У американских горок нет двигателя на рельсах. Цепь поднимает их на самый первый холм — а затем они движутся сами. Так как же они проходят через все петли…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Английское озвучивание · Английский + китайские субтитры (встроенные)
5.1
Work, energy and power · Работа, энергия и мощность
Syllabus · Программа
English
understand the concept of work, and recall and use $\text{work done} = \text{force} \times \text{displacement in the direction of the force}$
recall and apply the principle of conservation of energy
recall and understand that the efficiency of a system is the ratio of useful energy output from the system to the total energy input
use the concept of efficiency to solve problems
define power as work done per unit time
solve problems using $P = W/t$
derive $P = Fv$ and use it to solve problems
Русский
понимать понятие работы и вспоминать и использовать $\text{work done} = \text{force} \times \text{displacement in the direction of the force}$
вспоминать и применять принцип сохранения энергии
вспоминать и понимать, что КПД системы — это отношение полезной выходной энергии системы к общей входной энергии
использовать понятие КПД для решения задач
определять мощность как работу, совершённую в единицу времени
решать задачи, используя $P = W/t$
выводить $P = Fv$ и использовать его для решения задач
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Work done by a force
Work 功 is done when a force moves its point of contact along the line of the force. For the one-mark definition write: work done is the product of the force and the distance moved in the direction of the force. The work done by a constant force $F$ that causes a displacement 位移$s$ is
$$W = F \cdot s \cdot \cos\theta,$$
where $\theta$ is the angle between the force and the displacement. Only the component 分量 of the force along the displacement does work.
Worked example. A child pulls a sledge $5.0\ \text{m}$ across the snow with a rope, using a force of $20\ \text{N}$ at $60°$ to the ground. Find the work done by the rope.
Unit: $\text{J} = \text{N m}$. Work is a scalar 标量.
Special cases:
force in the same direction as the motion ($\theta = 0$): $W = Fs$, positive work, energy 能量 given to the object.
force at right angles to the motion ($\theta = 90°$): $W = 0$. The normal contact force 支持力 on a car on a flat road does no work.
force opposite to the motion ($\theta = 180°$): $W = -Fs$, negative work, energy taken from the object (for example friction 摩擦力).
For an object moving up a slope at angle $\alpha$ to the horizontal 水平, the work done against gravity in rising a height $h$ is $mgh$, while the work done by a horizontal push over the slope length $L$ uses $\cos\alpha$.
Two multiple-choice tests of the definition: no work is done on an object that slides at constant velocity along a frictionless surface (no force along the motion), or on one that is simply held still (no distance moved); work is done when a force lifts it. And when a box is pushed at constant velocity across a rough floor, the work done by the push is $F \times d$ for the whole distance, however the path is split into stages.
Worked example. A block of mass $4.9\ \text{kg}$ is pushed at constant velocity up a rough slope of length $8.0\ \text{m}$ that rises $1.5\ \text{m}$, by a force of $12\ \text{N}$ acting along the slope. Find the work done against friction.
Constant velocity means no change in kinetic energy, so the work done by the push is shared between the gain in gravitational potential energy and the work done against friction. Work by the push: $12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$. Gain in GPE, using the vertical rise: $4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$. So the work done against friction is $96 - 72 = 24\ \text{J}$, and the friction force is $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$. Using the slope length in $mgh$ is the commonest error on this question.
Conservation of energy
Energy is never made or destroyed — it only changes from one form to another, or moves from one object to another. In a closed system 封闭系统, the total energy stays constant. This is conservation of energy 能量守恒, stated for the marks as: energy cannot be created or destroyed; it can only be transferred from one form to another (so the total energy of a closed system is constant).
When you write an energy equation, list every form the energy starts as and ends as. Common forms in this syllabus: kinetic, gravitational potential, elastic potential energy 弹性势能, electrical 电能, thermal, sound, chemical energy 化学能.
A ball rolling down a frictionless 无摩擦ramp 斜坡 turns gravitational potential energy 重力势能 into kinetic energy 动能: $mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$, so $v = \sqrt{2gh}$. With friction, some of this energy becomes thermal energy 热能 of the ramp and the air.
Worked example. A ball is released from rest at the top of a smooth ramp $1.2\ \text{m}$ high. Find its speed at the bottom (take $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).
All the gravitational potential energy becomes kinetic energy, so $v = \sqrt{2gh}$ (the mass cancels):
The same idea reads a graph. For a ball falling from height $H$ with air resistance negligible, the GPE falls in a straight line with height ($mgh$), the KE rises in a straight line ($mg(H - h)$), and the two add to the constant $mgH$ at every height.
The energy chain can pass through a spring. A block that hits a spring with kinetic energy $110\ \text{J}$ while sliding a little downhill, so that its GPE falls by a further $20\ \text{J}$ before the spring stops it, stores $110 + 20 = 130\ \text{J}$ of elastic potential energy at the greatest compression, if nothing is lost to friction. The spring's force–compression graph then gives the compression: the energy stored is the area under the line, $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$ for a spring that obeys Hooke's law (topic 6), so a maximum force of $2600\ \text{N}$ means $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$. At that instant the resultant force on the block is the spring force minus the component of the weight down the slope, and its acceleration follows from $F = ma$ (topic 3).
Efficiency
The efficiency 效率 of a system is
$$\text{efficiency} = \frac{\text{useful energy output}}{\text{total energy input}} \times 100\%.$$
The same idea with power:
$$\text{efficiency} = \frac{\text{useful power output}}{\text{total power input}} \times 100\%.$$
Efficiency is always less than 100% in a real system, because some input energy becomes "useless" forms — usually thermal energy. If a total energy $E$ is supplied and an amount $Q$ is wasted, the useful output is $E - Q$ and the efficiency is $(E - Q) / E$; a motor rated at $1.7\ \text{kW}$ input with efficiency $53\%$ delivers $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$ of useful output.
For an electric motor lifting a load with efficiency $\eta$ at voltage 电压$V$ and current 电流$I$, the useful output power is $\eta V I$. From this you can find a force, a lifting speed, or a tension 张力.
Worked example. An electric motor lifts a $50\ \text{kg}$ load at a steady $0.40\ \text{m s}^{-1}$ while drawing $250\ \text{W}$ of electrical power. Find its efficiency (take $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).
The useful output power is $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$, so
Worked example. A motor raises a block with a force of $240\ \text{N}$ through a vertical distance of $12\ \text{m}$ in $60\ \text{s}$. The input power to the motor is $900\ \text{W}$. Find the useful output power and the efficiency.
Work done on the block: $W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$. Useful output power: $P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$. Efficiency: $48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$. Most of the input goes into thermal energy in the motor and its cable. Turned round, a lift motor of useful output $20\ \text{kW}$ raising $1500\ \text{kg}$ through $20\ \text{m}$ takes $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$.
Русский
Ветряные турбины преобразуют кинетическую энергию ветра в электрическую энергию.
Работа, совершаемая силой
Работа совершается, когда сила перемещает точку своего приложения вдоль линии действия силы. Для определения на один балл запишите: совершённая работа равна произведению силы и перемещения в направлении этой силы. Работа постоянной силы $F$, вызывающей перемещение$s$, равна
$$W = F \cdot s \cdot \cos\theta,$$
где $\theta$ — угол между силой и перемещением. Работу совершает только составляющая силы, направленная вдоль перемещения.
Работу совершает только составляющая силы вдоль перемещения ($F\cos\theta$)
Пример решения задачи. Ребенок тянет сани $5.0\ \text{m}$ по снегу верёвкой, прикладывая силу $20\ \text{N}$ под углом $60°$ к земле. Найдите работу, совершаемую верёвкой.
Единица измерения: $\text{J} = \text{N m}$. Работа является скалярной величиной.
Частные случаи:
сила направлена в том же направлении, что и движение ($\theta = 0$): $W = Fs$, положительная работа, энергия передаётся в тело.
сила направлена под прямым углом к движению ($\theta = 90°$): $W = 0$. Сила нормальной реакции опоры, действующая на автомобиль по прямой дороге, не совершает работы.
сила направлена противоположно движению ($\theta = 180°$): $W = -Fs$, отрицательная работа, энергия отбирается от тела (например, трение).
Положительная работа ($W = +Fs$): сила направлена вдоль движения (сверху). Отрицательная работа ($W = -Fs$): сила направлена противоположно движению, например трение (снизу)
Для тела, движущегося вверх по склону под углом $\alpha$ к горизонту, работа против силы тяжести при подъёме на высоту $h$ равна $mgh$, а работа горизонтальной толкательной силы на длине склона $L$ использует $\cos\alpha$.
Два теста с множественным выбором определения: работа не совершается над телом, скользящим с постоянной скоростью по гладкой поверхности (нет силы вдоль движения), или над телом, просто удерживаемым неподвижным (нет перемещения); работа совершается, когда сила поднимает его. А когда ящик толкают с постоянной скоростью по шероховатому полу, работа толкательной силы за всё расстояние равна $F \times d$, независимо от того, как разбит путь на этапы.
Пример решения задачи. Брус массой $4.9\ \text{kg}$ толкают с постоянной скоростью вверх по шероховатому склону длиной $8.0\ \text{m}$, который поднимается на высоту $1.5\ \text{m}$, прикладывая силу $12\ \text{N}$ вдоль склона. Найдите работу против трения.
Ящик толкают вверх по шероховатому склону с постоянной скоростью: работа толкательной силы оплачивает прирост потенциальной энергии гравитации, для которого нужна только вертикальная высота $h$, и работу против трения на всей длине $L$
Постоянная скорость означает отсутствие изменения кинетической энергии, поэтому работа толкательной силы распределяется между приростом гравитационной потенциальной энергии и работой против трения. Работа толкательной силы: $12 \times 8.0 = 96\ \text{J}$. Прирост ПЭГ, используя вертикальный подъём: $4.9 \times 9.81 \times 1.5 = 72\ \text{J}$. Следовательно, работа против трения равна $96 - 72 = 24\ \text{J}$, а сила трения равна $24 / 8.0 = 3.0\ \text{N}$. Использование длины склона в $mgh$ — наиболее частая ошибка в этом задании.
Закон сохранения энергии
Энергия никогда не создаётся и не уничтожается — она лишь переходит из одной формы в другую или перемещается от одного тела к другому. В замкнутой системе полная энергия остаётся постоянной. Это закон сохранения энергии, формулируемый для экзаменационных баллов так: энергия не может быть создана или уничтожена; она может только переходить из одной формы в другую (поэтому полная энергия замкнутой системы постоянна).
При записи уравнения энергии перечислите все формы, которые энергия принимает в начале и в конце. Распространённые формы в данной программе: кинетическая, гравитационная потенциальная, упругая потенциальная энергия, электрическая, тепловая, звуковая, химическая энергия.
Мяч, катящийся вниз по гладкойнаклонной плоскости, преобразует гравитационную потенциальную энергию в кинетическую: $mgh = \tfrac{1}{2} m v^{2}$, следовательно $v = \sqrt{2gh}$. При наличии трения часть этой энергии превращается в тепловую энергию наклонной плоскости и воздуха.
На гладкой наклонной плоскости ПЭГ переходит в КЭ, пока полная энергия остаётся постоянной
Разобранный пример. Шар отпущен без начальной скорости с вершины гладкого ската высотой $1.2\ \text{m}$. Найдите его скорость у основания (примите $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).
Вся гравитационная потенциальная энергия переходит в кинетическую, поэтому $v = \sqrt{2gh}$ (масса сокращается):
Та же идея читается по графику. Для мяча, падающего с высоты $H$ при пренебрежимо малом сопротивлении воздуха, ПЭГ убывает линейно с высотой ($mgh$), КЭ возрастает линейно ($mg(H - h)$), и они в сумме дают константу $mgH$ на любой высоте.
Падающий мяч: ПЭГ и КЭ изменяются линейно с высотой, а их сумма постоянна
Цепочка передачи энергии может проходить через пружину. Блок, ударяющий о пружину с кинетической энергией $110\ \text{J}$ при скольжении немного вниз по склону, так что его потенциальная энергия в гравитационном поле уменьшается ещё на $20\ \text{J}$ до того, как пружина остановит его, накапливает $110 + 20 = 130\ \text{J}$ упругой потенциальной энергии в момент максимальной деформации, если нет потерь на трение. График зависимости силы пружины от её деформации затем позволяет определить величину деформации: накопленная энергия равна площади под линией, $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$ для пружины, подчиняющейся закону Гука (тема 6), поэтому максимальная сила $2600\ \text{N}$ означает $x_{0} = 2 \times 130 / 2600 = 0.10\ \text{m}$. В этот момент равнодействующая сила, действующая на блок, равна силе пружины минус составляющая силы тяжести вдоль склона, а ускорение определяется из $F = ma$ (тема 3).
Накопленная в пружине энергия равна площади под её графиком зависимости силы от деформации: $\tfrac{1}{2} F_{0} x_{0}$, что равно $\tfrac{1}{2} k x_{0}^{2}$
КПД
КПД системы равен
$$\text{efficiency} = \frac{\text{useful energy output}}{\text{total energy input}} \times 100\%.$$
Та же идея с мощностью:
$$\text{efficiency} = \frac{\text{useful power output}}{\text{total power input}} \times 100\%.$$
В реальной системе КПД всегда меньше 100%, потому что часть входной энергии превращается в «бесполезные» формы — обычно в тепловую энергию. Если подведено суммарное количество энергии $E$, а потеряно количество $Q$, то полезный выход составляет $E - Q$, а КПД равен $(E - Q) / E$; двигатель с входной мощностью $1.7\ \text{kW}$ и КПД $53\%$ выдает полезную мощность $0.53 \times 1.7 = 0.90\ \text{kW}$.
КПД: только часть входной энергии выходит как полезный выход; остальное теряется, обычно в виде тепла
Для электрического двигателя, поднимающего груз с КПД $\eta$ при напряжении$V$ и силе тока$I$, полезная выходная мощность равна $\eta V I$. Из этого можно найти силу, скорость подъема или натяжение.
Разбор примера. Электрический двигатель поднимает груз массой $50\ \text{kg}$ с постоянной скоростью $0.40\ \text{m s}^{-1}$, потребляя электрическую мощность $250\ \text{W}$. Найдите его КПД (примите $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).
Полезная выходная мощность равна $P = mgv = 50 \times 9.81 \times 0.40 = 196\ \text{W}$, поэтому
Разбор примера. Двигатель поднимает блок силой $240\ \text{N}$ на вертикальную высоту $12\ \text{m}$ за время $60\ \text{s}$. Входная мощность двигателя составляет $900\ \text{W}$. Найдите полезную выходную мощность и КПД.
Совершенная работа над блоком: $W = Fd = 240 \times 12 = 2880\ \text{J}$. Полезная выходная мощность: $P = W / t = 2880 / 60 = 48\ \text{W}$. КПД: $48 / 900 \times 100\% = 5.3\%$. Большая часть входной энергии преобразуется в тепловую энергию в двигателе и его кабеле. В обратном направлении: подъемник с полезной выходной мощностью $20\ \text{kW}$, поднимающий груз $1500\ \text{kg}$ на высоту $20\ \text{m}$, потребляет $t = mgh / P = 1500 \times 9.81 \times 20 / 20\,000 = 15\ \text{s}$.
Explore · Исследовать
Energy flow & efficiency · Энергопоток и КПД
The input energy divides into useful work and wasted energy; efficiency = useful ÷ input, and useful + wasted always equals the input. · Входная энергия делится на полезную работу и потраченную энергию; КПД = полезная ÷ входная, а полезная + потраченная всегда равны входной.
Explore · Исследовать
Work, energy & power · Работа, энергия и мощность
PE + KE = constant · PE + KE = константа
Work transfers energy; as it falls, PE becomes KE with the total fixed. · Работа переносит энергию; при падении потенциальная энергия (PE) превращается в кинетическую (KE), общая остается неизменной.
Power 功率 is the rate of doing work, or the rate of transferring energy:
$$P = \frac{W}{t} = \frac{\Delta E}{\Delta t}.$$
Unit: $\text{W} = \text{J s}^{-1}$. Power is a scalar.
Power, force and velocity
For an object moving at velocity 速度$v$ with a force $F$ along the direction of motion, in a short time $\Delta t$ the displacement is $v\,\Delta t$ and the work done is $F v\,\Delta t$. Dividing by $\Delta t$:
$$P = F v.$$
This is one of the most useful results in mechanics. A "derive $P = Fv$" answer needs exactly those three lines: $P = W / t$, $W = Fs$ for a force along the motion, and $s / t = v$; then use it to solve problems in which a vehicle or a load moves at constant speed.
Worked example. A car travels at a steady $25\ \text{m s}^{-1}$ against a total resistive force of $600\ \text{N}$. Find the output power of its engine.
At constant speed the driving force equals the resistive force, so
For a car at constant velocity $v$ on a flat road, the engine power must balance the total resistive force: $P = F_{\text{resist}} \cdot v$. If the drag 阻力 grows with $v^{2}$, doubling the speed roughly quadruples the power needed.
For lifting a weight 重力$mg$ straight up at constant speed $v$, the useful output power is $P = mg \cdot v$.
For an aircraft hovering at a fixed height, the lift force equals the weight, and a large power is needed because air must be pushed downwards all the time.
A crane raising $600\ \text{kg}$ at a steady $12\ \text{m}$ per minute lifts at $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$, so its useful output power is $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$. Convert the speed to $\text{m s}^{-1}$ first.
A sailboat pushed by a constant wind force at constant velocity must also feel an equal resistive force from the water: constant velocity means zero resultant force, so the wind's power $Fv$ is all going into work against the water.
Русский
Мощность — это скорость совершения работы или скорость передачи энергии:
Одна и та же работа, выполненная за меньшее время, означает большую мощность
$$P = \frac{W}{t} = \frac{\Delta E}{\Delta t}.$$
Единица измерения: $\text{W} = \text{J s}^{-1}$. Мощность является скалярной величиной.
Мощность, сила и скорость
Для тела, движущегося со скоростью$v$ под действием силы $F$ вдоль направления движения, за короткий промежуток времени $\Delta t$ перемещение составит $v\,\Delta t$, а совершенная работа будет равна $F v\,\Delta t$. Разделив на $\Delta t$:
$$P = F v.$$
Это один из самых полезных результатов в механике. Ответ типа «выведите $P = Fv$» требует именно этих трех строк: $P = W / t$, $W = Fs$ для силы, направленной вдоль движения, и $s / t = v$; затем используйте его для решения задач, в которых транспортное средство или груз движется с постоянной скоростью.
Разбор примера. Автомобиль движется с постоянной скоростью $25\ \text{m s}^{-1}$ против общей силы сопротивления $600\ \text{N}$. Найдите выходную мощность его двигателя.
При постоянной скорости движущая сила равна силе сопротивления, поэтому
Для автомобиля, движущегося с постоянной скоростью $v$ по горизонтальной дороге, мощность двигателя должна уравновешивать полную силу сопротивления: $P = F_{\text{resist}} \cdot v$. Если сопротивление воздуха растет пропорционально квадрату скорости $v^{2}$, удвоение скорости примерно четверекратно увеличивает необходимую мощность.
При подъеме груза весом $mg$ прямо вверх с постоянной скоростью $v$ полезная выходная мощность равна $P = mg \cdot v$.
Для самолета, зависшего на фиксированной высоте, подъемная сила равна весу, и требуется большая мощность, так как воздух должен постоянно толкаться вниз.
Кран, поднимающий груз $600\ \text{kg}$ со скоростью $12\ \text{m}$ в минуту, поднимает его со скоростью $v = 0.20\ \text{m s}^{-1}$, поэтому его полезная выходная мощность равна $mgv = 600 \times 9.81 \times 0.20 = 1.2\ \text{kW}$. Сначала переведите скорость в $\text{m s}^{-1}$.
Парусная лодка, движущаяся под действием постоянной силы ветра с постоянной скоростью, также испытывает равную силу сопротивления со стороны воды: постоянная скорость означает нулевую равнодействующую силу, поэтому мощность ветра $Fv$ полностью идет на совершение работы против сопротивления воды.
*Гидроэлектростанция рассчитывается в мегаваттах: энергия запасов воды, деленная на время, необходимое для ее выпуска
5.2
Gravitational potential energy · Гравитационная потенциальная энергия
Syllabus · Программа
English
derive, using $W = Fs$, the formula $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ for gravitational potential energy changes in a uniform gravitational field
recall and use the formula $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ for gravitational potential energy changes in a uniform gravitational field
derive, using the equations of motion, the formula for kinetic energy$E_{\text{K}} = \frac{1}{2}mv^2$
recall and use $E_{\text{K}} = \frac{1}{2}mv^2$
Русский
выводить, используя $W = Fs$, формулу $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ для изменений гравитационной потенциальной энергии в однородном гравитационном поле
вспоминать и использовать формулу $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$ для изменений гравитационной потенциальной энергии в однородном гравитационном поле
выводить, используя уравнения движения, формулу для кинетической энергии$E_{\text{K}} = \frac{1}{2}mv^2$
знать наизусть и использовать $E_{\text{K}} = \frac{1}{2}mv^2$
Source: Cambridge International syllabus · Источник: Программа Cambridge International
English
Energy exchange in a pendulum
In a uniform gravitational field (close to a planet's surface), the change in gravitational potential energy of mass 质量$m$ rising or falling through a height $\Delta h$ is
$$\Delta E_{\text{P}} = m g \Delta h.$$
Where it comes from
The work done against gravity to raise a mass $m$ slowly (no change in kinetic energy) through height $\Delta h$ equals the gravitational potential energy gained:
the gravitational force on the mass is $mg$ downwards,
the force needed to lift it slowly is $mg$ upwards,
the work done by this force is $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
this work becomes $\Delta E_{\text{P}}$.
So $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$. To use it you need $m$ and $\Delta h$ (and $g$). You do not need speed or time. The two-mark derivation wants the same four lines, with the condition stated: the block is raised at constant speed, so the lifting force equals the weight $mg$, and the work done by that force over the vertical distance $\Delta h$ is $mg\Delta h$, which is the gain in gravitational potential energy. A $100\ \text{g}$ object falling $10\ \text{m}$ loses $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$, about $10\ \text{J}$; the mass must be in kilograms.
Русский
*Обмен энергией в маятнике
В однородном гравитационном поле (вблизи поверхности планеты) изменение гравитационной потенциальной энергии массы$m$, поднимающейся или опускающейся на высоту $\Delta h$, равно
$$\Delta E_{\text{P}} = m g \Delta h.$$
Откуда она берется
Работа, совершенная против силы тяжести для медленного подъема массы $m$ (без изменения кинетической энергии) на высоту $\Delta h$, равна приобретенной гравитационной потенциальной энергии:
Гравитационная сила, действующая на массу, равна $mg$, направлена вниз;
необходимая для медленного подъема сила равна $mg$, направлена вверх,
работа, совершенная этой силой, равна $W = F \cdot s = mg \cdot \Delta h$,
эта работа становится $\Delta E_{\text{P}}$.
Так $\Delta E_{\text{P}} = mg \Delta h$. Чтобы использовать его, вам нужны $m$ и $\Delta h$ (и $g$). Скорость или время не требуются. Вывод на два балла требует тех же четырех строк, с указанием условия: блок поднимается с постоянной скоростью, поэтому подъемная сила равна весу $mg$, а работа этой силы на вертикальном расстоянии $\Delta h$ составляет $mg\Delta h$, что равно приросту гравитационной потенциальной энергии. Тело массой $100\ \text{g}$, падающее на высоту $10\ \text{m}$, теряет энергию $0.100 \times 9.81 \times 10 = 9.8\ \text{J}$, примерно равную $10\ \text{J}$; масса должна быть выражена в килограммах.
Гравитационная ПЭ зависит только от набранной высоты, а не от пройденного путиПоезд американских горок тянется на подъем: работа против силы тяжести запасается в виде гравитационной потенциальной энергии
5.2
Kinetic energy · Кинетическая энергия
English
The kinetic energy of an object of mass $m$ moving at speed $v$ is
$$E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}.$$
Where it comes from
Apply a resultant force $F$ to a mass $m$ that starts at rest. It speeds up evenly from $0$ to $v$ over a displacement $s$. From $v^{2} = u^{2} + 2as$ with $u = 0$,
$$s = \frac{v^{2}}{2a}.$$
The work done on the mass is
$$W = F \cdot s = m a \cdot \frac{v^{2}}{2a} = \tfrac{1}{2} m v^{2}.$$
All this work becomes kinetic energy, so $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$. In the exam, state the assumptions as you go: the object starts from rest, the force is constant, so the acceleration is uniform, and $F = ma$ is Newton's second law.
Because $E_{\text{K}} \propto v^{2}$, quadrupling the speed multiplies the kinetic energy by sixteen: an object with $1500\ \text{J}$ at $10\ \text{m s}^{-1}$ has $24\,000\ \text{J}$ at $40\ \text{m s}^{-1}$. The same square is why a stopping force is found from energy: a ball of mass $1.2\ \text{kg}$ moving at $3.0\ \text{m s}^{-1}$ that is stopped by a cushion over $0.020\ \text{m}$ loses $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$, so the average force on it is $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$: the work done by the cushion equals the kinetic energy lost.
Kinetic energy and momentum
Combining $p = mv$ and $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:
$$E_{\text{K}} = \frac{p^{2}}{2m}.$$
This is handy when the momentum 动量 is given but not the velocity. For a momentum change from $p_{1}$ to $p_{2}$ at constant mass, the change in kinetic energy is $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$.
Русский
Кинетическая энергия тела массой $m$, движущегося со скоростью $v$, равна
$$E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}.$$
Откуда она берется
Приложите равнодействующую силу $F$ к массе $m$, которая начинает движение из состояния покоя. Она разгоняется равномерно от $0$ до $v$ на перемещении $s$. Из формулы $v^{2} = u^{2} + 2as$ с учетом $u = 0$,
$$s = \frac{v^{2}}{2a}.$$
Работа, совершенная над массой, равна
$$W = F \cdot s = m a \cdot \frac{v^{2}}{2a} = \tfrac{1}{2} m v^{2}.$$
Вся эта работа превращается в кинетическую энергию, поэтому $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$. На экзамене указывайте допущения по ходу дела: тело начинает движение из состояния покоя, сила постоянна, следовательно, ускорение равномерное, а $F = ma$ — это второй закон Ньютона.
Поскольку $E_{\text{K}} \propto v^{2}$, увеличение скорости в четыре раза умножает кинетическую энергию на шестнадцать: тело с кинетической энергией $1500\ \text{J}$ при скорости $10\ \text{m s}^{-1}$ будет иметь энергию $24\,000\ \text{J}$ при скорости $40\ \text{m s}^{-1}$. То же квадратичное соотношение используется для нахождения тормозной силы через энергию: мяч массой $1.2\ \text{kg}$, движущийся со скоростью $3.0\ \text{m s}^{-1}$, останавливается подушкой безопасности за расстояние $0.020\ \text{m}$, теряя энергию $\tfrac{1}{2} \times 1.2 \times 3.0^{2} = 5.4\ \text{J}$, поэтому средняя сила, действующая на него, составляет $5.4 / 0.020 = 270\ \text{N}$: работа подушки равна потерянной кинетической энергии.
Кинетическая энергия и импульс
Объединив формулы $p = mv$ и $E_{\text{K}} = \tfrac{1}{2} m v^{2}$:
$$E_{\text{K}} = \frac{p^{2}}{2m}.$$
Это удобно, когда дан импульс, но не скорость. При изменении импульса от $p_{1}$ до $p_{2}$ при постоянной массе изменение кинетической энергии равно $(p_{2}^{2} - p_{1}^{2}) / (2m)$.
Прыгун с шестом: кинетическая энергия разгона запасается в согнутом шесте, затем преобразуется в высоту
Explore · Исследовать
Kinetic & potential energy · Кинетическая и потенциальная энергия
PE + KE = constant · PE + KE = константа
Potential energy turns into kinetic energy — the total never changes. · Потенциальная энергия превращается в кинетическую — общая величина никогда не меняется.
5.2
Using energy methods · Применение методов сохранения энергии
English
A useful plan for problems that mix forces and energy:
Find the start and end states. Write the kinetic and potential energies in each.
List any work done by outside forces (friction, a push). Friction usually takes energy out; a push can add it.
Conservation of energy: $E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$.
Examples:
A box pushed at constant velocity up a ramp of length $L$ rising by $h$: $E_{\text{K}}$ does not change, so the work done by the push goes into $\Delta E_{\text{P}}$ plus the work done against friction.
A block sliding into a spring 弹簧 with kinetic energy $E_{\text{K}}$ on a frictionless surface: at greatest compression 压缩$x$, all the kinetic energy has become elastic potential energy $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ (where $k$ is the spring constant 劲度系数).
A ball dropped from height $h_{1}$ that bounces to height $h_{2}$: the ratio $h_{2}/h_{1}$ is the fraction of mechanical energy kept, $h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$.
A projectile 抛体 thrown to the same height at different angles: the final speed is the same (only the height matters); use components to get its direction.
A bungee jumper 蹦极者: from the platform to the point where the cord goes taut, GPE becomes KE; from there the cord stretches and takes energy as elastic potential energy, so the KE reaches its maximum where the cord's pull first equals the weight, then falls to zero at the lowest point, where GPE lost $=$ elastic PE stored (plus any thermal energy).
Русский
Полезный план решения задач, сочетающих силы и энергию:
Определите начальное и конечное состояния. Запишите кинетические и потенциальные энергии для каждого из них.
Перечислите работу внешних сил (трение, толчок). Трение обычно выводит энергию из системы; толчок может ее добавить.
Закон сохранения энергии: $E_{\text{start}} + W_{\text{in}} = E_{\text{end}} + W_{\text{lost as heat etc.}}$.
Примеры:
Ящик, толкаемый с постоянной скоростью вверх по рампе длиной $L$, поднимающейся на высоту $h$: кинетическая энергия $E_{\text{K}}$ не изменяется, поэтому работа толчка идет на увеличение гравитационной потенциальной энергии $\Delta E_{\text{P}}$ плюс работа против трения.
Блок скользит в пружину с кинетической энергией $E_{\text{K}}$ по гладкой поверхности: в момент максимальной компрессии$x$ вся кинетическая энергия переходит в упругую потенциальную энергию $\tfrac{1}{2} k x^{2}$ (где $k$ — жесткость пружины).
Мяч, брошенный с высоты $h_{1}$ и отскочивший до высоты $h_{2}$: отношение $h_{2}/h_{1}$ является долей сохраненной механической энергии $h_{2}/h_{1} = (v_{\text{up}}/v_{\text{down}})^{2}$.
Снаряд, брошенный на одну и ту же высоту под разными углами: конечная скорость одинакова (важна только высота); используйте компоненты для определения направления.
Банджи-джампер: от платформы до точки, где веревка натягивается, ГПЭ переходит в КЭ; оттуда веревка растягивается и поглощает энергию в виде упругой потенциальной энергии, поэтому КЭ достигает максимума там, где натяжение веревки впервые уравновешивает вес, затем падает до нуля в нижней точке, где потерянная ГПЭ равна накопленной упругой ПЭ $=$ (плюс любая тепловая энергия).
Кинетическая энергия блока превращается в упругую потенциальную энергию при сжатии пружины
Explore · Исследовать
Conservation of energy · Закон сохранения энергии
Drop the mass and watch GPE turn into KE. With no friction the total energy stays the same — that's the energy method. · Отпустите массу и наблюдайте превращение потенциальной энергии GPE в кинетическую KE. При отсутствии трения полная энергия остается неизменной — это метод сохранения энергии.
5.2
Definitions the examiner accepts · Определения, принимаемые экзаменатором
English
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
Term
Definition
work done by a force
the product of the force and the distance moved in the direction of the force
principle of conservation of energy
energy cannot be created or destroyed, only transferred from one form to another, so the total energy of a closed system is constant
efficiency
the ratio of useful energy (or power) output from a system to the total energy (or power) input, usually as a percentage
power
the work done per unit time, or the rate at which energy is transferred
gravitational potential energy
the energy an object has because of its position in a gravitational field
kinetic energy
the energy an object has because of its motion
elastic potential energy
the energy stored in an object that has been stretched or compressed
Русский
Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.
Термин
Определение
работа силы
произведение силы и перемещения в направлении действия силы
закон сохранения энергии
энергия не создается и не уничтожается, а лишь перераспределяется между формами, поэтому полная энергия замкнутой системы остается постоянной
КПД
отношение полезной выходной энергии (или мощности) системы к полной входной энергии (или мощности), обычно в процентах
мощность
работа, совершенная за единицу времени, или скорость передачи энергии
гравитационная потенциальная энергия
энергия, которой обладает тело благодаря своему положению в гравитационном поле
кинетическая энергия
энергия, которой обладает тело благодаря движению
упругая потенциальная энергия
энергия, запасенная в теле, которое было растянуто или сжато
5.2
Exam tips · Советы для экзамена
English
Work $=$ force $\times$ distance moved in the direction of the force — use $Fs\cos\theta$ when they are at an angle.
Use conservation of energy: loss in GPE $=$ gain in KE ($+$ work done against resistance).
Power $=$ work $/$ time $= Fv$; efficiency $=$ useful output $\div$ total input.
GPE uses the vertical height gained, not the distance along a slope.
Common mistakes
Giving the change in height as the answer to a change-in-energy question. Finish the calculation: $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$.
Using the distance along a slope as the height in $mg\Delta h$, or using mass where weight is needed. Use the vertical height gained, and check whether the quantity wanted is $m$ in kg or $W$ in N.
Putting the resistive force into $P = Fv$ for a car that is accelerating. $F$ is the driving force; only at constant speed does it equal the resistive force.
Efficiency above 100%, or efficiency as output divided by wasted. It is useful output divided by total input, and the total input is always the larger number.
Reading a force–extension graph's gradient when the question wants the energy. Energy stored is the area under the line, not its slope.
Русский
Работа $=$ сила $\times$ перемещение в направлении силы — используйте $Fs\cos\theta$, если они находятся под углом.
Используйте закон сохранения энергии: убыль ГПЭ $=$ прирост КЭ ($+$ работа против сопротивления).
Мощность $=$ работа $/$ время $= Fv$; КПД $=$ полезный выход $\div$ полный вход.
Для ГПЭ используется вертикальная высота набора, а не расстояние вдоль склона.
Распространенные ошибки
Указание изменения высоты в ответ на вопрос об изменении энергии. Завершите расчет: $\Delta E_{\text{P}} = mg\Delta h$.
Использование расстояния вдоль наклонной плоскости вместо высоты в $mg\Delta h$ или использование массы там, где требуется вес. Используйте вертикальную высоту подъема и проверьте, требуется ли величина в $m$ кг или в $W$ Н.
Включение силы сопротивления в $P = Fv$ для автомобиля, разгоняющегося с ускорением. $F$ — это движущая сила; она равна силе сопротивления только при постоянной скорости.
КПД выше 100% или расчет КПД как отношение выходной мощности к потерям. Правильный КПД — это полезная мощность, деленная на полную входную мощность, причем полная входная мощность всегда является большим числом.
Определение градиента графика зависимости силы от удлинения, когда в вопросе требуется энергия. Запасенная энергия равна площади под линией, а не ее наклону.
Interactive lessons on this topic · Интерактивные уроки по этой теме
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Пройдите его шаг за шагом с упражнениями мгновенной проверки.
Pick one and the site follows you — notes, papers, videos and practice all open on it. · Выберите один, и сайт будет вести вас — конспекты, работы, видео и практика откроются там.
Type to search notes, lessons, code, vocabulary and past-paper questions across every subject. · Введите запрос для поиска заметок, уроков, кода, словаря и вопросов с реальных экзаменов по всем предметам.
*Гидроэлектростанция рассчитывается в мегаваттах: энергия запасов воды, деленная на время, необходимое для ее выпуска
