределы. Когда функция растет без ограничения вблизи $x=c$, мы записываем $\lim_{x\to c} f(x) = \pm\infty$. Это описывает вертикальную асимптоту в точке $x=c$: график приближается к вертикальной линии $x=c$ и уходит в бесконечность к $\pm\infty$.

Это происходит, когда ненулевое число делится на величину, стремящуюся к $0$*, например, в нуле знаменателя, который не сокращается. Всегда проверяйте каждую сторону отдельно – стороны могут уходить в противоположные направления (одна к $+\infty$, другая к $-\infty$).

Мы также можем позволить аргументу расти: пределы на бесконечности описывают поведение на конце функции при $x\to\pm\infty$. Если значения выхода стабилизируются вблизи конечного числа $L$, то $y=L$ является горизонтальной асимптотой.

Для рациональной функции сравните степени числителя и знаменателя:

• степень числителя < степени знаменателя $\Rightarrow$ предел равен $0$ (горизонтальная асимптота $y=0$);
• степень числителя = степени знаменателя $\Rightarrow$ предел равен отношению старших коэффициентов;
• степень числителя > степени знаменателя $\Rightarrow$ функция не ограничена (нет горизонтальной асимптоты).

В более общем случае мы сравниваем относительные величины (относительные скорости роста): на бесконечности экспонента превосходит любой многочлен, а многочлен превосходит любую логарифмическую функцию. На экзамене вопрос «при $t\to\infty$, какая величина больше/к какому значению сходится скорость?» решается с помощью предела на бесконечности.

Теорема о промежуточных значениях — это теорема существования: она гарантирует наличие значения, но не указывает, где именно оно находится:

Если $f$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, и $d$ — любое число, лежащее между $f(a)$ и $f(b)$, то существует как минимум одно число $c$ в $(a,b)$, для которого выполняется $f(c)=d$.

Непрерывная кривая не может пропустить высоту между своими концами — она должна пройти через каждую из них.

Навык для экзамена – как обосновать применение IVT. Такие вопросы встречаются почти каждый год (например, «Должно ли существовать значение $c$, при котором $R(c)=155$?» или «Есть ли момент времени, когда $r'(t)=-6$?»). Полное обоснование требует трёх шагов:

1. Указать на непрерывность. Сказать, что функция непрерывна на $[a,b]$ (часто потому, что она дифференцируема, или это дано по условию).
2. Показать, что $d$ находится между значениями на концах. Вычислить значения функции на двух концах интервала и показать, что целевое значение $d$ лежит между ними, например: $f(a) < d < f(b)$.
3. Сделать вывод по названию. «Согласно теореме о промежуточных значениях, существует значение $c$ в $(a,b)$, при котором выполняется $f(c)=d$».

Пропуск утверждения о непрерывности или отсутствие доказательства того, что $d$ находится между значениями на концах, приведёт к потере балла – теорема требует выполнения обоих условий.

Разобранный пример. Найти предел $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$. Прямая подстановка даёт $\tfrac{0}{0}$ (неопределённость), поэтому выносим общий множитель за скобки: $\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ для $x\ne 3$. Затем $\lim_{x\to 3}(x+3)=6$. График имеет устранимый разрыв (дырку) в точке $x=3$ — предел существует, хотя функция в этой точке не определена.

• Предел описывает, чему $f(x)$ стремится, что не обязательно равно значению $f(a)$ — двусторонний предел существует только если обе стороны совпадают.
• Сначала попробуйте прямую подстановку; для неопределённости вида $\tfrac00$ разложите на множители и сократите или избавьтесь от иррациональности перед подстановкой.
• Функция непрерывна в точке $a$, если существует предел, значение $f(a)$ определено, и они равны.
• Используйте теорему о промежуточных значениях для гарантии наличия корня: непрерывная функция, меняющая знак на $[a,b]$, принимает все значения между ними.
• Горизонтальные асимптоты определяются по поведению на конце (пределы при $\pm\infty$), а вертикальные асимптоты — там, где знаменатель (а не числитель) обращается в ноль.

Единица 1 построила понятие предела. Единица 2 использует его для определения производной — точной скорости изменения в точке.

На интервале средняя скорость изменения представляет собой разностное отношение. Приводятся две эквивалентные формы:

Первое использует шаг размера $h$ от $a$; второе использует две точки $x$ и $a$. Оба вычисляют $\dfrac{\text{change in output}}{\text{change in input}}$ на интервале.

Мгновенная скорость изменения в точке $x=a$ — это то, к чему стремится разностное отношение при уменьшении интервала до нуля. Этот предел и есть производная в точке $a$, которая записывается как $f'(a)$:

при условии существования этого предела.

Пусть точка $a$ изменяется, тогда производная становится новой функцией:

Это определение производной (иногда называют дифференцированием «по определению»). Её значение в каждой точке $x$ является мгновенной скоростью изменения в этой точке.

Распространённые обозначения для производной функции $y=f(x)$:

Производную можно представлять графически, численно, аналитически и вербально — будьте готовы переходить между этими формами.

Геометрический смысл. Производная в точке — это угловой коэффициент касательной к графику в этой точке. Таким образом, касательная в точке $x=a$ проходит через точку $\big(a, f(a)\big)$ с угловым коэффициентом $f'(a)$:

Запись уравнения этой прямой — стандартная задача на экзамене, поэтому держите формулу прямой с заданным угловым коэффициентом под рукой.

Не всегда доступна формула функции. Когда функция задана таблицей или графиком, оцените производную $f'(a)$ с помощью разностного отношения на малом интервале вокруг точки $a$. Таблица со значениями по обе стороны от $a$ даёт наилучшую оценку:

Технологии (калькулятор) также могут оценить производную в точке.

Навык для экзамена (встречается почти каждый год). Вопросы типа «Оцените $M'(7.5)$, используя среднюю скорость изменения функции $M$ на интервале $5 \le t \le 10$» требуют именно этого разностного отношения. Покажите настройку:

Полный балл требуется подставить числа и указать правильные единицы измерения (выходная единица на входную единицу), так как они берутся из реальных моделей.

Дифференцируемость сильнее, чем непрерывность. Ключевая связь:

Если $f$ дифференцируема в точке, то $f$ непрерывна в этой точке.

Таким образом, дифференцируемость влечет непрерывность. Обратное неверно: непрерывная функция может не быть дифференцируемой. Два способа, когда это происходит:

• Угол: пределы левосторонней и правосторонней разностных отношений расходятся, как у $f(x)=|x|$ в $x=0$.
• Вертикальная касательная: наклон бесконечен (нет действительного числа), как у $f(x)=\sqrt[3]{x}$ в $x=0$.

Кроме того, точка вне области определения $f$ не может находиться в области определения $f'$. Используйте contrapositive на экзамене: если $f$ не непрерывна в $a$, то $f$ не дифференцируема в $a$.

Отныне мы используем правила вместо определения через предел каждый раз. Правило степени обрабатывает любую степень $x$:

Оно работает для целочисленных степеней, отрицательных степеней ($\tfrac{1}{x}=x^{-1}$) и корней ($\sqrt{x}=x^{1/2}$) — сначала перепишите как степень, затем примените правило.

Эти правила позволяют дифференцировать почленно:

• Константа: $\dfrac{d}{dx}\,k = 0$ (константа не меняется).
• Константный множитель: $\dfrac{d}{dx}\big[k\,f(x)\big] = k\,f'(x)$.
• Сумма / разность: $\dfrac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big] = f'(x)\pm g'(x)$.

В сочетании с правилом степени они дифференцируют любой полином почленно. Пример:

Выучите эти четыре базовых производных наизусть:

Обратите внимание на знак минус при производной косинуса и на то, что $e^{x}$ является своей собственной производной.

Предел, который на самом деле является производной (LIM-3.A.1). Иногда предел тайно является определением известной производной. Если вы распознаете

для функции $f$, производную которой вы знаете, просто вычислите $f'(a)$. Например, $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{\sin\!\big(\tfrac{\pi}{2}+h\big)-1}{h} = \left.\frac{d}{dx}\sin x\right|_{x=\pi/2} = \cos\tfrac{\pi}{2} = 0$.

Произведение двух функций не дифференцируется путем умножения их производных. Используйте правило произведения:

"Производная первого умножается на второе плюс первое умножается на производную второго." Пример: Экзаменационные вопросы часто создают новую функцию из заданных частей, например $k'(x) = \big(f(x)\big)^2 g(x)$, и просят объединить правила, считывая значения из таблицы.

Для частного используйте правило частного:

"Нижнее умножить на производную верхнего, минус верхнее умножить на производную нижнего, все делить на квадрат нижнего." Порядок важен из-за знака минус, поэтому пишите числитель внимательно. Пример:

Остальные тригонометрические производные не нужно запоминать отдельно — вы переписываете их с помощью тождеств и применяете правило частного (или произведения). Например, $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, поэтому правило частного дает

Тот же метод (переписывание $\cot x=\tfrac{\cos x}{\sin x}$, $\sec x=\tfrac{1}{\cos x}$, $\csc x=\tfrac{1}{\sin x}$) дает $-\csc^2 x$, $\sec x\tan x$ и $-\csc x\cot x$.

Производные высших порядков. Повторное дифференцирование $f'$ дает вторую производную $f''(x)$ (или $\tfrac{d^2y}{dx^2}$) — скорость изменения скорости изменения. Часть экзамена вроде «Найдите $k''(3)$» означает просто продифференцировать дважды, а затем подставить. Вы также можете оценить вторую производную по таблице, применив метод средней скорости изменения к значениям $f'$.

Разобранный пример. Продифференцируйте $f(x)=x^2\sin x$ с помощью правила произведения $(uv)'=u'v+uv'$: возьмите $u=x^2$ ($u'=2x$) и $v=\sin x$ ($v'=\cos x$), получив $f'(x)=2x\sin x+x^2\cos x$. Всегда сначала читайте структуру — произведение требует правила произведения, а не правила степени, примененного к каждому множителю отдельно.

• Производная — это наклон касательной — предел наклона секущей $\tfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ при $h\to0$.
• Запомните правила: степени, произведения, частного, а также производные от $\sin$, $\cos$, $e^x$ и $\ln x$.
• Дифференцируемость влечет непрерывность, но не наоборот (угол или острая вершина непрерывны, но не дифференцируемы).
• Различайте среднюю скорость изменения (наклон секучей на интервале) и мгновенную скорость (производную в точке).
• Уравнение касательной записывайте в виде $y-f(a)=f'(a)(x-a)$.

Единица 2 дифференцировала одиночные функции. Единица 3 дифференцирует функции, встроенные внутрь других функций. Правило сложной функции дифференцирует составную функцию $f\big(g(x)\big)$:

"Производная внешней функции (оставляя внутреннюю нетронутой), умноженная на производную внутренней." Внутренняя производная $g'(x)$ — та часть, которую студенты забывают, поэтому всегда спрашивайте «что внутри и какова его производная?» Пример:

В нотации Лейбница, с $y=f(u)$ и $u=g(x)$, правило читается как $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ — промежуточный $du$ seemingly «сокращается». Экзаменационные вопросы часто дают таблицу для $f$, $g$, $f'$, $g'$ и просят найти $h'(a)$, где $h(x)=f\big(g(x)\big)$; вычислите $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$, считывая значения.

Разобранный пример. Продифференцируйте $h(x)=(2x^2+1)^5$. Внешняя функция — «(что-то)$^5$», внутренняя — $2x^2+1$:

Некоторые кривые определены неявно — уравнением от $x$ и $y$, которое не разрешено относительно $y$, например $x^2+y^2=25$. Неявное дифференцирование находит $\dfrac{dy}{dx}$ без предварительного решения относительно $y$. Это просто правило сложной функции, рассматривающее $y$ как функцию от $x$.

Метод: продифференцируйте обе части по $x$; каждый раз, когда вы дифференцируете член с $y$, умножайте на $\dfrac{dy}{dx}$ (правило сложной функции); затем алгебраически решите относительно $\dfrac{dy}{dx}$. Для $x^2+y^2=25$:

Разбор примера. Найдите касательную к окружности $x^2+y^2=25$ в точке $(3,4)$. Из вышеизложенного следует, что там $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}=-\dfrac{3}{4}$, поэтому касательная имеет вид

Заметьте, что касательная перпендикулярна радиусу, как и обещает геометрия — это хорошая проверка на здравый смысл.

Экзаменационный навык – «Докажите, что $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$».» Этот точный запрос встречается каждый год (например, «Докажите, что $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$»). Поскольку целевое выражение задано, необходимо показать каждый алгебраический шаг четко: продифференцировать обе стороны, применить правила произведения/цепного правила для смешанных $xy$ членов, собрать все $\dfrac{dy}{dx}$ члены с одной стороны, вынести за скобки и разделить. Правильная финальная строка, пропускающая алгебру, получает мало баллов. В последующих частях просят найти касательную или место, где касательная горизонтальна ($\tfrac{dy}{dx}=0$, поэтому числитель равен $0$) или вертикальна (знаменатель равен $0$).

Если $g$ является обратной функцией для $f$ (так что $f(g(x))=x$), правило цепочки связывает их производные:

Простыми словами: производная обратной функции в точке равна обратной величине производной исходной функции в соответствующей точке. Типичный экзаменационный вариант представляет таблицу и точку $(a,b)$ на графике $f$ (таким образом, точка $(b,a)$ находится на графике $g$), а затем просит найти $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

Разбор примера. Предположим, что $f(2)=5$ и $f'(2)=3$, а $g$ является обратной функцией для $f$. Поскольку точка $(2,5)$ лежит на графике $f$, точка $(5,2)$ лежит на графике $g$, и

Графики $f$ и $g$ являются зеркальным отражением друг друга относительно $y=x$, поэтому их угловые коэффициенты в соответствующих точках являются взаимно обратными величинами.

Та же идея приводит к формулам производных для обратных тригонометрических функций. Три из них, которые нужно знать:

Комбинируйте их с правилом сложной функции, если аргументом является сама функция, например $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

Тема навыков: реальные производные сочетают несколько правил, поэтому сначала прочитайте структуру выражения, двигаясь от внешнего к внутреннему.

• Это сумма? Продифференцируйте каждое слагаемое по отдельности.
• Произведение или частное? Примените соответствующее правило и ожидайте использования правила сложной функции внутри.
• Это композитная (что-то внутри чего-то)? Правило сложной функции.
• Задана неявно? Неявное дифференцирование.

Назовите внешнюю операцию, примените к ней правило и рекурсивно переходите внутрь. Аккуратность предотвращает ошибки со знаками и счетом, за которые снижают баллы.

Дифференцирование $f'$ дает вторую производную $f''$; повторение процесса порождает производные более высоких порядков. Обозначения:

Вторая производная измеряет скорость изменения углового коэффициента; она определяет выпуклость (вогнутость) и ускорение в последующих разделах. Чтобы найти $f''$ неявно, продифференцируйте выражение для $\dfrac{dy}{dx}$ еще раз (используя правила частного и сложной функции), а затем подставьте обратно $\dfrac{dy}{dx}$.

• Используйте правило сложной функции для композитных функций — дифференцируйте внешнюю часть, затем умножьте на производную внутренней (самый часто забываемый множитель).
• Для неявного дифференцирования продифференцируйте обе части по переменной $x$ и присоедините $\tfrac{dy}{dx}$ каждый раз, когда дифференцируется $y$, затем решите полученное уравнение.
• Получите вторую производную, продифференцировав дважды (скорость → ускорение).
• Тщательно комбинируйте правила во вложенных выражениях (сложная функция внутри произведения и т.д.).
• График обратной функции представляет собой отражение графика исходной функции относительно прямой $y=x$; его угловой коэффициент в соответствующей точке является взаимно обратной величиной к угловому коэффициенту исходной функции.

Как только вы научитесь вычислять производные, вы сможете использовать их для описания реального мира. Производная $f'(x)$ является мгновенной скоростью изменения величины $f$ по отношению к её аргументу. Правильное чтение и формулировка этой скорости — оцениваемый навык.

Единицы измерения имеют значение. Единица измерения $f'(x)$ равна единице измерения $f$, деленной на единицу измерения $x$. Если $C(t)$ — это количество акров, а $t$ — недели, то $C'(t)$ выражается в акрах в неделю. На экзамене задание «Используя правильные единицы измерения, интерпретируйте смысл $g'(140)$» требует полного предложения: значение, величину, слово скорости per («в») и момент времени. Например: «$g'(140)=2.3$ означает, что в момент времени $x=140$ величина увеличивается примерно на $2.3$ единиц в единицу $x$.»

Для частицы, движущейся по прямой, три функции времени связаны через дифференцирование:

• положение $s(t)$;
• скорость $v(t)=s'(t)$ – со знаком; знак указывает направление движения;
• ускорение $a(t)=v'(t)=s''(t)$.

Ключевые показания (частые части экзаменационных заданий):

• Частица покоится, когда $v(t)=0$.
• Она движется вправо/вверх, когда $v(t)>0$, и влево/вниз, когда $v(t)<0$; меняет направление в точках, где $v$ меняет знак.
• Скорость — это $|v(t)|$. Скорость увеличивается, когда $v$ и $a$ имеют одинаковый знак (частица ускоряется), и уменьшается, когда они имеют разные знаки.

Разобранное решение. Частица движется со $s(t)=t^3-6t^2+9t$. Тогда $v(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$, поэтому она находится в покое при $t=1$ и $t=3$, меняя направление на каждом из этих точек. При $t=2$ $v(2)=3(1)(-1)=-3<0$ (движение влево) и $a(2)=6(2)-12=0$; сразу после этого $a>0$, пока $v<0$, так что там она замедляется. Внимательно различайте скорость (имеет направление) и модуль скорости (не имеет) — экзамен проверяет именно эту разницу.

Та же идея производной моделирует любую изменяющуюся величину: опустошающийся резервуар, растущую популяцию, остывающую чашку. Когда задача содержит фразу «скорость изменения...», это означает производную. Ознакомьтесь с единицами измерения, чтобы понять, скорость какой именно величины указана, и интерпретируйте результат в контексте задачи.

В задаче о связанных скоростях несколько величин изменяются вместе со временем, вам известны некоторые скорости, но нужно найти другую. Двигатель этой задачи — правило цепочки: дифференцируйте связь по времени $t$. Каждая переменная становится функцией $t$, поэтому каждая производная получает множитель «$\,/\,dt$». Также могут потребоваться правила произведения и частного.

Надежная процедура — и шаблон для получения полного балла на экзамене:

1. Обозначьте переменные и запишите известные скорости и неизвестную скорость (например, «$\dfrac{dh}{dt}=-2$ см/день, найдите $\dfrac{dV}{dt}$»).
2. Запишите уравнение, связывающее величины (часто геометрическая или формула объема).
3. Дифференцируйте обе части по $t$ (правило цепочки) — до подстановки чисел.
4. Подставьте известные значения в интересующий момент и решите относительно неизвестной скорости.
5. Укажите ответ с единицами измерения и правильным знаком (у убывающей величины скорость отрицательна).

Разбор примера. Воздух накачивается в сферический шарик, так что его объем увеличивается со скоростью $\dfrac{dV}{dt}=100\ \text{cm}^3/\text{s}$. С какой скоростью увеличивается радиус, когда $r=5\ \text{cm}$? Начните с формулы $V=\tfrac43\pi r^3$ и продифференцируйте её по переменной $t$ сначала:

Подстановка значения $r=5$ слишком рано — классическая ошибка: сначала продифференцируйте общую зависимость, а затем подставьте значение.

Рядом с точкой касания гладкая кривая выглядит как касательная прямая — это локальная линейность. Так что касательная дает линейное приближение (линеаризацию) функции вблизи этой точки:

Используйте её для оценки значения $f$ в точке $x$, близкой к $a$.

Разбор примера. Оцените значение $\sqrt{4.1}$. Возьмите точку $f(x)=\sqrt{x}$ и значение функции $a=4$: получаем $f(4)=2$ и производную $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, значит $f'(4)=\dfrac14$. Затем вычисляем приближенное значение $L(4.1)=2+\tfrac14(4.1-4)=2.025$ (истинное значение составляет $2.0248\ldots$). Поскольку график функции $\sqrt{x}$ выпуклый вверх, касательная проходит выше кривой, поэтому это несколько завышенная оценка — обоснуйте завышение или занижение, используя знак второй производной $f''$.

Когда прямая подстановка в частное пределов дает неопределенную форму $\dfrac{0}{0}$ или $\dfrac{\infty}{\infty}$, можно воспользоваться правилом Лопиталя:

при условии существования правостороннего предела. Продифференцируйте числитель и знаменатель отдельно (это не правило частного), затем снова попробуйте вычислить предел. Сначала убедитесь, что форма действительно является $\tfrac{0}{0}$ или $\tfrac{\infty}{\infty}$ — применение правила к любой другой форме является ошибкой.

Разбор примера. Вычислите предел $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$. Подстановка дает $\tfrac00$, поэтому продифференцируем числитель и знаменатель: получаем $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos 0=1$ – подтверждая знаменитый предел из раздела 1.

• В задачах движения: скорость есть производная от положения, ускорение — производная от скорости; скорость увеличивается, когда скорость и ускорение имеют одинаковый знак.
• Для связанных скоростей продифференцируйте связывающее уравнение по времени, затем подставьте данные значения последними.
• Используйте касательную прямую для линейного приближения рядом с известной точкой; она точна только в непосредственной близости.
• Чтение знака скорости: положительный означает, что величины изменяются в одном направлении, отрицательный — в противоположном.
• Всегда указывайте единицы измерения и интерпретируйте ответ в контексте.

Дифференцирование находило скорости. Интегрирование выполняет обратную операцию: зная скорость изменения, оно находит накопленное изменение. Ключевая идея: площадь между графиком функции скорости и осью $x$ дает суммарное накопление.

• Если скорость положительна на интервале, накопленное изменение положительно; если отрицательна — отрицательно. Площадь ниже оси считается отрицательной.
• Простые фигуры (треугольники, прямоугольники) можно найти с помощью геометрии.
• Единицы измерения: единица площади равна единице скорости, умноженной на единицу аргумента. Скорость в машинах/час, умноженная на часы, дает машины.

Когда точная площадь难求, приблизьте её с помощью суммы Римана — разбейте интервал на подсегменты и сложите площади прямоугольников (или трапеций). Четыре стандартных оценки:

• Левая сумма Римана — высота прямоугольника берется по левому концу каждого подсегмента.
• Правая сумма Римана — высота по правому концу.
• Средняя сумма Римана — высота по середине отрезка.
• Трапециевидная сумма — среднее двух высот на концах (образует трапецию).

Подсегменты могут быть равными (одинаковая ширина) или неравными — ширину считывайте из таблицы.

Занижение или завышение? Оцените по поведению функции: для возрастающей функции левая сумма дает занижение, а правая — завышение; трапециевидная сумма дает завышение при выпуклости вниз и занижение при выпуклости вверх. В заданиях экзамена требуется указать, какая оценка используется и почему.

Разбор примера. Таблица содержит значения $f(0)=3$, $f(2)=5$, $f(4)=8$, $f(6)=9$. Оцените $\int_0^6 f(x)\,dx$ с помощью правой суммы Римана из трех равных подсегментов ($\Delta x=2$). Используйте правый конец каждой полосы:

Так как $f$ возрастает, эта правая сумма является завышением; левая сумма $2(3+5+8)=32$ была бы занижением.

По мере того как ширины подсегментов стремятся к нулю, сумма Римана стремится к точному значению — определенному интегралу:

Здесь $\Delta x_i$ — ширина $i$-го подсегмента, а $x_i^{*}$ — произвольная точка внутри него. Таким образом, определенный интеграл есть предел суммы Римана, и вы должны уметь переводить одно в другое.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом определяет новую функцию накопления. Фундаментальная теорема исчисления (первая часть) гласит, что дифференцирование отменяет этот процесс накопления: если $f$ непрерывна, то

Таким образом, если $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, то $g'(x)=f(x)$ и $g''(x)=f'(x)$. Это основа очень распространенного типа вопросов «пусть $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$».

Поскольку $g'(x)=f(x)$, всё из Модуля 5 применимо к функции накопления, построенной на основе графика $f$:

• $g$ возрастает там, где $f>0$, и убывает там, где $f<0$;
• $g$ имеет локальный экстремум там, где $f$ пересекает ноль (с изменением знака);
• $g$ выпукло вниз (вогнуто вверх) там, где $f$ возрастает; точки перегиба $g$ возникают там, где $f$ имеет локальный экстремум.

Чтобы получить значение $g$, вычислите алгебраическую площадь: $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, прибавляя площади над осью и вычитая площади под ней.

Эти свойства упрощают вычисления и встречаются постоянно:

Последнее (разбиение в произвольной точке $c$) позволяет собрать полный интеграл из кусков, считанных с графика.

Вторая часть Основной теоремы вычисляет определенный интеграл с помощью первообразной. Если $F'=f$, то

Таким образом: найдите любую первообразную $F$, затем вычтите её значения на двух границах. Именно так вычисляется большинство точных интегралов. Это также дает интерпретацию полного прироста: $\int_a^b g'(t)\,dt = g(b)-g(a)$, поэтому начальное значение плюс накопленное изменение дают более позднее значение, например, $g(5)=g(0)+\int_0^5 g'(t)\,dt$.

Разбор примера. Вычислить $\int_1^3 (2x+1)\,dx$. Первообразная равна $F(x)=x^2+x$, поэтому

Неопределенный интеграл — это семейство всех первообразных, записываемое с константой интегрирования:

Инвертируйте каждое правило дифференцирования, чтобы построить базовые первообразные:

Замена $u$ инвертирует правило сложной функции. Выберите внутреннюю функцию $u=g(x)$, так что $du=g'(x)\,dx$, и перепишите интеграл полностью через $u$:

Ищите функцию и её производную, присутствующие одновременно. Для определенного интеграла либо измените пределы интегрирования на значения $u$, либо вернитесь к $x$ перед подстановкой исходных пределов.

Разбор примера. Вычислить $\int 2x\cos(x^2)\,dx$. Внутренняя функция равна $u=x^2$, чья производная $2x\,dx=du$ присутствует, поэтому

Заметить, что $2x$ в точности равно $\dfrac{du}{dx}$, — это весь секрет приема.

Два алгебраических преобразования позволяют включить больше интегралов в базовые формы: деление уголком, когда степень числителя $\ge$ степени знаменателя рациональной дроби, и выделение полного квадрата, чтобы превратить квадратичный знаменатель в форму, интегрируемую как арктангенс или логарифм.

Навык по теме: сопоставьте интеграл с методом. Сначала попробуйте базовую первообразную; поищите замену $u$ (внутреннюю функцию, чья производная также присутствует); используйте алгебру (деление, выделение полного квадрата, разложение дроби), чтобы привести подынтегральное выражение к стандартному виду. Название структуры сначала предотвращает напрасные усилия.

• Интегрирование — это антидифференцирование; используйте правило степени $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ и не забудьте про $+C$.
• Основная теорема связывает их: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, а также $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
• Приближенно вычислите определенный интеграл с помощью сумм Римана или правила трапеций по таблице значений.
• Определенный интеграл — это алгебраическая площадь (под осью считается отрицательной); разбивайте на участках смены знака для получения полной площади.
• Используйте замену u и помните об изменении пределов (или обратном переходе) соответствующим образом.

Дифференциальное уравнение — это уравнение, связывающее функцию с её собственными производными. Оно описывает ситуацию через её скорость изменения. Например, «скорость изменения величины пропорциональна её размеру» преобразуется в

Умение переводить предложение о скорости в дифференциальное уравнение — первый навык этого раздела.

Решение дифференциального уравнения — это функция, которая делает его верным. Вы можете проверить предполагаемое решение, продифференцировав его и подставив в уравнение: если обе части совпадают, это решение. Обратите внимание, что дифференциальное уравнение обычно имеет бесконечно много решений – целое семейство –, отличающихся константой.

Поле направлений представляет дифференциальное уравнение в виде сетки коротких отрезков: в каждой точке $(x,y)$ отрезок имеет наклон $\dfrac{dy}{dx}$, вычисленный в этой точке. Чтобы нарисовать такое поле, подставьте несколько точек в правую часть и нарисуйте маленький отрезок с этим наклоном в каждой. На рисунке показана форма кривых решения без явного нахождения.

Экзаменационный навык. Типовая задача дает часть поля направлений и просит нарисовать частное решение, проходящее через заданную точку – начните с точки и следуйте отрезкам, оставаясь касательной к ним.

Решения дифференциального уравнения являются функциями или семействами функций. Читая поле направлений, можно судить о поведении: там, где отрезки горизонтальны ($\tfrac{dy}{dx}=0$), решение временно становится плоским; там, где они круче, решение растет или падает быстрее; горизонтальные ряды одинакового наклона указывают, что скорость зависит только от $y$ (или только от $x$).

Многие дифференциальные уравнения на экзаменах решаются методом разделения переменных. Если $\dfrac{dy}{dx}$ можно разложить на произведение функции от $x$ на функцию от $y$, перенесите все $y$ в одну сторону, а все $x$ — в другую, затем проинтегрируйте обе части:

Добавьте константу интегрирования один раз (со стороны $x$). Это дает общее решение.

Разобранное решение. Решите $\dfrac{dy}{dx}=xy$ с начальным условием $y(0)=2$. Разделите переменные и проинтегрируйте:

Подстановка $y(0)=2$ даёт $A=2$, поэтому частное решение имеет вид $y=2e^{x^2/2}$.

Начальное условие — известная точка $(x_0,y_0)$ — определяет одну кривую из семейства. Подставьте её, чтобы найти константу $C$; результат является частным решением. Через заданную точку проходит ровно одно решение. Следите за ограничениями области определения: выбирайте ту ветвь, которая содержит начальную точку (например, правильный знак квадратного корня).