Наденьте наушники с активным шумоподавлением, и гул двигателя самолёма затихнет до тишины. Но вот странная деталь: они не блокируют звук, а…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
8.1
Principle of superposition · Принцип суперпозиции
Syllabus · Программа
English
explain and use the principle of superposition
show an understanding of experiments that demonstrate stationary waves using microwaves, stretched strings and air columns (it will be assumed that end corrections are negligible; knowledge of the concept of end corrections is not required)
explain the formation of a stationary wave using a graphical method, and identify nodes and antinodes
understand how wavelength may be determined from the positions of nodes or antinodes of a stationary wave
Русский
объяснять и использовать принцип суперпозиции
демонстрировать понимание экспериментов, иллюстрирующих стоячие волны с использованием микроволн, натянутых струн и воздушных столбов (предполагается, что поправками на конец можно пренебречь; знание концепции поправок на конец не требуется)
объяснять образование стоячей волны графическим методом и определять узлы и пучности
понимать, как может быть определена длина волны по положениям узлов или пучностей стоячей волны
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Two waves make a standing wave
When two or more waves 波 overlap at a point, the displacement 位移 there is the vector sum 矢量和 of the displacements each wave would make on its own. This is the principle of superposition 叠加.
The waves pass through each other and come out unchanged. Superposition is the base of everything in this topic.
For the two-mark statement: when two or more waves meet at a point, the resultant displacement is the sum of the displacements of the individual waves. It is the displacements that add, not the amplitudes or the intensities, and the principle applies whenever waves of the same type overlap; the waves do not have to be coherent or of equal amplitude.
If two waves of amplitude 振幅$A_{1}$ and $A_{2}$ meet:
in phase 同相 (crest 波峰 meets crest): the amplitude is $A_{1} + A_{2}$ (constructive interference 相长干涉).
exactly out of phase (crest meets trough 波谷, phase difference 相位差$\pi$): the amplitude is $|A_{1} - A_{2}|$ (destructive interference 相消干涉).
any other phase difference $\phi$: the amplitude is somewhere between these two.
For intensity 强度, $I \propto A^{2}$. Two equal waves meeting in phase give intensity $(2A)^{2} = 4A^{2}$ — four times the intensity of one wave alone.
Because $I \propto A^{2}$, work in amplitudes first. Two waves of intensities $I$ and $4I$ have amplitudes $A$ and $2A$: superposing in phase gives amplitude $3A$ and intensity $9I$, in antiphase amplitude $A$ and intensity $I$. So two coherent waves of different intensities never cancel completely: the minima have intensity $(A_{2} - A_{1})^{2}$, not zero. A wave of amplitude $2A$ meeting one of amplitude $A/2$ travelling the opposite way gives a resultant that varies between $2.5A$ and $1.5A$, a stationary pattern with no true nodes. Doubling the amplitude of one of two equal waves that meet in phase takes the resultant from $2A$ to $3A$, so the intensity rises from $4A^{2}$ to $9A^{2}$: $2.25$ times.
Русский
Две волны образуют стоячую волну
Когда две или более волн накладываются в точке, смещение в этой точке представляет собой векторную сумму смещений, которые каждая волна вызвала бы независимо. Это называется принципом суперпозиции.
Волны проходят друг сквозь друга и выходят неизменными. Суперпозиция является основой всего в этой теме.
Для утверждения на два балла: когда две или более волн встречаются в точке, результирующее смещение равно сумме смещений отдельных волн. Складываются именно смещения, а не амплитуды или интенсивности, и принцип применяется whenever волны одного типа накладываются; волны не обязательно должны быть когерентными или иметь одинаковую амплитуду.
Если две волны с амплитудой$A_{1}$ и $A_{2}$ встречаются:
в фазе (гребень встречается с гребнем): амплитуда равна $A_{1} + A_{2}$ (конструктивная интерференция).
точно вне фазы (гребень встречается с впадиной, разность фаз$\pi$): амплитуда равна $|A_{1} - A_{2}|$ (деструктивная интерференция).
любая другая разность фаз $\phi$: амплитуда находится где-то между этими двумя значениями.
Две волны, приходящие в фазе, складываются, давая удвоенную амплитуду (конструктивная)Две волны, приходящие ровно вне фазы, гасят друг друга до нуля (деструктивная)
Для интенсивности: $I \propto A^{2}$. Две равные волны, встречающиеся в фазе, дают интенсивность $(2A)^{2} = 4A^{2}$ — в четыре раза больше интенсивности одной отдельной волны.
Поскольку $I \propto A^{2}$, сначала работаем с амплитудами. Две волны интенсивностями $I$ и $4I$ имеют амплитуды $A$ и $2A$: при наложении в фазе амплитуда равна $3A$, а интенсивность — $9I$; при наложении в противофазе амплитуда равна $A$, а интенсивность — $I$. Следовательно, две когерентные волны разной интенсивности никогда не гасят друг друга полностью: минимумы имеют интенсивность $(A_{2} - A_{1})^{2}$, а не ноль. Волна с амплитудой $2A$, встречаясь с волной с амплитудой $A/2$, движущейся в противоположном направлении, образует результирующую волну, колеблющуюся между значениями $2.5A$ и $1.5A$, создавая стоячую картину без истинных узлов. Удвоение амплитуды одной из двух одинаковых волн, наложенных в фазе, меняет результирующую с $2A$ до $3A$, поэтому интенсивность возрастает с $4A^{2}$ до $9A^{2}$: в $2.25$ раз.
Explore · Исследовать
Adding two waves · Сложение двух волн
Two waves overlap and add. Line them up for constructive interference, or oppose them for destructive — change the phase to see both. · Две волны накладываются и складываются. Выровняйте их для конструктивной интерференции или противопоставьте для деструктивной — измените фазу, чтобы увидеть оба эффекта.
When two identical progressive waves 行波 travel in opposite directions and overlap, they make a stationary wave 驻波. Examples: a wave on a string reflected 反射 from a fixed end overlapping the incoming wave; sound in an air column reflected from a closed end; microwaves between an emitter and a metal sheet.
Explain how the stationary wave is formed (three or four marks, asked for a string, an air column and microwaves alike): the wave from the source travels to the far end (the wall, the closed end, the metal plate) and is reflected; the incident and reflected waves have the same frequency, wavelength and speed and travel in opposite directions; they superpose where they overlap; at the points where they always meet in phase the displacements add to give the maximum amplitude, an antinode, and at the points where they always meet in antiphase they cancel, a node. For "state the conditions": two waves of the same type, with the same frequency (and wavelength) and speed, travelling in opposite directions along the same line; equal amplitudes are needed only for the nodes to have zero amplitude. The metal plate in the microwave experiment is there to reflect the waves back along their own path.
Nodes and antinodes
In a stationary wave:
node 波节 — a point that is always at zero displacement (the two waves always cancel). The distance between next-door nodes is $\lambda/2$.
antinode 波腹 — a point of largest amplitude (the two waves always add). The distance between next-door antinodes is $\lambda/2$.
a node and the next antinode are $\lambda/4$ apart.
Particles between two nodes oscillate in phase with each other, but with different amplitudes (largest at the antinode, zero at the nodes). Particles on opposite sides of a node oscillate in antiphase 反相 (phase difference $\pi$).
So the phase difference between two points on the same loop (between adjacent nodes) is $0°$; between points on neighbouring loops it is $180°$; and between points on loops separated by one whole loop it is $0°$ again. Every point reaches its maximum displacement at the same instant and passes through zero at the same instant. A sketch of the string a quarter of a cycle after the instant of maximum displacement is a straight line along the rest position; half a cycle later it is the mirror image of the first sketch. In one period a particle at an antinode travels four amplitudes, so a particle that moves $72\ \text{mm}$ in one and a half periods has an amplitude of $12\ \text{mm}$.
Worked example. A string of length $0.80\ \text{m}$ is fixed at both ends and vibrates in its fundamental mode, where the wave speed is $240\ \text{m s}^{-1}$. Find the fundamental frequency.
One loop fits the string, so $\lambda = 2L = 1.60\ \text{m}$. Then
How a stationary wave differs from a progressive wave: it does not carry energy 能量 along its length, the pattern does not move along, and the nodes stay fixed; a progressive wave has the same amplitude everywhere and carries energy. The three differences the scheme lists: a progressive wave transfers energy and a stationary wave does not; in a progressive wave every point has the same amplitude, in a stationary wave the amplitude varies from zero at a node to a maximum at an antinode; in a progressive wave neighbouring points differ in phase, in a stationary wave all the points between two nodes are in phase.
Measuring wavelength from node spacing
Drive a string with a vibrator at frequency $f$ until a stationary pattern appears. Measure the distance between two well-separated nodes and divide by the number of half-wavelengths 波长 between them. Then $\lambda$ is known, and $v = f\lambda$ gives the wave speed.
For a tube closed at one end and open at the other (a resonance tube 共鸣管), the closed end is a displacement node and the open end is a displacement antinode. The fundamental 基频 has $L = \lambda/4$; the next resonance is at $L = 3\lambda/4$; and so on. For a tube open at both ends, both ends are antinodes; the fundamental is at $L = \lambda/2$.
The general rule: a closed end is a node and an open end an antinode, and a string fixed at both ends has a node at each end. So a closed pipe fits an odd number of quarter-wavelengths ($L = \lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, \ldots$), while an open pipe and a fixed string fit whole half-wavelengths ($L = \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2, \ldots$); a pipe open at both ends with $n$ nodes has $n + 1$ antinodes. Frequencies follow from $f = v/\lambda$: a closed pipe whose lowest note is $820\ \text{Hz}$ has $\lambda = 4L$, and a corridor $13.2\ \text{m}$ long with a reflecting door at each end resonates lowest at $f = v/2L = 330/26.4 = 12.5\ \text{Hz}$.
Worked example. A loudspeaker at the open end of a tube $0.51\ \text{m}$ long, closed at the other end, sets up a stationary wave with two nodes and two antinodes. Find the wavelength and, with $v = 340\ \text{m s}^{-1}$, the frequency.
Two nodes and two antinodes is the second mode of a closed pipe, $L = 3\lambda/4$, so $\lambda = 4 \times 0.51 / 3 = 0.68\ \text{m}$ and $f = 340 / 0.68 = 500\ \text{Hz}$. The longest wavelength that can resonate in this tube is $4L = 2.0\ \text{m}$.
The experiments the syllabus names all measure $\lambda$ from node or antinode spacing. In the resonance tube, a tube is raised out of water while a loudspeaker or tuning fork sounds at its open end; the sound is suddenly loud at the first resonance, when the air column is $\lambda/4$ long, and again at $3\lambda/4$, so the tube moves $\lambda/2$ between the two (a student needs no equipment to detect the resonance: the note becomes loud). In a dust tube, fine powder settles into heaps at the displacement nodes, $\lambda/2$ apart. With microwaves, a receiver moved along the line between the transmitter and a metal reflecting plate reads a minimum every $\lambda/2$: a receiver that starts at a minimum and passes six more minima in $1.05\ \text{m}$ has crossed $3\lambda$, so $\lambda = 0.35\ \text{m}$ and, with $v = 340\ \text{m s}^{-1}$ for the equivalent sound experiment, $f = 970\ \text{Hz}$. A stationary wave in a microwave oven melts chocolate at the antinodes, $\lambda/2$ apart, so the spot spacing and the oven's frequency ($2.45\ \text{GHz}$) give the speed of light from $c = f\lambda$.
Русский
Когда две одинаковые бегущие волны распространяются в противоположных направлениях и перекрываются, они образуют стоячую волну. Примеры: волна на струне, отражённая от закреплённого конца, перекрывающаяся с Serif wave; звук в воздушном столбе, отражённый от закрытого конца; микроволны между излучателем и металлическим листом.
Объясните, как образуется стоячая волна (три или четыре балла, спрашивается для струны, воздушного столба и микроволн аналогично): волна от источника движется к дальнему концу (стена, закрытый конец, металлическая пластина) и отражается; падающая и отражённая волны имеют одинаковую частоту, длину волны и скорость и распространяются в противоположных направлениях; они суперпозиционируются там, где перекрываются; в точках, где они всегда встречаются в фазе, смещения складываются, давая максимальную амплитуду — пучность (антинод), а в точках, где они всегда встречаются в противофазе, они гасят друг друга, образуя узел. Для «перечисления условий»: две волны одного типа, с одинаковой частотой (и длиной волны) и скоростью, распространяющиеся в противоположных направлениях вдоль одной прямой; одинаковые амплитуды нужны только для того, чтобы узлы имели нулевую амплитуду. Металлическая пластина в опыте с микроволнами служит для отражения волн обратно по тому же пути.
Стоячая волна образуется там, где перекрываются две встречные волны (N обозначает узел, A — пучность)
Узлы и пучности
В стоячей волне:
узел — точка, которая всегда находится в положении равновесия (нулевое смещение) (две волны всегда гасят друг друга). Расстояние между соседними узлами равно $\lambda/2$.
пучность — точка максимальной амплитуды (две волны всегда складываются). Расстояние между соседними пучностями равно $\lambda/2$.
узел и следующая за ним пучность находятся на расстоянии $\lambda/4$ друг от друга.
Частицы между двумя узлами колеблются в фазе друг с другом, но с разной амплитудой (максимальная у пучности, нулевая у узлов). Частицы по разные стороны от узла колеблются в противофазе (разность фаз $\pi$).
Таким образом, разность фаз между двумя точками на одном петле (между соседними узлами) составляет $0°$; между точками на соседних петлях — $180°$; а между точками на петлях, разделённых одной целой петлёй, снова $0°$. Каждая точка достигает своего максимального смещения одновременно и проходит через ноль одновременно. Эскиз струны через четверть цикла после момента максимального смещения представляет собой прямую линию вдоль положения равновесия; через полцикла он является зеркальным отражением первого эскиза. За один период частица на пучности проходит расстояние, равное четырём амплитудам, поэтому частица, которая движется на расстояние $72\ \text{mm}$ за полтора периода, имеет амплитуду $12\ \text{mm}$.
Основной режим на натянутой струне — одна петля, где L равно половине длины волны
Разобранный пример. Струна длиной $0.80\ \text{m}$ закреплена с обоих концов и вибрирует в основном режиме, при котором скорость волны равна $240\ \text{m s}^{-1}$. Найдите основную частоту.
Одна петля помещается на струне, поэтому $\lambda = 2L = 1.60\ \text{m}$. Затем
Как стоячая волна отличается от бегущей: она не переносит энергию вдоль своей длины, картина не движется вдоль, а узлы остаются неподвижными; бегущая волна имеет одинаковую амплитуду везде и переносит энергию. Три различия, перечисленные в программе: бегущая волна переносит энергию, а стоячая нет; в бегущей волне каждая точка имеет одинаковую амплитуду, в стоячей волне амплитуда изменяется от нуля в узле до максимума в пучности; в бегущей волне соседние точки отличаются по фазе, в стоячей волне все точки между двумя узлами находятся в фазе.
Измерение длины волны по расстоянию между узлами
Заставьте струну колебаться с помощью вибратора на частоте $f$, пока не появится стоячая картина. Измерьте расстояние между двумя хорошо отделёнными узлами и разделите на количество половин длины волны между ними. Тогда $\lambda$ известно, и $v = f\lambda$ даёт скорость волны.
Для трубы, закрытой с одного конца и открытой с другого (резонаторная труба), закрытый конец является узлом смещения, а открытый конец — пучностью смещения. Основная гармония имеет $L = \lambda/4$; следующий резонанс наблюдается при $L = 3\lambda/4$; и так далее. Для трубы, открытой с обоих концов, оба конца являются пучностями; основная гармония соответствует $L = \lambda/2$.
Общее правило: закрытый конец — узел, открытый — пучность, а струна, закрепленная с обоих концов, имеет узел на каждом конце. Следовательно, закрытая труба вмещает нечетное число четвертей длины волны ($L = \lambda/4, 3\lambda/4, 5\lambda/4, \ldots$), тогда как открытая труба и закрепленная струна вмещают целые половины длины волны ($L = \lambda/2, \lambda, 3\lambda/2, \ldots$); труба, открытая с обоих концов, с $n$ узлами имеет $n + 1$ пучности. Частоты выводятся из $f = v/\lambda$: у закрытой трубы, чья низшая нота $820\ \text{Hz}$, частота составляет $\lambda = 4L$, а коридор длиной $13.2\ \text{m}$ с отражающими дверями на обоих концах резонирует с минимальной частотой $f = v/2L = 330/26.4 = 12.5\ \text{Hz}$.
Моды воздушного столба: закрытый конец — это узел, открытый конец — пучность
Разобранный пример. Динамик на открытом конце трубы $0.51\ \text{m}$ длиной, закрытой с другого конца, создаёт стоячую волну с двумя узлами и двумя пучностями. Найдите длину волны и, зная $v = 340\ \text{m s}^{-1}$, частоту.
Два узла и две пучности — это вторая мода трубы с закрытым концом, $L = 3\lambda/4$, поэтому $\lambda = 4 \times 0.51 / 3 = 0.68\ \text{m}$ и $f = 340 / 0.68 = 500\ \text{Hz}$. Самая длинная длина волны, способная резонировать в этой трубе, равна $4L = 2.0\ \text{m}$.
Все опыты, указанные в программе, измеряют $\lambda$ по расстоянию между узлами или пучностями. В резонаторной трубке трубку поднимают над водой, пока динамик или камертон издают звук на её открытом конце; звук резко усиливается при первом резонансе, когда длина воздушного столба составляет $\lambda/4$, и снова при $3\lambda/4$, так что трубка перемещается на $\lambda/2$ между этими точками (студенту не нужно оборудование для обнаружения резонанса: нота становится громкой). В пылевой трубке мелкий порошок оседает в кучки в узлах смещения, расположенных через $\lambda/2$ друг от друга. С помощью микроволн приёмник, движущийся вдоль линии между передатчиком и металлической отражающей пластиной, регистрирует минимум каждые $\lambda/2$: приёмник, начинающий движение с минимума и проходящий шесть дополнительных минимумов за время $1.05\ \text{m}$, пересекает $3\lambda$, следовательно, $\lambda = 0.35\ \text{m}$ и, используя $v = 340\ \text{m s}^{-1}$ для эквивалентного опыта со звуком, получаем $f = 970\ \text{Hz}$. Стоячая волна в микроволновой печи плавит шоколад в пучностях, расположенных через $\lambda/2$ друг от друга, поэтому расстояние между пятнами и частота печи ($2.45\ \text{GHz}$) позволяют вычислить скорость света из выражения $c = f\lambda$.
Основная мода в трубе с закрытым концом — узел на закрытом конце, пучность на открытом конце
Explore · Исследовать
Standing waves & harmonics · Стоячие волны и гармоники
A string fixed at both ends only resonates at its harmonics. Drag n to see the nodes, antinodes and how the wavelength changes. · Струна, закрепленная с обоих концов, резонирует только на гармониках. Перетащите n, чтобы увидеть узлы, пучности и изменение длины волны.
Explore · Исследовать
Stationary waves · Стоячие волны
y = y₁ + y₂
Two waves superpose: where they reinforce you get antinodes, where they cancel, nodes. · Две волны 叠加 (叠加): там, где они усиливают друг друга, образуются пучности, где гасят — узлы.
show an understanding of experiments that demonstrate diffraction including the qualitative effect of the gap width relative to the wavelength of the wave; for example diffraction of water waves in a ripple tank
Русский
объяснять значение термина дифракция
демонстрировать понимание экспериментов, иллюстрирующих дифракцию, включая качественное влияние ширины щели относительно длины волны; например, дифракция водных волн в волновой ванне
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Diffraction 衍射 is the spreading of a wave after it passes through a gap or around an obstacle 障碍物. All waves diffract — water, sound, light, microwaves.
For the two-mark "state what is meant by diffraction": the spreading of a wave as it passes through a gap (an aperture) or around the edge of an obstacle, into the region behind it. Diffraction changes the direction the wave travels in, but not its speed, frequency or wavelength.
The amount of spreading depends on the ratio of wavelength to gap width:
gap much wider than $\lambda$: very little spreading; the wave goes nearly straight through.
gap about the size of$\lambda$: a lot of spreading; the wave fans out.
gap smaller than$\lambda$: very strong spreading; the gap acts almost like a point source.
Show this with water waves in a ripple tank 水波槽: straight waves meet a barrier with a gap, and the waves curve more as the gap is made narrower. The same idea is why you can hear someone around a corner (speech has $\lambda$ near 1 m, close to the gap size) but cannot see them (visible light has $\lambda \sim 500\ \text{nm}$, far smaller than the gap).
For the strongest spreading the gap should be about one wavelength wide. So to increase the diffraction of a given wave, make the gap narrower; for a given gap, use a longer wavelength, which means a lower frequency. Radio waves of wavelength $1.5\ \text{km}$ diffract around a mountain and reach an aerial behind it; microwaves of $1.5\ \text{cm}$ do not. Sound of $0.44\ \text{kHz}$ in air has $\lambda = 330 / 440 = 0.75\ \text{m}$, so features of about $0.75\ \text{m}$ diffract it most, and of the sounds passing through a doorway $0.80\ \text{m}$ wide the low frequencies spread out most. Making the gap many wavelengths wide, or raising the frequency, reduces the spreading.
Русский
Дифракция — это распространение волны после прохождения через щель или вокруг препятствия. Все волны дифрагируют — вода, звук, свет, микроволны.
Для вопроса на два балла «объясните, что понимается под дифракцией»: распространение волны при прохождении через щель (апертуру) или вокруг края препятствия в область позади него. Дифракция изменяет направление распространения волны, но не её скорость, частоту или длину волны.
Степень распространения зависит от отношения длины волны к ширине щели:
щель намного шире, чем $\lambda$: очень слабое распространение; волна проходит почти прямо.
щель примерно размером с$\lambda$: сильное распространение; волна расходится веером.
щель меньше, чем $\lambda$: очень сильное распространение; щель ведёт себя почти как точечный источник.
Продемонстрируйте это на волнах в воде в волновом бассейне: прямые волны сталкиваются с барьером со щелью, и волны изгибаются сильнее по мере того, как щель становится уже. Та же причина объясняет, почему мы слышим кого-то за поворотом (речь имеет $\lambda$ около 1 м, близко к размеру щели), но не видим их (видимый свет имеет $\lambda \sim 500\ \text{nm}$, намного меньше размера щели).
Для максимального распространения ширина щели должна составлять примерно одну длину волны. Таким образом, чтобы увеличить дифракцию данной волны, сделайте щель уже; для данной щели используйте более длинную волну, что означает более низкую частоту. Радиоволны длиной $1.5\ \text{km}$ дифрагируют вокруг горы и достигают антенны за ней; микроволны длиной $1.5\ \text{cm}$ — нет. Звук частотой $0.44\ \text{kHz}$ в воздухе имеет длину волны $\lambda = 330 / 440 = 0.75\ \text{m}$, поэтому объекты размером около $0.75\ \text{m}$ дифрагируют его наиболее эффективно, а среди звуков, проходящих через дверной проём шириной $0.80\ \text{m}$, наиболее сильно расходятся низкие частоты. Увеличение ширины щели до многих длин волн или повышение частоты уменьшают дифракцию.
Дифракция в волновом резервуаре — широкая щель (a) мало рассеивает волны, узкая щель (b) значительно больше
Explore · Исследовать
Waves adding and cancelling · Сложение и взаимное гашение волн
Two overlapping waves add where they are in phase and cancel where out of phase — change the phase to see the result. This is what makes diffraction patterns. · Две накладывающиеся волны складываются там, где они в фазе, и гасят друг друга там, где не в фазе — измените фазу, чтобы увидеть результат. Именно так образуются дифракционные картины.
show an understanding of experiments that demonstrate two-source interference using water waves in a ripple tank, sound, light and microwaves
understand the conditions required if two-source interference fringes are to be observed
recall and use $\lambda = ax / D$ for double-slit interference using light
Русский
понимать термины интерференция и когерентность
демонстрировать понимание экспериментов, иллюстрирующих двухисточниковую интерференцию с использованием водных волн в волновой ванне, звука, света и микроволн
понимать условия, необходимые для наблюдения интерференционных полос двухисточниковой интерференции
вспоминать и использовать $\lambda = ax / D$ для двойной щелевой интерференции с использованием света
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Two-slit interference
Interference 干涉 is the superposition of two coherent 相干 waves to give a steady pattern of high-amplitude regions (constructive) and low-amplitude regions (destructive).
Coherence
Two sources are coherent when they emit waves with a constant phase difference (which also needs the same frequency). Two separate lamps are not coherent — their phase changes randomly, so any pattern flickers too fast to see and you get only an average.
The one-mark definition: coherent waves have a constant phase difference, which requires the same frequency. They need not be in phase with each other: two coherent sources emitting $180°$ apart give a pattern whose central line is a minimum. Two separate lasers, or a lamp and a laser, are not coherent even when their frequencies happen to match, so no steady pattern forms.
To make coherent light from one source, pass it through two slits 狭缝 in a double-slit 双缝 setup. Both slits are lit by the same wavefront, so the two beams keep a fixed phase relationship.
Conditions for a clear pattern
To see two-source fringes you need:
two coherent sources (constant phase difference).
roughly equal amplitudes (or the dark regions are not very dark).
the waves overlap where you look.
for light (a transverse wave), the same plane of polarisation 偏振.
In practice, for light: a single slit (or a laser) makes the two slits coherent; the slits are narrow, so each diffracts the light into the region where the two beams overlap; and the slits are close together with the screen far away, so that the fringes are wide enough to see.
Path difference
For two coherent sources, what happens at a point depends on the path difference 路程差$\Delta x$ between the two waves arriving there:
destructive: $\Delta x = (n + \tfrac{1}{2})\lambda$.
The path difference fixes the phase difference: one wavelength of path is $360°$. Waves that have travelled $100\ \text{cm}$ and $80\ \text{cm}$ from two in-phase sources of wavelength $8.0\ \text{cm}$ arrive with a path difference of $2.5\lambda$, a phase difference of $180°$, and cancel; microwaves of wavelength $4\ \text{cm}$ whose paths differ by $6\ \text{cm}$ ($1.5\lambda$) give a minimum, of zero intensity only if the two amplitudes are equal. Lowering both source frequencies equally lengthens the wavelength, so the same path difference is a smaller number of wavelengths and the point is no longer a minimum.
Double-slit (Young's) experiment
For two slits a distance $a$ apart, with a screen a distance $D$ away (assume $D \gg a$), light of wavelength $\lambda$ makes fringes on the screen.
The fringe spacing 条纹间距$x$ (one fringe 条纹 to the next) is
$$\lambda = \frac{a x}{D}, \qquad x = \frac{\lambda D}{a}.$$
Bright fringes (maximum 极大) are where the path difference is a whole number of $\lambda$; dark fringes (minimum 极小) where it is $(n + \tfrac{1}{2})\lambda$. The fringes are equally spaced.
To make the fringe spacing smaller: increase $a$ (slits further apart), reduce $D$ (screen closer), or use a shorter $\lambda$ (bluer light).
Explain how the pattern of bright and dark fringes is formed (three marks): the light diffracts at each slit; the two diffracted beams overlap and superpose; where the path difference from the two slits is a whole number of wavelengths the waves arrive in phase and interfere constructively, giving a bright fringe, and where it is an odd number of half-wavelengths they arrive in antiphase and interfere destructively, giving a dark fringe. A brighter source makes the bright fringes brighter but does not change their spacing; changing to blue light makes the spacing smaller, so to keep the same spacing the slits must be moved closer together; making each slit narrower increases the diffraction, so fringes appear across a wider region, with the spacing unchanged.
Worked example. In a double-slit experiment the slits are $0.50\ \text{mm}$ apart and lit by light of wavelength $600\ \text{nm}$. The screen is $2.0\ \text{m}$ away. Find the fringe spacing.
Worked example. Red light of wavelength $680\ \text{nm}$ falls on slits $0.16\ \text{mm}$ apart. The distance between the centres of the first and ninth dark fringes is $3.2\ \text{cm}$. Find the distance $D$ to the screen.
Eight fringe spacings make $3.2\ \text{cm}$, so $x = 4.0\ \text{mm}$ and $D = ax / \lambda = (0.16 \times 10^{-3})(4.0 \times 10^{-3}) / (680 \times 10^{-9}) = 0.94\ \text{m}$. On a screen $5.0\ \text{cm}$ wide centred on the pattern, with $x = 2.4\ \text{mm}$, ten bright fringes fit on each side of the central one: $21$ in all. A graph of $x$ against $a$ is a curve falling as $1/a$; a graph of $x$ against $\lambda$ (or against $D$) is a straight line through the origin with gradient $D/a$ (or $\lambda/a$), from which $a$ can be found.
Русский
Интерференция на двух щеляхИзменяющиеся цвета на мыльном пузыре обусловлены интерференцией света.
Интерференция — это суперпозиция двух когерентных волн, дающих устойчивый рисунок областей с большой амплитудой (конструктивная) и малой амплитудой (деструктивная).
Два когерентных источника дают линии максимального смещения там, где гребни встречаются с гребнямиТот же эффект в реальном волновом бассейне — два когерентных источника дают устойчивый интерференционный рисунок
Когерентность
Два источника называются когерентными, если они излучают волны с постоянной разностью фаз (что также требует одинаковой частоты). Два отдельных лампы не являются когерентными — их фаза меняется случайно, поэтому любой рисунок мерцает слишком быстро, чтобы его увидеть, и вы наблюдаете только усреднённое значение.
Определение на один балл: когерентные волны имеют постоянную разность фаз, что требует одинаковой частоты. Они не обязательно должны быть в одной фазе друг с другом: два когерентных источника, излучающих со сдвигом $180°$, дают картину, у которой центральная линия является минимумом. Два отдельных лазера или лампа и лазер не являются когерентными даже тогда, когда их частоты случайно совпадают, поэтому устойчивая картина не формируется.
Чтобы получить когерентный свет от одного источника, пропустите его через две щели в установке для двойной щели. Обе щели освещаются одним волновым фронтом, поэтому два луча сохраняют фиксированную фазовую связь.
Условия получения четкой картины
Для наблюдения полос двухисточниковой интерференции необходимо:
два когерентных источника (постоянная разность фаз).
примерно равные амплитуды (иначе темные области не будут достаточно темными).
волны перекрываются в точке наблюдения.
для света (поперечной волны) — одна и та же плоскость поляризации.
На практике для света: одна щель (или лазер) делает две щели когерентными; щели узкие, поэтому каждая дифрагирует свет в область, где перекрываются два луча; и щели расположены близко друг к другу, а экран находится далеко, чтобы полосы были достаточно широкими для наблюдения.
Разность хода
Для двух когерентных источников то, что происходит в данной точке, зависит от разности хода$\Delta x$ между двумя волнами, приходящими туда:
конструктивная интерференция: $\Delta x = n\lambda$ (для целых чисел $n = 0, 1, 2, \ldots$).
деструктивная интерференция: $\Delta x = (n + \tfrac{1}{2})\lambda$.
Разность хода определяет разность фаз: один wavelength разности хода равен $360°$. Волны, прошедшие пути $100\ \text{cm}$ и $80\ \text{cm}$ от двух когерентных источников длины волны $8.0\ \text{cm}$, приходят с разностью хода $2.5\lambda$, разностью фаз $180°$ и гасят друг друга; микроволны длины волны $4\ \text{cm}$, разность хода которых составляет $6\ \text{cm}$ ($1.5\lambda$), дают минимум интенсивности, равный нулю только если амплитуды равны. Снижение частоты обоих источников одинаково увеличивает длину волны, поэтому та же самая разность хода соответствует меньшему числу длин волн, и точка перестает быть минимумом.
То, что происходит в точке Z, зависит от разности хода XZ − YZ, измеренной в длинах волн
Опыт с двойной щелью (опыт Юнга)
Для двух щелей, расположенных на расстоянии $a$ друг от друга, с экраном на расстоянии $D$ (предположим $D \gg a$), свет длины волны $\lambda$ образует полосы на экране.
Опыт Юнга с двойной щелью — одиночная щель делает две щели когерентными источниками
Расстояние между полосами$x$ (расстояние от одной полосы до следующей) равно
$$\lambda = \frac{a x}{D}, \qquad x = \frac{\lambda D}{a}.$$
Светлые полосы (максимум) образуются там, где разность хода равна целому числу $\lambda$; темные полосы (минимум) — там, где она равна $(n + \tfrac{1}{2})\lambda$. Полосы расположены равномерно.
Чтобы уменьшить расстояние между полосами: увеличьте $a$ (щели дальше друг от друга), уменьшите $D$ (экран ближе) или используйте более короткую $\lambda$ (более синий свет).
Объясните, как образуется картина из светлых и темных полос (три балла): свет дифрагирует на каждой щели; два дифрагированных луча перекрываются и накладываются; там, где разность хода от двух щелей равна целому числу длин волн, волны приходят в фазе и интерферируют конструктивно, давая светлую полосу, а там, где она равна нечетному числу полуволн, они приходят в противофазе и интерферируют деструктивно, давая темную полосу. Более яркий источник делает светлые полосы ярче, но не меняет расстояния между ними; переход к синему свету уменьшает расстояние между полосами, поэтому для сохранения того же расстояния щели нужно сблизить; уменьшение ширины каждой щели увеличивает дифракцию, поэтому полосы появляются на более широкой области, но расстояние между ними остается неизменным.
Решенный пример. В опыте с двойной щелью щели расположены на расстоянии $0.50\ \text{mm}$ друг от друга и освещены светом длины волны $600\ \text{nm}$. Экран находится на расстоянии $2.0\ \text{m}$. Найдите расстояние между полосами.
Решенный пример. Красный свет длины волны $680\ \text{nm}$ падает на щели, расположенные на расстоянии $0.16\ \text{mm}$ друг от друга. Расстояние между центрами первой и девятой темных полос равно $3.2\ \text{cm}$. Найдите расстояние $D$ до экрана.
Восемь шагов полос составляют $3.2\ \text{cm}$, поэтому $x = 4.0\ \text{mm}$ и $D = ax / \lambda = (0.16 \times 10^{-3})(4.0 \times 10^{-3}) / (680 \times 10^{-9}) = 0.94\ \text{m}$. На экране шириной $5.0\ \text{cm}$, центрированном относительно картины, с параметром $x = 2.4\ \text{mm}$, по десять светлых полос помещается по обе стороны от центральной: всего $21$. График зависимости $x$ от $a$ представляет собой кривую, убывающую при возрастании $1/a$; график зависимости $x$ от $\lambda$ (или от $D$) представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат, с наклоном $D/a$ (или $\lambda/a$), из которого можно найти $a$.
Explore · Исследовать
Interference · Интерференция
y = y₁ + y₂
In phase → constructive (bright/loud); antiphase → destructive (dark/quiet). · В фазе → конструктивная (яркая/громкая); в противофазе → деструктивная (темная/тихая).
describe the use of a diffraction grating to determine the wavelength of light (the structure and use of the spectrometer are not included)
Русский
вспоминать и использовать $d \sin \theta = n\lambda$
описывать использование дифракционной решетки для определения длины волны света (структура и использование спектрометра не включены)
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
A diffraction grating 衍射光栅 has many equally spaced slits — often hundreds or thousands per millimetre. Each slit is a coherent source. A maximum is seen at angle $\theta$ from the normal 法线 to the grating when
$$d \sin\theta = n \lambda,$$
where $d$ is the slit spacing 缝间距 (centre to centre), $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ is the order 级次, and $\lambda$ is the wavelength.
Worked example. A diffraction grating has $500$ lines per mm. Light of wavelength $600\ \text{nm}$ is shone normally on it. Find the angle of the first-order ($n = 1$) maximum.
The slit spacing is $d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$, so
Compared with the double slit, a grating gives much sharper maxima, because more slits add together — every other direction is cancelled by many slits.
To describe the diffraction at the grating: the light spreads out (diffracts) at every slit, and the waves from all the slits superpose; in the directions where the path difference between neighbouring slits is a whole number of wavelengths they are all in phase, so sharp maxima form there and almost nothing in between. A graph of intensity against angle is a set of narrow peaks at $\theta = 0$ and at $\pm\theta_{1}, \pm\theta_{2}, \ldots$, where $\sin\theta_{n} = n\lambda/d$: equally spaced in $\sin\theta$, so slightly further apart in $\theta$ at the higher orders.
Worked example. Light of wavelength $680\ \text{nm}$ is incident normally on a grating with $450$ lines per mm. Find the angle between the two second-order maxima.
$d = 1/450\ \text{mm} = 2.22 \times 10^{-6}\ \text{m}$, so $\sin\theta_{2} = 2 \times 680 \times 10^{-9} / (2.22 \times 10^{-6}) = 0.612$ and $\theta_{2} = 37.7°$; the two second-order beams are $2\theta_{2} = 75°$ apart.
Slit spacing from "lines per mm"
If a grating has $N$ lines per millimetre, then $d = 1/N$ millimetres $= 10^{-3}/N$ metres. For $450$ lines per mm, $d = 1/450\ \text{mm} \approx 2.22\ \mu\text{m}$.
Highest order
For a given grating and wavelength, $\sin\theta = n\lambda/d$ cannot be more than $1$, so the highest order seen is
If $d/\lambda = 3.27$, orders up to $n = 3$ exist; $n = 4$ would need $\sin\theta > 1$ and is not seen.
So the total number of maxima on a wide screen is $2n_{\text{max}} + 1$: for $700\ \text{nm}$ light and $400$ lines per mm, $d/\lambda = 3.57$, so $n_{\text{max}} = 3$ and seven beams are seen. A shorter wavelength gives more orders at smaller angles. With white light every order except the zero order is a spectrum, violet nearest the centre and red furthest out, because $\theta$ grows with $\lambda$; the zero order stays white. Two wavelengths give a maximum at the same angle when $n_{1}\lambda_{1} = n_{2}\lambda_{2}$: the third order of $400\ \text{nm}$ coincides with the second order of $600\ \text{nm}$.
Finding $\lambda$ with a grating
Shine parallel light of unknown wavelength straight at the grating. Measure the angle $\theta_{1}$ of the first-order maximum from the centre. Then $\lambda = d \sin\theta_{1}$. Repeating for higher orders and averaging reduces error.
Measure the angle between the first-order maxima on the two sides and halve it, which cancels any error in setting the zero; higher orders give larger angles and so a smaller percentage uncertainty; and plotting $\sin\theta$ against $n$ for several orders gives a straight line through the origin of gradient $\lambda/d$, so $\lambda = Gd$ (or, for a known wavelength, $d = \lambda/G$). Two things must be right: $\theta$ is measured from the normal to the grating, not from its surface, and $d$ is the distance between adjacent lines, so $400$ lines per mm means $d = 2.5\ \mu\text{m}$, never $400$.
Русский
Дифракционная решетка имеет множество равномерно расположенных щелей — часто сотни или тысячи на миллиметр. Каждая щель является когерентным источником. Максимум наблюдается под углом $\theta$ к нормали решетки, когда
$$d \sin\theta = n \lambda,$$
где $d$ — это межщелевое расстояние (от центра до центра), $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ — порядок, а $\lambda$ — длина волны.
Решенный пример. Дифракционная решетка содержит $500$ линий на мм. Свет длины волны $600\ \text{nm}$ падает на нее нормально. Найдите угол первого порядка ($n = 1$) максимума.
Межщелевое расстояние равно $d = \dfrac{1}{500}\ \text{mm} = 2.0 \times 10^{-6}\ \text{m}$, следовательно
По сравнению с двойной щелью решетка дает гораздо более острые максимумы, потому что складывается больше щелей — каждое другое направление гасится множеством щелей.
Чтобы описать дифракцию на дифракционной решётке: свет распространяется (дифрагирует) через каждую щель, и волны от всех щелей складываются; в направлениях, где разность хода между соседними щелями составляет целое число длин волн, они находятся в фазе, поэтому там образуются острые максимумы, а между ними — почти ничего. График зависимости интенсивности от угла представляет собой набор узких пиков при $\theta = 0$ и при $\pm\theta_{1}, \pm\theta_{2}, \ldots$, где $\sin\theta_{n} = n\lambda/d$: равномерно распределены по $\sin\theta$, поэтому слегка дальше друг от друга в $\theta$ при высоких порядках.
Интенсивность против угла для решётки: острые максимумы там, где $d\sin\theta = n\lambda$
Разобранный пример. Свет с длиной волны $680\ \text{nm}$ падает нормально на решётку с $450$ линиями на мм. Найдите угол между двумя максимумами второго порядка.
$d = 1/450\ \text{mm} = 2.22 \times 10^{-6}\ \text{m}$, следовательно $\sin\theta_{2} = 2 \times 680 \times 10^{-9} / (2.22 \times 10^{-6}) = 0.612$ и $\theta_{2} = 37.7°$; два луча второго порядка расположены на расстоянии $2\theta_{2} = 75°$ друг от друга.
Дифракционная решетка расщепляет монохроматический свет на четкие максимумы на экране
Расстояние между щелями из «линий на мм»
Если решётка имеет $N$ линий на миллиметр, то $d = 1/N$ миллиметра $= 10^{-3}/N$ метров. Для $450$ линий на мм, $d = 1/450\ \text{mm} \approx 2.22\ \mu\text{m}$.
Наивысший порядок
Для данной решётки и длины волны $\sin\theta = n\lambda/d$ не может быть больше $1$, поэтому наивысший наблюдаемый порядок равен
Если $d/\lambda = 3.27$, существуют порядки до $n = 3$; $n = 4$ потребовал бы $\sin\theta > 1$ и не наблюдается.
Таким образом, общее количество максимумов на широком экране равно $2n_{\text{max}} + 1$: для $700\ \text{nm}$ света и $400$ линий на мм, $d/\lambda = 3.57$, значит $n_{\text{max}} = 3$ и видно семь пучков. Более короткая длина волны даёт больше порядков при меньших углах. При белом свете каждый порядок, кроме нулевого, является спектром, фиолетовый ближе к центру, а красный дальше всего, потому что $\theta$ растёт вместе с $\lambda$; нулевой порядок остаётся белым. Два длины волны дают максимум под одним и тем же углом, когда $n_{1}\lambda_{1} = n_{2}\lambda_{2}$: третий порядок $400\ \text{nm}$ совпадает со вторым порядком $600\ \text{nm}$.
Определение $\lambda$ с помощью решётки
Направьте параллельный свет неизвестной длины волны прямо на решётку. Измерьте угол $\theta_{1}$ первого порядка максимума от центра. Тогда $\lambda = d \sin\theta_{1}$. Повторение измерений для высших порядков и усреднение уменьшают ошибку.
Измерьте угол между первыми максимумами на двух сторонах и разделите его пополам, что устранит любую ошибку в установке нуля; высшие порядки дают большие углы, а значит меньшую процентную неопределённость; а построение графика $\sin\theta$ против $n$ для нескольких порядков даст прямую линию через начало координат с наклоном $\lambda/d$, следовательно $\lambda = Gd$ (или, при известной длине волны, $d = \lambda/G$). Две вещи должны быть верны: $\theta$ измеряется от нормали к решётке, а не от её поверхности, и $d$ — это расстояние между соседними линиями, поэтому $400$ линий на мм означает $d = 2.5\ \mu\text{m}$, никогда не $400$.
Explore · Исследовать
Why the grating gives sharp maxima · Почему решетка дает четкие максимумы
Two waves add when in phase and cancel when out of phase — change the phase and watch the resultant. A grating's many slits make the bright fringes razor-sharp. · Две волны складываются, когда находятся в фазе, и гасят друг друга, когда в противофазе — измените фазу и наблюдайте результирующую волну. Множество щелей решетки делает яркие полосы очень тонкими.
Definitions the examiner accepts · Определения, принимаемые экзаменатором
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
principle of superposition
when two or more waves meet at a point, the resultant displacement is the sum of the displacements of the individual waves
stationary wave
the pattern formed when two progressive waves of the same frequency and speed travel in opposite directions and superpose, with nodes and antinodes that do not move
node
a point on a stationary wave where the displacement is always zero
antinode
a point on a stationary wave where the amplitude is a maximum
diffraction
the spreading of a wave as it passes through a gap or around the edge of an obstacle
interference
the superposition of waves from coherent sources, giving a steady pattern of maxima and minima
coherence
waves that have a constant phase difference (and so the same frequency)
path difference
the difference between the distances travelled by two waves from their sources to a point
fringe spacing
the distance between the centres of two adjacent bright (or dark) fringes
order of a maximum
the whole number $n$ in $d\sin\theta = n\lambda$, the number of wavelengths of path difference between adjacent slits
Русский
Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.
Термин
Определение
принцип суперпозиции
когда две или более волн встречаются в точке, результирующее смещение равно сумме смещений отдельных волн
стоячая волна
картина, возникающая при наложении двух бегущих волн одинаковой частоты и скорости, движущихся навстречу друг другу, с узлами и пучностями, которые не перемещаются
узел
точка на стоячей волне, где смещение всегда равно нулю
пучность
точка на стоячей волне, где амплитуда максимальна
дифракция
распространение (расширение) волны при прохождении через щель или огибании края препятствия
интерференция
наложение волн от когерентных источников, дающее устойчивую картину максимумов и минимумов
когерентность
волны, имеющие постоянную разность фаз (и, следовательно, одинаковую частоту)
разность хода
разница между расстояниями, пройденными двумя волнами от их источников до точки
расстояние между полосами
расстояние между центрами двух соседних светлых (или тёмных) полос
порядок максимума
целое число $n$ в выражении ($d\sin\theta = n\lambda$), количество длин волн разности хода между соседними щелями
8.4
Exam tips · Советы для экзамена
English
Two-source interference: constructive when path difference $= n\lambda$, destructive when $= (n + \tfrac{1}{2})\lambda$; the sources must be coherent.
On a stationary wave mark nodes and antinodes; adjacent nodes are $\lambda/2$ apart; it stores energy but does not transfer it.
A stationary wave needs two waves of the same frequency travelling in opposite directions.
Common mistakes
Adding amplitudes or intensities in the principle of superposition. Displacements add; the intensity then follows from the resultant amplitude squared.
"Adjacent nodes are one wavelength apart." Half a wavelength; a node to the next antinode is a quarter.
Using $d =$ lines per millimetre in $d\sin\theta = n\lambda$. Invert: $d = 10^{-3}/N$ metres.
Measuring $\theta$ from the grating surface, or forgetting that the angle between the two first-order beams is $2\theta_{1}$.
Writing "in phase" for coherent. Coherent means a constant phase difference; the sources may be permanently out of step.
Saying the fringe spacing changes when the source is made brighter, or that narrower slits change the spacing. Brightness and slit width change the contrast and the number of visible fringes, not $x = \lambda D/a$.
Русский
Интерференция двух источников: конструктивная, когда разность хода $= n\lambda$, деструктивная, когда $= (n + \tfrac{1}{2})\lambda$; источники должны быть когерентными.
На стоячей волне отметьте узлы и пучности; соседние узлы находятся на расстоянии $\lambda/2$ друг от друга; она хранит энергию, но не переносит её.
Стоячая волна требует двух волн с одинаковой частотой, движущихся в противоположных направлениях.
Распространенные ошибки
Сложение амплитуд или интенсивностей в принципе суперпозиции. Смещения складываются; интенсивность затем определяется квадратом результирующей амплитуды.
«Соседние узлы находятся на расстоянии одной длины волны». Половина длины волны; от узла до следующей пучности — четверть.
Использование $d =$ линий на миллиметр в $d\sin\theta = n\lambda$. Инверсия: $d = 10^{-3}/N$ метров.
Измерение $\theta$ от поверхности решётки или забвение того, что угол между двумя первыми пучками второго порядка равен $2\theta_{1}$.
Написание «в фазе» вместо когерентности. Когерентность означает постоянную разность фаз; источники могут быть постоянно рассинхронизированы.
Утверждение, что расстояние между полосами меняется при увеличении яркости источника, или что более узкие щели изменяют расстояние. Яркость и ширина щели меняют контраст и количество видимых полос, но не $x = \lambda D/a$.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
