Circles — parts and theorems · Círculos — partes e teoremas
| English | Português |
|---|---|
| radius/ˈreɪdɪəs/ | raio |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | diâmetro |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | circunferência |
| chord/kɔːd/ | corda |
| tangent/ˈtændʒənt/ | tangente |
| arc/ɑːk/ | arco |
| sector/ˈsektə/ | setorial |
| segment/ˈseɡmənt/ | segmento |
| cyclic quadrilateral/ˈsaɪklɪk ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | quadrilátero cíclico |
The wheel that changed the world
- The circle is the most perfect shape in nature — every point on its edge is the same distance from the centre.
- Ancient mathematicians discovered remarkable properties hidden in this simple shape.
A roda que mudou o mundo
- O círculo é a forma mais perfeita na natureza — cada ponto em sua borda está à mesma distância do centro.
- Matemáticos antigos descobriram propriedades notáveis escondidas nesta forma simples.
The parts of a circle
- Radius 半径: centre to edge. Diameter 直径: right across ($= 2r$). Circumference 圆周: the distance round.
- Chord 弦: a line joining two points on the circle. Tangent 切线: touches at exactly one point.
- Arc 弧: part of the circumference. Sector 扇形: a slice between two radii. Segment 弓形: the region cut off by a chord.
A diameter is a special chord — the longest possible one, passing through the centre.
As partes de um círculo
- Raio: do centro à borda. Diâmetro: através do centro ($= 2r$). Circunferência: a distância ao redor.
- Corda: uma linha que une dois pontos na circunferência. Tangente: toca em exatamente um ponto.
- Arco: parte da circunferência. Setor circular: uma fatia entre dois raios. Segmento circular: a região cortada por uma corda.
Um diâmetro é uma corda especial — a mais longa possível, passando pelo centro.
Arc and sector · Arco e setor
Drag the angle and radius to see the arc · arco (part of the circumference) and the sector (pie slice) it cuts off. · Arraste o ângulo e o raio para ver o arco (parte da circunferência) e o setor (fatia de pizza) que ele delimita.
Match each circle part to its meaning. · Combine cada parte do círculo com seu significado.
A chord joins two points; a tangent touches once; a sector is a slice between radii. · Uma corda une dois pontos; uma tangente toca uma vez; um setor é uma fatia entre raios.
Circle theorems (Core)
- The angle in a semicircle is $90^{\circ}$ (an angle standing on a diameter).
- The angle between a tangent and a radius is $90^{\circ}$.
The main parts of a circle; a chord joins two points, a tangent touches at just one
Teoremas do círculo (Básico)
- O ângulo num semicírculo é $90^{\circ}$ (um ângulo assentado sobre um diâmetro).
- O ângulo entre uma tangente e um raio é $90^{\circ}$.
As principais partes de um círculo; uma corda une dois pontos, uma tangente toca em apenas um
The angle in a semicircle is how many degrees? · O ângulo num semicírculo quantos graus tem?
An angle standing on a diameter is always 90°. · Um ângulo sustentado num diâmetro é sempre 90°.
A tangent to a circle meets the radius at 90°. · Uma tangente a um círculo encontra o raio em 90°.
The tangent is always perpendicular to the radius at the point of contact. · A tangente é sempre perpendicular ao raio no ponto de contato.
Circle theorems (Extended)
- The angle at the centre is twice the angle at the circumference (same arc).
- Angles in the same segment are equal.
- Opposite angles of a cyclic quadrilateral 圆内接四边形 add up to $180^{\circ}$.
The angle at the centre is always twice the angle at the circumference for the same arc.
Same arc only. The "angle at centre = 2 × angle at circumference" rule only works when both angles subtend the same arc. Different arcs don't follow this rule.
Teoremas do círculo (Ampliado)
- O ângulo no centro é duas vezes o ângulo na circunferência (mesmo arco).
- Ângulos no mesmo segmento são iguais.
- Os ângulos opostos de um quadrilátero cíclico somam $180^{\circ}$.
O ângulo no centro é sempre duas vezes o ângulo na circunferência para o mesmo arco.
Apenas arco igual. A regra "ângulo no centro = 2 × ângulo na circunferência" só funciona quando ambos os ângulos subtendem o mesmo arco. Arcos diferentes não seguem esta regra.
The angle at the circumference is 40°. The angle at the centre on the same arc is how many degrees? · O ângulo na circunferência é 40°. O ângulo no centro no mesmo arco quantos graus tem?
Angle at centre = 2 × angle at circumference = 2 × 40 = 80°. · Ângulo no centro = 2 × ângulo na circunferência = 2 × 40 = 80°.
In a cyclic quadrilateral one angle is 85°. Its opposite angle is how many degrees? · Num quadrilátero cíclico um ângulo é 85°. Seu ângulo oposto quantos graus tem?
Opposite angles add to 180°: 180 − 85 = 95°. · Ângulos opostos somam 180°: 180 − 85 = 95°.
Angles in the same segment are ______. · Ângulos no mesmo segmento são ______.
Any two angles subtended by the same arc in the same segment are equal. · Quaisquer dois ângulos sustentados pelo mesmo arco no mesmo segmento são iguais.
Worked example
- Angle at circumference $= 40^{\circ}$ → angle at centre $= 2 \times 40 = 80^{\circ}$.
- In a cyclic quadrilateral, one angle $= 85^{\circ}$ → opposite angle $= 180 - 85 = 95^{\circ}$.
A sector is a slice between two radii; a segment is cut off by a chord; an arc is part of the circumference
Exemplo resolvido
- Ângulo na circunferência $= 40^{\circ}$ → ângulo no centro $= 2 \times 40 = 80^{\circ}$.
- Em um quadrilátero cíclico, um ângulo $= 85^{\circ}$ → ângulo oposto $= 180 - 85 = 95^{\circ}$.
Um setor é uma fatia entre dois raios; um segmento é cortado por uma corda; um arco é parte da circunferência
The missing Extended circle facts
- Alternate segment theorem: the angle between a tangent and a chord equals the angle at the circumference in the opposite segment. If that tangent-chord angle is $52^{\circ}$, the matching circumference angle is $52^{\circ}$.
- The perpendicular bisector of a chord passes through the centre; equal chords are equally far from it. Tangents PA and PB from the same outside point P have equal lengths, so $PA=7$ cm implies $PB=7$ cm.
As propriedades circulares estendidas ausentes
- Teorema do segmento alternado: o ângulo entre uma tangente e uma corda é igual ao ângulo na circunferência no segmento oposto. Se esse ângulo tangente-corda for $52^{\circ}$, o ângulo correspondente na circunferência é $52^{\circ}$.
- A mediatriz de uma corda passa pelo centro; cordas iguais estão igualmente distantes dele. Tangentes PA e PB traçadas do mesmo ponto externo P têm comprimentos iguais, logo $PA=7$ cm implica $PB=7$ cm.
A tangent-chord angle is 52°. Find the angle in the alternate segment in degrees. · Um ângulo entre tangente e corda é 52°. Encontre o ângulo no segmento alternado em graus.
The alternate segment theorem makes these two angles equal. · O teorema do segmento alternado iguala esses dois ângulos.
PA and PB are tangents from the same external point P. PA is 7 cm. Find PB in cm. · PA e PB são tangentes de um mesmo ponto externo P. PA mede 7 cm. Encontre PB em cm.
Tangents from the same external point have equal lengths. · Tangentes de um mesmo ponto externo possuem comprimentos iguais.
You've got it
- angle in a semicircle $= 90^{\circ}$; tangent meets radius at $90^{\circ}$
- angle at centre $= 2 \times$ angle at circumference (same arc)
- cyclic quadrilateral: opposite angles add to $180^{\circ}$
Entendeu?
- ângulo no semicírculo $= 90^{\circ}$; tangente encontra raio em $90^{\circ}$
- ângulo no centro $= 2 \times$ ângulo na circunferência (mesmo arco)
- quadrilátero cíclico: ângulos opostos somam $180^{\circ}$