Банджи-прыгун отталкивается от моста и падает — всё быстрее и быстрее, прямо к земле. Затем, в последний момент, эластичный трос натягивается и тянет…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
6.1
Forces that cause deformation · Силы, вызывающие деформацию
Syllabus · Программа
English
understand that deformation is caused by tensile or compressive forces (forces and deformations will be assumed to be in one dimension only)
understand and use the terms load, extension, compression and limit of proportionality
recall and use Hooke's law
recall and use the formula for the spring constant$k = F/x$
define and use the terms stress, strain and the Young modulus
describe an experiment to determine the Young modulus of a metal in the form of a wire
Русский
понимать, что деформация вызывается растягивающими или сжимающими силами (силы и деформации будут рассматриваться только в одном измерении)
понимать и использовать термины нагрузка, удлинение, сжатие и предел пропорциональности
вспоминать и использовать закон Гука
вспоминать и использовать формулу для жесткости пружины$k = F/x$
определять и использовать термины напряжение, деформация и модуль Юнга
описать эксперимент для определения модуля Юнга металла в виде проволоки
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Hooke's law & the elastic limit
When a force acts on a solid along its length, the object changes shape (deformation 形变). Two cases (treated as one-dimensional here):
a tensile 拉伸 force stretches the object — it makes an extension 伸长量$x$,
a compressive force squeezes the object — it makes a compression 压缩, treated as a negative extension.
The applied force is the load 负载. The change from the natural length is the extension (or compression).
Both are measured from the natural, unstretched length, never from the loaded length: on a diagram of a spring under a box, the distance the spring has shortened is its compression. A spring's own mass is usually said to be negligible 可忽略的, so the only forces on it are the load and the tension it provides.
Русский
Закон Гука и предел пропорциональности
Когда сила действует на твердое тело вдоль его оси, объект меняет свою форму (деформация). Два случая (рассматриваются здесь как одномерные):
растягивающая сила растягивает объект — она вызывает удлинение$x$,
сжимающая сила сжимает объект — она вызывает сжатие, которое рассматривается как отрицательное удлинение.
Приложенная сила называется нагрузкой. Изменение по сравнению с естественной длиной есть удлинение (или сжатие).
Оба значения измеряются от естественной ненагруженной длины, никогда не от нагруженной длины: на диаграмме пружины под коробкой расстояние, на которое пружина сократилась, равно ее сжатию. Собственная масса пружины обычно считается незначительной, поэтому единственными силами, действующими на нее, являются нагрузка и обеспечиваемое ею натяжение.
Explore · Исследовать
Hooke's law spring · пружина, подчиняющаяся закону Гука
Hang a load on the real spring: up to the elastic limit the extension is proportional to the force; beyond it the spring is stretched for good. · Подвесьте груз к реальной пружине: до предела упругости удлинение пропорционально силе; за ним пружина остается растянутой навсегда.
Hooke's law and the spring constant · Закон Гука и жесткость пружины
English
For many materials at small extensions, the extension is proportional to the load — this is Hooke's law 胡克定律. The constant that links them is the spring constant 劲度系数$k$:
$$F = kx \qquad\Longleftrightarrow\qquad k = \frac{F}{x}.$$
Unit of $k$: $\text{N m}^{-1}$.
Worked example. A spring stretches by $4.0\ \text{cm}$ when a $2.0\ \text{N}$ load is hung from it. Find its spring constant.
Converting the extension to metres ($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):
For the one-mark "state Hooke's law", write it in words: the extension is directly proportional to the applied force (load), provided the limit of proportionality is not exceeded. The spring constant is the force per unit extension; the multiple-choice distractors are "extension per unit force" (that is $1/k$) and $\tfrac{1}{2}Fx$ (the energy stored).
Reading a graph:
A force–extension ($F$ against $x$) graph has gradient $k$ in the Hooke's-law region.
An extension–force ($x$ against $F$) graph has gradient $1/k$ in the Hooke's-law region.
A common trap: if a graph plots length$L$ against force, you can still find the spring constant from the gradient (since $L = L_{0} + F/k$, the gradient is $1/k$ — read it off carefully).
Worked example. A spring has length $90\ \text{mm}$ under a force of $0.80\ \text{N}$ and $115\ \text{mm}$ under $1.30\ \text{N}$. Find the spring constant and the unstretched length.
The extra force $0.50\ \text{N}$ produces the extra extension $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$, so $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$. At $0.80\ \text{N}$ the extension is $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$, so the unstretched length is $90 - 40 = 50\ \text{mm}$. On a graph of length against force the intercept on the length axis is $L_{0}$, the gradient is $1/k$, and the work done in stretching the spring is the triangle between the line and the level $L = L_{0}$, not the whole area down to the force axis: the rectangle below $L_{0}$ is the unstretched length multiplied by the force, which means nothing.
Limit of proportionality
Hooke's law only holds up to the limit of proportionality 比例极限. Past this point the $F$ against $x$ line curves and is no longer straight. The material may still be elastic 弹性 (it returns to its first length when you remove the load) a little further, then it becomes plastic 塑性.
Springs in series and parallel
You may need to combine spring constants:
Series 串联 (one spring hangs from another): the same load passes through both, the total extension is the sum, so $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$.
Parallel 并联 (two springs side by side holding the same load): each takes half the load (if they are identical), the extensions are equal, so $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$.
Worked example. Springs of spring constant $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ and $4.0\ \text{N cm}^{-1}$ are joined end to end and a load of $80\ \text{N}$ hangs from them. Find the total extension.
Each spring carries the full $80\ \text{N}$, so the extensions are $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ and $80/4.0 = 20\ \text{cm}$: a total of $33\ \text{cm}$ (the same as $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ from $1/k = 1/6.0 + 1/4.0$). Three identical springs give the largest combined constant when all three are in parallel ($3k$) and the smallest when all are in series ($k/3$). When a load is shared by two identical springs in parallel, each carries half the force and so stores a quarter of the energy of one spring holding the whole load; the pair together stores half as much as the single spring did. A spring constant in $\text{N cm}^{-1}$ is $100$ times smaller than the same constant in $\text{N m}^{-1}$; give the unit the question asks for.
Русский
Пружина подчиняется закону Гука: удлинение прямо пропорционально приложенной силе.
Для многих материалов при малых удлинениях удлинение прямо пропорционально нагрузке — это закон Гука. Константа, связывающая их, называется жесткостью пружины$k$:
$$F = kx \qquad\Longleftrightarrow\qquad k = \frac{F}{x}.$$
Единица измерения $k$: $\text{N m}^{-1}$.
Разобранный пример. Пружина растягивается на $4.0\ \text{cm}$ при подвешенной нагрузке в $2.0\ \text{N}$. Найдите жесткость пружины.
Перевод удлинения в метры ($4.0\ \text{cm} = 0.040\ \text{m}$):
Для вопроса на один балл «формулируйте закон Гука» запишите его словами: удлинение прямо пропорционально приложенной силе (нагрузке), пока не превышен предел пропорциональности. Жесткость пружины — это сила на единицу удлинения; отвлекающие варианты ответов — «удлинение на единицу силы» (это $1/k$) и $\tfrac{1}{2}Fx$ (запасенная энергия).
График зависимости нагрузки от удлинения: прямая линия до предела пропорциональности $P$, затем изгиб
Чтение графика:
График зависимости силы от удлинения ($F$ против $x$) имеет градиент $k$ в области действия закона Гука.
График зависимости удлинения от силы ($x$ против $F$) имеет градиент $1/k$ в области действия закона Гука.
Распространенная ловушка: если график строится для длины$L$ против силы, вы все равно можете найти жесткость пружины по градиенту (поскольку $L = L_{0} + F/k$, градиент равен $1/k$ — прочитайте его внимательно).
Разобранный пример. Пружина имеет длину $90\ \text{mm}$ под действием силы $0.80\ \text{N}$ и $115\ \text{mm}$ под действием $1.30\ \text{N}$. Найдите жесткость пружины и ненагруженную длину.
Дополнительная сила $0.50\ \text{N}$ вызывает дополнительное удлинение $25\ \text{mm} = 0.025\ \text{m}$, следовательно $k = 0.50 / 0.025 = 20\ \text{N m}^{-1}$. При нагрузке $0.80\ \text{N}$ удлинение составляет $x = F/k = 0.80 / 20 = 0.040\ \text{m}$, поэтому ненагруженная длина равна $90 - 40 = 50\ \text{mm}$. На графике зависимости длины от силы пересечение с осью длины равно $L_{0}$, градиент равен $1/k$, а совершенная работа по растяжению пружины — это треугольник между линией и уровнем $L = L_{0}$, а не вся площадь до оси силы: прямоугольник ниже $L_{0}$ представляет собой произведение ненагруженной длины на силу, что не имеет физического смысла.
Длина против силы: отрезок на оси ординат равен $L_{0}$, наклон градиента составляет $1/k$, и только треугольник выше линии $L_{0}$ представляет собой совершенную работу
Предел пропорциональности
Закон Гука выполняется только до предела пропорциональности. За этой точкой линия графика зависимости $F$ от $x$ изгибается и перестает быть прямой. Материал может оставаться упругим (возвращаться к своей начальной длине после снятия нагрузки) еще немного, а затем стать пластичным.
Пружины последовательно и параллельно
Возможно, потребуется объединить жесткости пружин:
последовательное соединение (одна пружина висит на другой): одна и та же нагрузка проходит через обе, общее удлинение равно сумме, поэтому $\dfrac{1}{k_{\text{total}}} = \dfrac{1}{k_{1}} + \dfrac{1}{k_{2}}$.
параллельное соединение (две пружины рядом держат одну нагрузку): каждая принимает половину нагрузки (если они идентичны), удлинения равны, поэтому $k_{\text{total}} = k_{1} + k_{2}$.
Объединение жесткостей пружин: последовательное соединение дает более мягкую пружину, параллельное — более жесткую
Разобранный пример. Пружины с жесткостью $6.0\ \text{N cm}^{-1}$ и $4.0\ \text{N cm}^{-1}$ соединены конец к концу, и подвешена нагрузка в $80\ \text{N}$. Найдите общее удлинение.
Каждая пружина несёт полную $80\ \text{N}$, поэтому удлинения равны $80/6.0 = 13.3\ \text{cm}$ и $80/4.0 = 20\ \text{cm}$: всего $33\ \text{cm}$ (то же самое, что и $k = 2.4\ \text{N cm}^{-1}$ из $1/k = 1/6.0 + 1/4.0$). Три одинаковые пружины дают наибольшую суммарную жёсткость при параллельном соединении ($3k$) и наименьшую при последовательном ($k/3$). Когда нагрузка разделяется между двумя параллельными пружинами, каждая воспринимает половину силы и запасает четверть энергии одной пружины, выдерживающей всю нагрузку; пара вместе запасает вдвое меньше энергии, чем одна пружина. Жёсткость пружины в $\text{N cm}^{-1}$ в $100$ раз меньше, чем та же жёсткость в $\text{N m}^{-1}$; укажите единицу измерения, которую требует вопрос.
Explore · Исследовать
Hooke's law · Закон Гука
F = k·x
Force is proportional to extension — the gradient is the spring constant k. · Сила пропорциональна удлинению — градиент является жесткостью пружины k.
Explore · Исследовать
Hooke's law · Закон Гука
F = kx
Up to the limit, extension is proportional to force — the gradient is the spring constant k. · В пределах пропорциональности удлинение прямо пропорционально силе — наклон графика равен жёсткости k.
Explore · Исследовать
Hooke's law: F = kx · Закон Гука: F = kx
F = ax
Drag the spring constant. Force is proportional to extension — a straight line through the origin whose gradient is the spring constant. · Перетащите коэффициент жесткости. Сила пропорциональна удлинению — прямая линия через начало координат, наклон которой равен коэффициенту жесткости.
limit of proportionality/ˈlɪmɪt ɒv prəˌpɔːʃəˈnælɪti/
предела пропорциональности
6.1
Stress, strain and the Young modulus · Напряжение, деформация и модуль Юнга
English
For a wire of uniform cross-section under a tensile load:
Stress 应力$\sigma = \dfrac{F}{A}$, where $F$ is the load and $A$ is the cross-sectional area 横截面积. Unit: $\text{Pa}$.
Strain 应变$\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$, where $x$ is the extension and $L_{0}$ is the original length. Strain has no unit (it is a ratio of lengths).
For the one-mark definitions: stress is the force per unit cross-sectional area (the force acting normally to the area); strain is the extension per unit original length. The unit of stress, $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$, is $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$ in base units. The area of a round wire comes from its diameter $d$: $A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$, and using $d$ in place of $r$ makes the area four times too big. Convert $\text{mm}^{2}$ to $\text{m}^{2}$ with $10^{-6}$.
Worked example. A tensile force of $18\ \text{N}$ acts on a wire of cross-sectional area $3.2\ \text{mm}^{2}$. Find the stress.
$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$. The same force acts along the whole wire, so a bolt whose diameter is $2d$ at one end and $d$ at the other has four times the stress at the narrow end ($\sigma \propto 1/d^{2}$), and a wire of three times the radius carries one ninth of the stress.
The Young modulus 杨氏模量 is the ratio of stress to strain in the Hooke's-law region:
Unit: $\text{Pa}$ (about $10^{11}$ for metals; e.g. steel $\approx 2.0 \times 10^{11}$ Pa).
Worked example. A steel wire of length $2.0\ \text{m}$ and cross-sectional area $1.5 \times 10^{-7}\ \text{m}^{2}$ stretches by $1.0\ \text{mm}$ under a load of $15\ \text{N}$. Find the Young modulus.
The Young modulus is a property of the material — it does not depend on the wire's shape or size. The spring constant $k$ depends on both the material and the size: $k = EA/L_{0}$.
For the one-mark definition: the Young modulus is the ratio of stress to strain (for a material deformed within its limit of proportionality). Because it belongs to the material, a thicker wire of the same metal has the same Young modulus: it stretches less under the same load because its area is larger, not because the metal is stiffer. A "show that $k = EA/L_{0}$" question wants two lines: $k = F/x$ and $E = FL_{0}/(Ax)$, so $E = kL_{0}/A$. Two things follow: a wire's spring constant stays constant while Hooke's law holds, whatever the force, and a wire of the same metal with twice the diameter has four times the spring constant.
Worked example. A copper wire of length $1.7\ \text{m}$ and diameter $0.64\ \text{mm}$ has Young modulus $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$. Find its spring constant.
On a stress–strain graph the gradient of the straight part is $E$, so of two materials drawn on the same axes the steeper line is the stiffer material, and a wire with double the Young modulus is drawn as a line through the origin with twice the gradient. On a force–extension graph the gradient is $EA/L_{0}$ and the Young modulus is the gradient multiplied by $L_{0}/A$; only a stress–strain graph has a gradient equal to $E$ itself.
Experiment to find the Young modulus of a metal wire
A standard setup:
Clamp one end of a long, thin wire to a fixed support. Pass the wire over a pulley 滑轮 at the edge of the bench so it hangs straight down.
Measure the original length $L_{0}$ between the clamp and a marker near the pulley, using a metre rule.
Measure the diameter 直径$d$ of the wire at several places with a micrometer 螺旋测微器 and take the average. Work out $A = \pi d^{2}/4$.
Hang weights one at a time. Record the load $F$ and the extension $x$ (how far the marker moves against a fixed scale).
Plot $F$ against $x$. In the straight region the gradient is $EA/L_{0}$, so $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$.
Why a long, thin wire? To make the extension big enough to measure well. Why repeat readings and measure $d$ at several places? To reduce random error 随机误差 and check the wire is uniform.
A "describe an experiment" answer earns its marks for the quantities measured and how ($L_{0}$ with a metre rule; $d$ with a micrometer at several points; the load from the masses or a newton meter; the extension from a marker read against a fixed scale, or a vernier scale), the graph ($F$ against $x$, gradient $EA/L_{0}$, or stress against strain, gradient $E$) and the precautions: safety goggles in case the wire snaps, a small load first to straighten kinks, and readings taken on unloading as well as loading to check the wire stayed elastic.
Русский
Для проволоки с постоянным поперечным сечением под нагрузкой на растяжение:
Напряжение$\sigma = \dfrac{F}{A}$, где $F$ — это нагрузка, а $A$ — площадь поперечного сечения. Единица: $\text{Pa}$.
Деформация$\varepsilon = \dfrac{x}{L_{0}}$, где $x$ — это удлинение, а $L_{0}$ — исходная длина. Деформация безразмерна (это отношение длин).
Для определений на один балл: напряжение — это сила на единицу площади поперечного сечения (сила, действующая нормально к поверхности); деформация — это удлинение на единицу исходной длины. Единица напряжения, $\text{Pa} = \text{N m}^{-2}$, выражается через базовые единицы как $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. Площадь круглой проволоки определяется её диаметром $d$: $A = \pi d^{2}/4 = \pi r^{2}$, и использование $d$ вместо $r$ приводит к тому, что площадь получается в четыре раза больше. Преобразуйте $\text{mm}^{2}$ в $\text{m}^{2}$, используя $10^{-6}$.
Разобранный пример. Растягивающая сила $18\ \text{N}$ действует на проволоку площадью поперечного сечения $3.2\ \text{mm}^{2}$. Найдите напряжение.
$\sigma = F/A = 18 / (3.2 \times 10^{-6}) = 5.6 \times 10^{6}\ \text{Pa}$. Одна и та же сила действует вдоль всей проволоки, поэтому болт с диаметром $2d$ на одном конце и $d$ на другом имеет напряжение на узком конце в четыре раза выше ($\sigma \propto 1/d^{2}$), а проволока с радиусом в три раза больше выдерживает напряжение в девять раз меньше.
Напряжение — это нагрузка на площадь поперечного сечения; деформация — это удлинение на исходную длину
Модуль Юнга — это отношение напряжения к деформации в области закона Гука:
График зависимости напряжения от деформации, прямая линия до предела пропорциональности $P$
Модуль Юнга является свойством материала — он не зависит от формы или размеров проволоки. Жёсткость пружины $k$ зависит и от материала, и от размеров: $k = EA/L_{0}$.
Для определения на один балл: модуль Юнга — это отношение напряжения к деформации (для материала, деформированного в пределах предела пропорциональности). Поскольку он принадлежит материалу, более толстая проволока из того же металла имеет такой же модуль Юнга: она растягивается меньше под той же нагрузкой не потому, что металл жестче, а потому, что её площадь поперечного сечения больше. Вопрос «докажите, что $k = EA/L_{0}$» требует двух строк: $k = F/x$ и $E = FL_{0}/(Ax)$, следовательно, $E = kL_{0}/A$. Из этого следуют два вывода: жёсткость проволоки остаётся постоянной, пока выполняется закон Гука, независимо от силы, и проволока из того же металла с диаметром в два раза больше имеет жёсткость в четыре раза больше.
Разбор примера. Медная проволока длиной $1.7\ \text{m}$ и диаметром $0.64\ \text{mm}$ имеет модуль Юнга $1.2 \times 10^{11}\ \text{Pa}$. Найдите её жёсткость.
На графике зависимости напряжения от деформации наклон прямой части равен $E$, поэтому среди двух материалов, изображённых на одних осях, более крутая линия соответствует более жёсткому материалу, а проволока с модулем Юнга в два раза больше изображается линией, проходящей через начало координат, с наклоном в два раза большим. На графике зависимости силы от удлинения наклон равен $EA/L_{0}$, а модуль Юнга равен наклону, умноженному на $L_{0}/A$; только на графике зависимости напряжения от деформации наклон сам по себе равен $E$.
Два металла на одном графике зависимости напряжения от деформации: более крутая линия имеет больший модуль Юнга
Эксперимент по определению модуля Юнга металлической проволоки
Стандартная установка:
Зажмите один конец длинной тонкой проволоки в неподвижном держателе. Пропустите проволоку над шкивом (блоком) на краю стола, чтобы она висела вертикально вниз.
Измерьте исходную длину $L_{0}$ между зажимом и меткой рядом со шкивом с помощью линейки.
Измерьте диаметр$d$ проволоки в нескольких местах с помощью микрометра и найдите среднее значение. Вычислите $A = \pi d^{2}/4$.
Подвешивайте грузы по одному. Записывайте нагрузку $F$ и удлинение $x$ (насколько перемещается метка относительно фиксированной шкалы).
Постройте график зависимости $F$ от $x$. В прямой области наклон равен $EA/L_{0}$, следовательно, $E = \text{gradient} \times L_{0}/A$.
Почему длинная, тонкая проволока? Чтобы удлинение было достаточным для точного измерения. Почему нужно повторять измерения и измерять $d$ в нескольких местах? Для уменьшения случайной ошибки и проверки однородности проволоки.
Ответ на вопрос «опишите эксперимент» получает баллы за измеряемые величины и их измерение ($L_{0}$ с помощью линейки; $d$ с помощью микрометра в нескольких точках; нагрузка от грузов или динамометра; удлинение по маркеру, считываемому по фиксированной шкале, или нониусу), график ($F$ в зависимости от $x$, градиент $EA/L_{0}$, или напряжение в зависимости от деформации, градиент $E$) и меры предосторожности: защитные очки на случай обрыва проволоки, сначала небольшая нагрузка для выпрямления изгибов, а также снимок показаний при разгрузке вместе с нагрузкой для проверки того, что проволока оставалась в упругой области.
Elastic and plastic behaviour · Упругое и пластическое поведение
Syllabus · Программа
English
understand and use the terms elastic deformation, plastic deformation and elastic limit
understand that the area under the force–extension graph represents the work done
determine the elastic potential energy of a material deformed within its limit of proportionality from the area under the force–extension graph
recall and use $E_p = \frac{1}{2}Fx = \frac{1}{2}kx^2$ for a material deformed within its limit of proportionality
Русский
понимать и использовать термины упругая деформация, пластическая деформация и упругий предел
понимать, что площадь под графиком зависимости силы от удлинения представляет собой совершённую работу
определять потенциальную энергию упругой деформации материала, деформированного в пределах своего предела пропорциональности, из площади под графиком зависимости силы от удлинения
вспоминать и использовать $E_p = \frac{1}{2}Fx = \frac{1}{2}kx^2$ для материала, деформированного в пределах предела пропорциональности
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
As the load grows:
Elastic and straight (Hooke obeyed) — up to the limit of proportionality. Removing the load returns the object to its first length.
Elastic but curved — between the limit of proportionality and the elastic limit 弹性极限. The extension is no longer straight in the load, but on unloading the object still returns to its first length.
Plastic — past the elastic limit. On unloading, the object does not return to its first length; a permanent extension stays.
Hooke's law only holds in the straight, elastic region.
In words: elastic deformation means the object returns to its original length (or shape) when the load is removed; plastic deformation means it does not, and a permanent extension remains; the elastic limit is the maximum load (or extension) for which the deformation is still elastic; the limit of proportionality is the point beyond which the extension is no longer proportional to the load. On a graph the limit of proportionality is where the line stops being straight. The elastic limit lies a little beyond it and cannot be read from a loading line alone. So in a "which statement must be correct" item, the end of the straight part is the limit of proportionality, but whether a later point is the elastic limit or the breaking point cannot be told from the shape of the loading line.
On a force–extension graph for a material taken into the plastic region and then unloaded, the loading line and the unloading line are different. The unloading line is parallel to the first Hooke line but shifted to the right (the permanent extension left when the load reaches zero). The area between the loading and unloading lines is the energy turned into thermal energy 热能 in the material.
A rubber band 橡皮筋 also has different loading and unloading curves, but it returns to its original length: its deformation is elastic. The area between the two curves is again energy dissipated as thermal energy (elastic hysteresis 弹性滞后), and the energy recovered on unloading is the area under the lower curve. The two-mark "explain why the work done in stretching the wire is not equal to the energy recovered when the force is removed" answer says that the wire was taken past its elastic limit, so part of the deformation is plastic and a permanent extension remains, and that part of the work done became thermal energy in the wire.
Русский
По мере увеличения нагрузки:
Упругое и прямое (выполняется закон Гука) — до предела пропорциональности. При снятии нагрузки тело возвращается к своей первоначальной длине.
Упругое, но кривое — между пределом пропорциональности и упругим пределом. Удлинение больше не прямо зависит от нагрузки, но при разгрузке тело все равно возвращается к своей первоначальной длине.
Пластическое — после упругого предела. При разгрузке тело не возвращается к первоначальной длине; остается постоянное остаточное удлинение.
Закон Гука выполняется только в прямой упругой области.
Словесно: упругая деформация означает, что тело возвращается к исходной длине (или форме) при снятии нагрузки; пластическая деформация означает, что оно не возвращается, и остается постоянное остаточное удлинение; упругий предел — это максимальная нагрузка (или удлинение), при которой деформация еще является упругой; предел пропорциональности — точка, за пределами которой удлинение больше не пропорционально нагрузке. На графике предел пропорциональности — это место, где линия перестает быть прямой. Упругий предел находится немного дальше него и его нельзя определить только по линии нагружения. Поэтому в задании «какое утверждение обязательно верно» конец прямой части является пределом пропорциональности, но то, является ли более поздняя точка упругим пределом или точкой разрушения, по форме линии нагружения определить нельзя.
*Сила–удлинение за пределами упругого предела: отмечены $P$ и $E$, после разгрузки осталось остаточное удлинение $B$
*Современный универсальный (разрывной) испытательный станок растягивает образец и записывает силу и удлинение
На графике зависимости силы от удлинения для материала, загруженного в пластическую область и затем разгруженного, линии нагружения и разгрузки различны. Линия разгрузки параллельна первой линии Гука, но смещена вправо (остаточное удлинение, оставшееся при снижении нагрузки до нуля). Площадь между линиями нагружения и разгрузки — это энергия, превратившаяся в тепловую энергию в материале.
У резиновой ленты также разные кривые нагружения и разгрузки, но она возвращается к исходной длине: ее деформация упругая. Площадь между двумя кривыми снова представляет собой рассеянную в виде тепловой энергии (упругий гистерезис), а восстановленная энергия при разгрузке равна площади под нижней кривой. Ответ на двухбалльный вопрос «объясните, почему работа по растяжению проволоки не равна энергии, восстанавливаемой при снятии силы», заключается в том, что проволока была растянута за пределы упругого предела, поэтому часть деформации является пластической и остается постоянное остаточное удлинение, и что часть совершенной работы перешла в тепловую энергию в проволоке.
*Резиновая лента возвращается к исходной длине, но площадь между нагружением и разгрузкой — это потерянная в виде тепловой энергии энергия
Energy stored in a stretched material · Энергия, запасенная в растянутом материале
English
The work done in stretching a material from $0$ to extension $x$, as the load grows from $0$ to $F$, is the area under the force–extension graph.
Why the area: work done is force multiplied by the distance moved, but here the force grows as the material stretches, so the work is the sum of $F\,\Delta x$ over many small extensions, which is the area under the line. Within the limit of proportionality the force rises uniformly from $0$ to $F$, so the average force is $\tfrac{1}{2}F$ and the work is $\tfrac{1}{2}Fx$. On a force–extension graph the gradient is the spring constant.
Hooke's-law material
When Hooke's law holds, the $F$ against $x$ graph is a straight line through the origin. The area under it from $0$ to $x$ is a triangle:
$$E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x = \tfrac{1}{2} k x^{2}.$$
This is the elastic potential energy 弹性势能 stored in a spring or wire stretched within its limit of proportionality. An equal form:
$$E_{\text{P}} = \frac{F^{2}}{2k}.$$
Worked example. A spring of spring constant $50\ \text{N m}^{-1}$ is stretched by $0.20\ \text{m}$, within its limit of proportionality. Find the elastic potential energy stored.
Worked example. A wire of spring constant $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ is already extended by $2.0\ \text{mm}$. Find the work done to increase its extension to $3.0\ \text{mm}$.
The stored energy rises from $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ to $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$: $W = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{4} \times \left[(3.0 \times 10^{-3})^{2} - (2.0 \times 10^{-3})^{2}\right] = 0.050\ \text{J}$. This is the trapezium under the line between the two extensions, not $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$. Because $E_{\text{P}} \propto x^{2}$ at fixed $k$, doubling the extension of a wire stores four times the energy ($0.65\ \text{J}$ becomes $2.6\ \text{J}$), and a stored energy gives the extension as $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$: a spring of $k = 400\ \text{N m}^{-1}$ storing $0.32\ \text{J}$ is compressed by $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$. For two wires joined end to end the tension is the same in both, so the total energy stored is $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ with each wire's own extension.
Non-Hooke material
For a graph that is not a straight line (a stretched rubber band, or a spring past its limit of proportionality), find the area by counting grid squares or by using trapezia 梯形. The same idea holds: the area under the force–extension graph is the work done on the material. To estimate the work done up to the breaking point, count the squares under the whole curve (part squares as halves) and multiply by the energy one square represents, the force step multiplied by the extension step; saying that the area was found by counting squares is the "explain your reasoning" mark.
Comparing stored energy
A common multiple-choice case: two materials are stretched by the same force, or by the same extension. Using $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$:
same $F$, smaller $k$ (less stiff) → larger $x$ → more energy stored.
same $x$, larger $k$ (stiffer) → larger $F$ → more energy stored.
A sketch of $E_{\text{P}}$ against extension or compression is a curve through the origin that gets steeper ($E_{\text{P}} \propto x^{2}$), not a straight line. Of two wires of the same length and area under the same load, the one with the smaller Young modulus extends more and so stores more energy.
When a stretched spring is released onto a mass, the elastic potential energy becomes kinetic energy 动能 (and gravitational potential energy if the mass rises). Set $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ equal to $\tfrac{1}{2} m v^{2}$ (plus any $mgh$) to find the speed or height.
Русский
Совершенная работа по растяжению материала от $0$ до удлинения $x$, когда нагрузка растет от $0$ до $F$, равна площади под графиком зависимости силы от удлинения.
*Совершенная работа по растяжению материала равна площади под графиком зависимости силы от удлинения
Почему площадь: совершенная работа равна силе, умноженной на пройденное расстояние, но здесь сила растет по мере растяжения материала, поэтому работа представляет собой сумму ⟨$F\,\Delta x$⟩ по многим малым удлинениям, что соответствует площади под линией. В пределах пропорциональности сила равномерно возрастает от $0$ до $F$, поэтому средняя сила равна $\tfrac{1}{2}F$, а работа составляет $\tfrac{1}{2}Fx$. На графике зависимости силы от удлинения градиент равен жесткости пружины.
Материал, подчиняющийся закону Гука
Когда выполняется закон Гука, график зависимости $F$ от $x$ представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат. Площадь под ним от $0$ до $x$ — это треугольник:
$$E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x = \tfrac{1}{2} k x^{2}.$$
Это упругая потенциальная энергия, запасенная в пружине или проволоке, растянутой в пределах своего предела пропорциональности. Равнозначная форма:
$$E_{\text{P}} = \frac{F^{2}}{2k}.$$
Разобранный пример. Пружина с жесткостью $50\ \text{N m}^{-1}$ растянута на $0.20\ \text{m}$ в пределах своего предела пропорциональности. Найдите запасенную упругую потенциальную энергию.
Разобранное решение. Провод с жесткостью $2.0 \times 10^{4}\ \text{N m}^{-1}$ уже растянут на $2.0\ \text{mm}$. Найдите работу, необходимую для увеличения его удлинения до $3.0\ \text{mm}$.
Запасенная энергия возрастает от $\tfrac{1}{2} k x_{1}^{2}$ до $\tfrac{1}{2} k x_{2}^{2}$: $W = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{4} \times \left[(3.0 \times 10^{-3})^{2} - (2.0 \times 10^{-3})^{2}\right] = 0.050\ \text{J}$. Это площадь трапеции под прямой между двумя значениями удлинения, а не $\tfrac{1}{2} k (x_{2} - x_{1})^{2}$. Поскольку $E_{\text{P}} \propto x^{2}$ при фиксированном $k$, удвоение удлинения провода приводит к запасу энергии в четыре раза больше ($0.65\ \text{J}$ становится $2.6\ \text{J}$), а запасенная энергия дает удлинение как $x = \sqrt{2E_{\text{P}}/k}$: пружина жесткостью $k = 400\ \text{N m}^{-1}$, запасающая энергию $0.32\ \text{J}$, сжимается на $\sqrt{2 \times 0.32 / 400} = 0.040\ \text{m}$. Для двух проводов, соединенных последовательно, натяжение одинаково в обоих, поэтому общая запасенная энергия равна $\tfrac{1}{2}F x_{1} + \tfrac{1}{2}F x_{2}$ с учетом собственного удлинения каждого провода.
Негауксов материал
Для графика, который не является прямой линией (растянутая резинка или пружина за пределами пропорциональности), найдите площадь, подсчитывая клетки сетки или используя трапеции. Та же идея верна: площадь под графиком зависимости силы от удлинения равна работе, совершенной над материалом. Чтобы оценить работу до точки разрыва, подсчитайте квадраты под всей кривой (частичные квадраты считайте за половины) и умножьте на энергию, которую представляет один квадрат (шаг силы, умноженный на шаг удлинения); упоминание того, что площадь была найдена путем подсчета клеток, дает балл «объясните рассуждения».
Сравнение запасенной энергии
Распространенный тип вопроса с вариантами ответов: два материала растягиваются одной и той же силой или одним и тем же удлинением. Используя $E_{\text{P}} = \tfrac{1}{2} F x$:
та же $F$, меньшее $k$ (менее жесткий) → большее $x$ → больше запасенной энергии.
та же $x$, большее $k$ (более жесткий) → большее $F$ → больше запасенной энергии.
Эскиз графика зависимости $E_{\text{P}}$ от удлинения или сжатия представляет собой кривую, проходящую через начало координат и становящуюся круче ($E_{\text{P}} \propto x^{2}$), а не прямую линию. Из двух проводов одинаковой длины и площади поперечного сечения под одной нагрузкой тот, у которого меньше модуля Юнга, растягивается сильнее и запасает больше энергии.
Когда растянутая пружина отпускается на груз, упругая потенциальная энергия превращается в кинетическую энергию (и потенциальную энергию гравитации, если груз поднимается). Приравняйте $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ к $\tfrac{1}{2} m v^{2}$ (плюс любую $mgh$), чтобы найти скорость или высоту.
6.2
Definitions the examiner accepts · Определения, принимаемые экзаменатором
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
Hooke's law
the extension is directly proportional to the applied force, provided the limit of proportionality is not exceeded
spring constant
the force per unit extension
limit of proportionality
the point beyond which the extension is no longer proportional to the applied force
elastic limit
the maximum force (or extension) for which the material returns to its original length when the force is removed
elastic deformation
the material returns to its original length (shape) when the force is removed
plastic deformation
the material does not return to its original length when the force is removed; a permanent extension remains
stress
the force per unit cross-sectional area
strain
the extension per unit original length
Young modulus
the ratio of stress to strain (within the limit of proportionality)
elastic potential energy
the energy stored in an object because it has been stretched or compressed
Русский
Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.
Термин
Определение
Закон Гука
удлинение прямо пропорционально приложенной силе, при условии, что предел пропорциональности не превышен
жесткость пружины
сила на единицу удлинения
предел пропорциональности
точка, за которой удлинение перестает быть пропорциональным приложенной силе
предел упругости
максимальная сила (или удлинение), при которой материал возвращается к исходной длине после снятия нагрузки
упругая деформация
материал возвращается к исходной длине (форме) после снятия нагрузки
пластическая деформация
материал не возвращается к исходной длине после снятия нагрузки; остается постоянное удлинение
напряжение
сила на единицу площади поперечного сечения
относительное удлинение
удлинение на единицу исходной длины
модуль Юнга
отношение напряжения к относительному удлинению (в пределах пропорциональности)
упругая потенциальная энергия
энергия, запасенная в объекте из-за его растяжения или сжатия
6.2
Exam tips · Советы для экзамена
English
Hooke's law ($F = kx$) holds only up to the limit of proportionality.
Stress $= F/A$, strain $= x/L$, Young modulus $=$ stress$/$strain (gradient of the straight part of the stress-strain graph) — watch the units (Pa).
Energy stored $=$area under the force-extension graph$= \frac{1}{2}Fx$ in the elastic region.
Distinguish elastic (returns to shape) from plastic (permanent) deformation.
Common mistakes
Using the diameter as the radius in $A = \pi r^{2}$, or leaving an area in $\text{mm}^{2}$. Halve the diameter first; $1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$.
Reading the work done off a length–force graph as the whole area down to the axis. Only the triangle above $L_{0}$ is work.
Treating stored energy as proportional to extension. It goes as $x^{2}$: double the extension, four times the energy; and the work done between two extensions is the difference of two $\tfrac{1}{2}kx^{2}$ values.
Stating Hooke's law without its condition. "Provided the limit of proportionality is not exceeded" is part of the law.
Swapping the limit of proportionality (the end of the straight line) and the elastic limit (the end of elastic behaviour, a little beyond it).
Saying a thicker wire has a larger Young modulus. The modulus is the material's; the thicker wire has a larger spring constant.
Русский
Закон Гука ($F = kx$) выполняется только до предела пропорциональности.
Напряжение $= F/A$, деформация $= x/L$, модуль Юнга $=$ напряжение$/$деформация (наклон прямой участка графика зависимости напряжения от деформации) — следите за единицами измерения (Па).
Энергия, запасённая $=$площадь под графиком зависимости силы от удлинения$= \frac{1}{2}Fx$ в упругой области.
Различайте упругую (возвращение формы) и пластическую (постоянную) деформацию.
Распространенные ошибки
Использование диаметра вместо радиуса в формуле $A = \pi r^{2}$, или пропуск площади в формуле $\text{mm}^{2}$. Сначала разделите диаметр пополам; затем используйте $1\ \text{mm}^{2} = 10^{-6}\ \text{m}^{2}$.
Снятие показаний работы с графика зависимости длины от силы как полной площади до оси. Только треугольник выше уровня $L_{0}$ соответствует работе.
Представление запасённой энергии как пропорциональной удлинению. Она ведёт себя как $x^{2}$: при удвоении удлинения энергия увеличивается в четыре раза; а совершённая работа между двумя значениями удлинения равна разности двух значений $\tfrac{1}{2}kx^{2}$.
Утверждение закона Гука без условия. «При условии, что предел пропорциональности не превышен» является частью закона.
Перепутывание предела пропорциональности (конец прямой линии) и предела упругости (конец упругого поведения, немного дальше него).
Утверждение, что более толстый провод имеет больший модуль Юнга. Модуль — свойство материала; более толстый провод имеет большую жесткость пружины.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
*Современный универсальный (разрывной) испытательный станок растягивает образец и записывает силу и удлинение
*Резиновая лента возвращается к исходной длине, но площадь между нагружением и разгрузкой — это потерянная в виде тепловой энергии энергия