Similar shapes · Figuras semelhantes
| English | Português |
|---|---|
| similar/ˈsɪmɪlə/ | similar |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | fator de escala |
| congruent/ˈkɒŋɡruːənt/ | congruentes |
The architect's blueprint
- An architect draws a building at 1:100 scale. Every measurement on the plan is $\dfrac{1}{100}$ of the real thing.
- The drawing and the building are similar 相似 — same shape, different size.
O projeto do arquiteto
- Um arquiteto desenha um prédio na escala 1:100. Cada medida no plano é $\dfrac{1}{100}$ da realidade.
- O desenho e o prédio são semelhantes — mesma forma, tamanho diferente.
What makes shapes similar?
- Two shapes are similar if they have the same angles and all sides are multiplied by the same scale factor 比例因子 $k$.
- All circles are similar. All equilateral triangles are similar. Not all rectangles are similar.
- Shapes that are the exact same size and shape are called congruent 全等.
A triangle with sides $3, 4, 5$ and one with sides $6, 8, 10$: scale factor $k = 2$. Same angles ($90^{\circ}$), sides doubled. They are similar.
The three angles of a triangle add up to 180 degrees
O que torna as formas semelhantes?
- Duas figuras são semelhantes se tiverem os mesmos ângulos e todos os lados multiplicados pelo mesmo fator de escala $k$.
- Todos os círculos são semelhantes. Todos os triângulos equiláteros são semelhantes. Nem todos os retângulos são semelhantes.
- Figuras que são exatamente do mesmo tamanho e formato são chamadas congruentes.
Um triângulo com lados $3, 4, 5$ e outro com lados $6, 8, 10$: fator de escala $k = 2$. Mesmos ângulos ($90^{\circ}$), lados dobrados. São semelhantes.
Os três ângulos de um triângulo somam 180 graus
Similar shapes — enlargement · Figuras semelhantes — ampliação
Similar shapes are the same shape but a different size. An enlargement scales every length by the same factor; angles stay the same. · Figuras semelhantes têm a mesma forma mas tamanho diferente. Uma ampliação escala todos os comprimentos pelo mesmo fator; os ângulos permanecem iguais.
Similar shapes have the same angles. · Figuras semelhantes têm os mesmos ângulos.
Similar shapes keep all angles equal; only the side lengths scale. · Figuras semelhantes mantêm todos os ângulos iguais; apenas os comprimentos dos lados escalam.
Two similar triangles have sides 5 cm and 15 cm. What is the scale factor k? · Dois triângulos semelhantes têm lados 5 cm e 15 cm. Qual é o fator de escala k?
k = 15/5 = 3.
Shapes that are exactly the same size AND shape are called ______. · Formas que são exatamente do mesmo TAMANHO E FORMA são chamadas ______.
Congruent shapes are identical in both size and shape (scale factor = 1). · Formas congruentes são idênticas tanto em tamanho quanto em forma (fator de escala = 1).
Area and volume scale differently (Extended) (Extended)
- Lengths scale by $k$, but:
Don't scale area like length. If the scale factor is $2$, the area ratio is $2^2 = 4$, not $2$. And the volume ratio is $2^3 = 8$.
Área e volume escalam diferentemente (Ampliado) (Ampliado)
- Comprimentos escalam por $k$, mas:
Não escale área como comprimento. Se o fator de escala for $2$, a razão de áreas é $2^2 = 4$, não $2$. E a razão de volumes é $2^3 = 8$.
Two similar shapes have lengths in the ratio 2:3. The area ratio is 4:b. What is b? · Duas figuras semelhantes têm comprimentos na razão 2:3. A razão de áreas é 4:b. Qual é b?
Area scales by k²: 2²:3² = 4:9, so b = 9. · Área escala por k²: 2²:3² = 4:9, logo b = 9.
If the scale factor is 4, the area ratio is k²:1. What is k²? · Se o fator de escala é 4, a razão de áreas é k²:1. Qual é k²?
4² = 16. Area scales as the square of the length scale factor. · 4² = 16. A área escala ao quadrado do fator de escala linear.
Worked example
- Two similar solids have lengths in the ratio $2:3$.
- Area ratio $= 2^2:3^2 = 4:9$.
- Volume ratio $= 2^3:3^3 = 8:27$.
- If the smaller has volume $40$ cm³: larger $= 40 \times \dfrac{27}{8} = 135$ cm³.
Exemplo resolvido
- Dois sólidos semelhantes têm comprimentos na razão $2:3$.
- Razão de áreas $= 2^2:3^2 = 4:9$.
- Razão de volumes $= 2^3:3^3 = 8:27$.
- Se o menor tem volume $40$ cm³: o maior $= 40 \times \dfrac{27}{8} = 135$ cm³.
Two similar solids have lengths 2:3; the smaller has volume 40 cm³. Find the larger volume (cm³). · Dois sólidos semelhantes têm comprimentos 2:3; o menor tem volume 40 cm³. Encontre o volume maior (cm³).
Volume ratio 8:27, so 40 × 27/8 = 135 cm³. · Razão de volumes 8:27, logo 40 × 27/8 = 135 cm³.
Fun fact
- The surface area of a sphere scales as $r^2$, but its volume scales as $r^3$. That's why elephants need big ears (surface area for cooling) while mice don't — volume grows faster than surface area.
Two squares are always similar — same angles, sides scaled by a factor. Here the scale factor is $2$, so the area ratio is $4$.
Dado curioso
- A área superficial de uma esfera escala como $r^2$, mas seu volume escala como $r^3$. É por isso que elefantes precisam de orelhas grandes (área superficial para resfriar) enquanto camundongos não — o volume cresce mais rápido que a área superficial.
Dois quadrados sempre são semelhantes — mesmos ângulos, lados escalados por um fator. Aqui o fator de escala é $2$, então a razão de áreas é $4$.
Find a missing corresponding length
- Corresponding sides 4 cm and 10 cm give $k=10/4=2.5$ from small to large. A 6 cm side therefore becomes $L=kl=2.5(6)=15$ cm.
- In reverse, a 20 cm large side comes from $l=L/k=20/2.5=8$ cm. Core uses length ratios; Extended also uses area and volume ratios.
Encontrar um comprimento correspondente faltante
- Lados correspondentes de 4 cm e 10 cm indicam $k=10/4=2.5$ de pequeno para grande. Um lado de 6 cm torna-se portanto $L=kl=2.5(6)=15$ cm.
- Ao contrário, um lado grande de 20 cm vem de $l=L/k=20/2.5=8$ cm. Core usa razões de comprimento; Ampliado também usa razões de área e volume.
Similar shapes have scale factor 2.5 from small to large. Find the small side corresponding to 20 cm. · Figuras semelhantes têm fator de escala 2.5 do pequeno para o grande. Encontre o lado pequeno correspondente a 20 cm.
Reverse the enlargement: 20 / 2.5 = 8 cm. · Inverta a ampliação: 20 / 2.5 = 8 cm.
You've got it
- similar = same angles, sides $\times$ scale factor $k$
- area scales by $k^2$, volume scales by $k^3$
- lengths $2:3 \Rightarrow$ areas $4:9 \Rightarrow$ volumes $8:27$
Entendeu?
- semelhante = mesmos ângulos, lados $\times$ fator de escala $k$
- área escala por $k^2$, volume escala por $k^3$
- comprimentos $2:3 \Rightarrow$ áreas $4:9 \Rightarrow$ volumes $8:27$