Динамика

Масса

Масса показывает, насколько трудно изменить движение объекта. Чем больше масса, тем большее сила необходима для придания ему определенного ускорения. Масса измеряется в килограммах ($\text{kg}$) и является скаляром.

Импульс

Линейный импульс — это произведение массы на скорость:

Импульс — это вектор; он направлен так же, как и скорость. Его единица измерения — $\text{kg m s}^{-1}$, что равнозначно $\text{N s}$.

Сила как скорость изменения импульса

Второй закон Ньютона в общей форме: равнодействующая сила, действующая на объект, равна скорости изменения его импульса.

Когда масса постоянна, это принимает вид $F = ma$, поскольку $\Delta p = m\,\Delta v$ и $\Delta v / \Delta t = a$. Вопросы Cambridge часто требуют использования формулы $F = \Delta p / \Delta t$ непосредственно для столкновения или импульса: средняя сила равна изменению импульса, деленному на время контакта.

Мяч ударяется о стену с импульсом $p_{1}$ и отскакивает обратно с импульсом $p_{2}$ в противоположном направлении. Изменение импульса составляет $\Delta p = p_{2} - p_{1}$ (присвойте каждому направлению правильный знак). Средняя сила равна $\Delta p / \Delta t$, где $\Delta t$ — время контакта.

Пример решения. Шар массой $0.20\ \text{kg}$ ударяется о стену со скоростью $8.0\ \text{m s}^{-1}$ и отскакивает прямо назад со скоростью $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Время контакта составляет $0.050\ \text{s}$. Найдите среднюю силу, действующую на шар.

Примите направление отскока за положительное, тогда $u = -8.0\ \text{m s}^{-1}$ и $v = +6.0\ \text{m s}^{-1}$:

Когда известен импульс, но не скорость, изменение кинетической энергии равно

Это следует из соотношения $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} m v^{2} = p^{2} / (2m)$.

Графики зависимости импульса от времени

Поскольку $F = \Delta p / \Delta t$, наклон графика зависимости импульса от времени равен равнодействующей силе, так же как наклон графика зависимости скорости от времени равен ускорению. Прямая линия означает постоянную равнодействующую силу; горизонтальная линия означает нулевую равнодействующую силу; нисходящая линия означает силу, действующую против движения.

Разобранный пример. На графике показан импульс мотоцикла. Найдите равнодействующую силу, действующую на него в течение первых $10\ \text{s}$.

Наклон $= \Delta p / \Delta t = 5000 / 10 = 500\ \text{N}$. Между моментами $10\ \text{s}$ и $16\ \text{s}$ импульс постоянен, следовательно, равнодействующая сила равна нулю: движущая сила лишь компенсирует силы сопротивления. С момента $16\ \text{s}$ до $20\ \text{s}$ импульс уменьшается на величину $2000\ \text{kg m s}^{-1}$, поэтому равнодействующая сила равна $-500\ \text{N}$ и направлена назад.

Если в задаче сказано, что скорость меняется, а равнодействующая сила остается постоянной, то эта сила не может быть сопротивлением воздуха: лобовое сопротивление зависит от скорости, поэтому оно менялось бы вместе со скоростью, к тому же сопротивление всегда действует против движения.

Первый закон

Тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действует равнодействующая внешняя сила. Кратко: нулевая равнодействующая сила означает нулевое ускорение.

Второй закон

Равнодействующая сила, действующая на тело, равна скорости изменения его импульса и направлена в ту же сторону, что и это изменение. В единицах СИ:

Ускорение и равнодействующая сила всегда направлены в одну сторону.

Третий закон

Когда тело A действует на тело B, тело B действует на тело A с силой, равной по модулю и противоположной по направлению. Эти две силы:

• действуют на разные тела,
• имеют один тип (обе гравитационные, обе контактные, обе электростатические и т. д.),
• равны по величине и противоположны по направлению.

Частая ловушка: вес блока на столе и нормальная контактная сила со стороны стола не являются парой по третьему закону (они действуют на одно и то же тело и имеют разный тип). Парой к весу блока является притяжение, с которым блок действует на Землю. Парой к контактной силе стола является давление, с которым блок действует на стол.

Чтобы назвать пару по третьему закону, поменяйте местами два тела в предложении. «Заднее колесо велосипеда давит назад на дорогу» соответствует паре «дорога давит вперед на заднее колесо», и именно этот толчок вперед приводит велосипед в движение. «Земля притягивает Луну» соответствует паре «Луна притягивает Землю» с той же величиной силы.

Для ракеты: тяга, действующая на ракету, и сила, действующая на газы, образуют пару по третьему закону (двигатель выталкивает газы вниз, газы выталкивают двигатель вверх). Вес и сопротивление воздуха не входят в эту пару.

Вес — это сила, действующая на тело со стороны гравитационного поля. Вблизи поверхности Земли,

где $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$ — ускорение свободного падения. Вес — векторная величина, направленная к центру Земли. Не путайте его с массой: масса одинакова везде, но вес меняется в зависимости от места.

На Луне $g$ составляет примерно $1.6\ \text{m s}^{-2}$, поэтому масса астронавта не изменяется, но его вес становится примерно в шесть раз меньше, чем на Земле. Когда в тесте с вариантами ответов спрашивается, какое утверждение описывает вес, правильный ответ — тот, где говорится «сила, действующая на тело из-за гравитационного поля», а не «масса, умноженная на ускорение» и не «равнодействующая сила».

Силы трения и сопротивления

Сила трения между двумя твердыми поверхностями действует вдоль поверхности и препятствует скольжению. Вязкое или сопротивление — это сила сопротивления, оказываемая жидкостью (жидкостью или газом) движущемуся через нее объекту; сопротивление воздуха — частный случай для воздуха. Для решения задач не нужно использовать никаких коэффициентов трения или вязкости.

Простая модель: сопротивление увеличивается по мере роста скорости. При нулевой скорости сопротивление равно нулю. Сопротивление также растет с увеличением поперечного сечения объекта и плотности жидкости; парашют работает за счет увеличения площади, а значит, и сопротивления. Все эти силы трения и сопротивления являются силами сопротивления: они действуют против направления движения и преобразуют кинетическую энергию в тепловую.

Объект, падающий в воздухе

Для объекта, брошенного с нуля и падающего в воздухе:

1. Сначала действует только вес, поэтому объект ускоряется вниз с $g$.
2. По мере роста скорости возрастает и向上的ное сопротивление. Равнодействующая сила уменьшается, поэтому ускорение уменьшается.
3. В конце сопротивление становится равным весу. Равнодействующая сила равна нулю, ускорение равно нулю, и скорость остается постоянной — это предельная скорость.

На графике зависимости скорости от времени линия начинается прямолинейно с наклоном $g$, затем изгибается и выравнивается на терминальной скорости. Такая форма (быстрый старт, затем замедление ускорения, затем постоянная скорость) отличает «падение с сопротивлением воздуха» от «свободного падения в вакууме» в однородном гравитационном поле. На графике зависимости ускорения от времени ускорение начинается со значения $g$ и уменьшается, плавно снижаясь до нуля.

Два шара одинакового размера, но разной плотности, имеют разные терминальные скорости: более плотный шар имеет больший вес, поэтому для его уравновешивания требуется большее сопротивление воздуха, которое достигает этого значения только при более высокой скорости. Именно поэтому парашют всё меняет: при раскрытии сопротивление воздуха резко превышает вес, результирующая сила направлена вверх, и прыгун замедляется (ускорение направлено вверх, пока скорость остаётся направленной вниз) до тех пор, пока сопротивление не уменьшится до значения, равного весу, на новой, гораздо меньшей терминальной скорости.

Падение в жидкости: три силы

Шар, падающий через жидкость, испытывает три силы: свою силу тяжести, направленную вниз, выталкивающую силу, направленную вверх, и вязкое сопротивление, направленное вверх. Выталкивающая сила возникает из-за гидростатического давления: давление в жидкости увеличивается с глубиной, поэтому жидкость давит сильнее на нижнюю часть шара, чем на верхнюю, и результирующая этих давлений направлена вверх. Её величина равна весу жидкости, вытесненной шаром, $U = \rho_{\text{liquid}} V g$ (тема 4). Сопротивление растёт вместе со скоростью. Когда вес $=$ выталкивающая сила $+$ сопротивление, результирующая сила равна нулю, и шар падает с постоянной терминальной скоростью. В задании «нарисуйте помеченные стрелки» должны быть изображены именно эти три силы: выталкивающая и сопротивление — вверх, вес — вниз.

Разбор примера. Стальной шар радиуса $2.0\ \text{mm}$ и весом $2.56 \times 10^{-3}\ \text{N}$ падает через масло плотностью $850\ \text{kg m}^{-3}$. Вязкое сопротивление, действующее на него, равно $F = 6\pi \eta r v$, где $\eta$ — это вязкость масла, а $v$ — скорость. (a) Найдите размерности $\eta$ в системе СИ. (b) Докажите, что выталкивающая сила, действующая на шар, равна $2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$. (c) Приняв $\eta = 0.20$ в единицах СИ, найдите терминальную скорость.

(a) $\eta = F / (6\pi r v)$, следовательно, её размерность $\text{N} / (\text{m} \cdot \text{m s}^{-1}) = \text{kg m s}^{-2} / (\text{m}^{2}\ \text{s}^{-1}) = \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-1}$.

(b) $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (2.0 \times 10^{-3})^{3} = 3.35 \times 10^{-8}\ \text{m}^{3}$, значит $U = 850 \times 3.35 \times 10^{-8} \times 9.81 = 2.79 \times 10^{-4}\ \text{N} \approx 2.8 \times 10^{-4}\ \text{N}$.

(c) На терминальной скорости сопротивление $= W - U = 2.56 \times 10^{-3} - 2.8 \times 10^{-4} = 2.28 \times 10^{-3}\ \text{N}$. Следовательно, $v = F / (6\pi \eta r) = 2.28 \times 10^{-3} / (6\pi \times 0.20 \times 2.0 \times 10^{-3}) = 0.30\ \text{m s}^{-1}$.

Энергия при падении с терминальной скоростью

При терминальной скорости парашютист обладает постоянной кинетической энергией. Однако гравитационный потенциал продолжает уменьшаться по мере падения. Куда она уходит? Почти вся она превращается в тепловую энергию окружающего воздуха. Она не становится кинетической энергией парашютиста — она остается постоянной.

Велосипедист или автомобиль с постоянной скоростью

Транспортное средство, движущееся с постоянной скоростью по горизонтальной дороге, имеет нулевую результирующую силу. Передвигающая тяговая сила равна по модулю и противоположна по направлению суммарной сил сопротивления (трения, сопротивления воздуха и качения). При большей скорости сопротивление больше, значит, тяговая сила должна быть также больше — и, следовательно, мощность должна быть выше.

На склоне сила тяжести имеет составляющую вдоль дороги. При подъеме с постоянной скоростью тяговая сила должна уравновешивать силу сопротивления и ту часть веса, которая тянет вниз по склону, $W\sin\theta$; при спуске эта же составляющая помогает движению.

Разбор примера. Автомобиль массой $1500\ \text{kg}$ поднимается по дороге, наклоненной под углом $12°$ к горизонту, с постоянной $30\ \text{m s}^{-1}$. Суммарная сила сопротивления составляет $1600\ \text{N}$. Найдите тяговую силу и полезную выходную мощность двигателя.

Постоянная скорость означает нулевую результирующую силу вдоль склона: $D = 1600 + 1500 \times 9.81 \times \sin 12° = 1600 + 3060 = 4660\ \text{N} \approx 4700\ \text{N}$. Мощность равна произведению силы на скорость (тема 5): $P = Dv = 4660 \times 30 = 1.4 \times 10^{5}\ \text{W}$.

Принцип

Для системы, на которую не действует результирующая внешняя сила, полный импульс остаётся постоянным. Это закон сохранения импульса. Для получения двух баллов ответ должен быть сформулирован так: полный импульс системы тел остаётся постоянным при отсутствии результирующей внешней силы, действующей на систему. Необходимы обе части утверждения: фраза «полный импульс постоянен» сама по себе даёт только один балл.

Это правило выполняется всегда, когда нет внешней результирующей силы — при столкновениях, взрывах и отдаче. В двумерном случае импульс сохраняется вдоль каждого направления отдельно.

Разбор примера. Тележка массой $2.0\ \text{kg}$ и тележка массой $3.0\ \text{kg}$ удерживаются вместе со сжатым пружиной, затем отпускаются из состояния покоя. Тележка массой $2.0\ \text{kg}$ улетает со скоростью $6.0\ \text{m s}^{-1}$. Найдите скорость второй тележки.

Полный импульс остаётся равным нулю (система начинала движение из состояния покоя), поэтому

направлен в противоположную сторону.

Упругие и неупругие столкновения

При любом столкновении импульс сохраняется (при условии отсутствия внешней результирующей силы).

Упругое столкновение — это столкновение, при котором полная кинетическая энергия также сохраняется. Быстрая проверка: при упругом столкновении относительная скорость сближения равна относительной скорости удаления.

При неупругом столкновении импульс сохраняется, но кинетическая энергия уменьшается — часть её переходит в тепловую, звуковую или энергию деформации. Если два тела слипаются после удара, такое столкновение называется абсолютно неупругим.

Решение задач на столкновения (одномерный случай)

Лобовое столкновение: скорости до и после,

Для двух тел массами $m_{1}, m_{2}$ и $u_{1}, u_{2}$, которые сталкиваются лобно, запишите

Используйте знаковые скорости (положительные в выбранном направлении). Если столкновение упругое, добавьте уравнение относительных скоростей

или, что то же самое, $\tfrac{1}{2} m_{1} u_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} u_{2}^{2} = \tfrac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$. Это дает систему из двух уравнений для двух неизвестных.

Разбор примера. Автомобиль массой $1500\ \text{kg}$, движущийся со скоростью $12\ \text{m s}^{-1}$, врезается в неподвижный автомобиль массой $1000\ \text{kg}$, и они сцепляются. Найдите их общую скорость сразу после столкновения.

Импульс сохраняется (машины слипаются, поэтому $v_{1} = v_{2} = v$):

В вопросах часто требуется найти, какая доля кинетической энергии перешла в другие формы. До удара: $E_{\text{k}} = \tfrac{1}{2} \times 1500 \times 12^{2} = 1.08 \times 10^{5}\ \text{J}$. После удара: $\tfrac{1}{2} \times 2500 \times 7.2^{2} = 6.48 \times 10^{4}\ \text{J}$. Следовательно, $4.3 \times 10^{4}\ \text{J}$, что составляет $40\%$ от исходной кинетической энергии, превратилось в тепловую энергию, звук и деформацию автомобилей. Импульс сохранился; кинетическая энергия — нет.

Разбор примера. Неподвижное ядро массой $222\,u$ распадается с испусканием альфа-частицы α массой $4\,u$ со скоростью $1.6 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$. Найдите скорость оставшегося ядра.

До распада суммарный импульс равен нулю, поэтому после распада импульсы двух продуктов равны по модулю и противоположны по направлению: $218\,u \times v = 4\,u \times 1.6 \times 10^{7}$, что дает $v = 2.9 \times 10^{5}\ \text{m s}^{-1}$ в направлении, противоположном альфа-частице. Единица измерения $u$ сокращается, поэтому ее числовое значение никогда не требуется. При распаде сохраняются импульс, заряд (протонное число), нуклонное число и полная масса-энергия (тема 11).

Полезный результат для лобового упругого столкновения массы $m$ с неподвижной массой $M$:

Столкновения в двумерном пространстве

Если тела движутся в двумерном пространстве, разложите скорости на перпендикулярные составляющие и примените закон сохранения импульса для каждого направления отдельно. Для столкновения под углом выберите одну ось вдоль движения первого тела и другую перпендикулярно ей. Суммарный импульс сохраняется вдоль каждой оси.

Разбор примера. На гладкой поверхности шар A имеет импульс $4.0\ \text{N s}$, направленный точно на восток, а шар B имеет импульс $3.0\ \text{N s}$, направленный точно на север. Они сталкиваются и слипаются. Найдите импульс получившегося объединенного объекта.

Импульс сохраняется вдоль каждой оси: $4.0\ \text{N s}$ на восток и $3.0\ \text{N s}$ на север после столкновения, точно так же, как и до него. Полный импульс равен векторной сумме, $\sqrt{4.0^{2} + 3.0^{2}} = 5.0\ \text{N s}$ под углом $\tan^{-1}(3.0 / 4.0) = 37°$ к востоку от направления на север; объединенный объект движется в этом направлении со скоростью $5.0\ \text{N s}$, деленной на общую массу. Диаграмма с двумя векторами импульса в тесте с вариантами ответов спрашивает именно об этом: нужно сложить векторы «конец к началу».

Ракета / выброс массы

Ракета выбрасывает газ со скоростью $u$ (относительно самой ракеты) с расходом массы $\dot m$ (кг в секунду). Она испытывает тягу

которая возникает согласно $F = \Delta p / \Delta t$. Импульс, сообщаемый газу каждую секунду, равен тяге, действующей на ракету (третий закон Ньютона: ракета толкает газ в одну сторону, газ толкает ракету в другую). Двигатель, выбрасывающий $90\ \text{kg}$ газа в секунду со скоростью $190\ \text{m s}^{-1}$, создает тягу $90 \times 190 = 1.7 \times 10^{4}\ \text{N}$.

Разбор примера. Ракета весом $W$ покидает землю с начальным ускорением $a$. Какую тягу развивает ее двигатель?

Примем направление вверх за положительное. Результирующая сила равна тяге минус вес, то есть $T - W = ma$. Учитывая $m = W / g$, получаем $T = W + Wa / g = W(1 + a / g)$. Ракете весом $2.0 \times 10^{6}\ \text{N}$, разгоняющейся с ускорением $4.0\ \text{m s}^{-2}$, необходима тяга $2.0 \times 10^{6} \times (1 + 4.0 / 9.81) = 2.8 \times 10^{6}\ \text{N}$. Тяга должна превышать вес еще до того, как ракета начнет двигаться.

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• Второй закон Ньютона гласит $F = \Delta p / \Delta t$ (скорость изменения импульса); $F = ma$ — частный случай для постоянной массы.
• Правильно определяйте пары по третьему закону: это силы одного типа, действующие на два разных тела, а не скомпенсированные силы, действующие на одно тело.
• Импульс сохраняется при любом столкновении; кинетическая энергия сохраняется только при упругом столкновении.
• Для конечной скорости объясните, что сопротивление растет вместе со скоростью, пока сопротивление $=$ весу тела, после чего ускорение становится равным нулю.

Распространенные ошибки

• Избегайте фраз «силы скомпенсированы» или «силы взаимно уничтожаются». Пишите: «равнодействующая сила, действующая на тело, равна нулю».
• Ошибка: суммирование скоростей при лобовом столкновении, потому что импульс «суммарный». Выберите положительное направление, придайте противолежащей скорости знак минус, затем сложите.
• Ошибка: расчет кинетической энергии по компоненте скорости. Кинетическая энергия рассчитывается по полному модулю скорости каждого тела.
• Называние веса и силы нормальной реакции опоры на один объект парой по третьему закону Ньютона. Пара действует на два различных объекта и представляет собой один тип силы.
• Ошибка: утверждение закона сохранения импульса без условия. Он выполняется только тогда, когда на систему не действует внешняя равнодействующая сила.