Differentiation · Diferenciação
| English | Português |
|---|---|
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | cálculo |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | derivada |
| differentiate/ˌdɪfəˈrenʃɪeɪt/ | diferenciar |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | ponto estacionário |
The gradient that changes
- A straight line has one gradient everywhere. A curve has a different gradient at every point.
- Newton and Leibniz invented calculus 微积分 to answer: "What is the gradient of a curve right here?" The answer is the derivative 导数.
A inclinação que muda
- Uma linha reta tem uma inclinação constante em todos os pontos. Uma curva tem uma inclinação diferente em cada ponto.
- Newton e Leibniz inventaram o cálculo para responder: "Qual é a inclinação de uma curva exatamente aqui?" A resposta é a derivada.
The power rule
- If $y = ax^n$, then $\dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$.
- In words: bring the power down in front, then reduce it by one.
$y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$. Differentiate 求导 term by term — each term is treated independently.
The gradient of a curve at a point is the gradient of the tangent there, which is what differentiation finds
A regra da potência
- Se $y = ax^n$, então $\dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$.
- Em palavras: descer o expoente para a frente, depois reduzir em uma unidade.
$y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$. Diferencie termo por termo — cada termo é tratado independentemente.
A inclinação de uma curva num ponto é a inclinação da tangente nesse ponto, que é o que a derivação encuentra
The gradient at a point · A inclinação num ponto
gradient = dy/dx · gradiente = dy/dx
Slide the point — the tangent · tangente's slope is the gradient there. · Deslize o ponto — a inclinação da tangente é a derivada naquele ponto.
If y = x³ + 2x² − 5x, then dy/dx = 3x² + 4x − 5. What is its value at x = 1? · Se y = x³ + 2x² − 5x, então dy/dx = 3x² + 4x − 5. Qual é seu valor em x = 1?
3(1)² + 4(1) − 5 = 3 + 4 − 5 = 2.
For y = axⁿ, where n is a positive integer, differentiating gives: · Para y = axⁿ, onde n é um inteiro positivo, a diferenciação resulta em:
Bring the power down and reduce it by 1: a·n·xⁿ⁻¹. · Traga o expoente para baixo e reduza-o em 1: a·n·xⁿ⁻¹.
If y = 4x³, what is dy/dx at x = 2? · Se y = 4x³, qual é dy/dx em x = 2?
dy/dx = 12x². At x = 2: 12(4) = 48. · dy/dx = 12x². Em x = 2: 12(4) = 48.
The derivative of y = x⁵ is dy/dx = ______. · A derivada de y = x⁵ é dy/dx = ______.
Power rule: bring down the 5, reduce the power: 5x⁴. · Regra do expoente: traga o 5 para baixo e reduza o expoente: 5x⁴.
Special cases
- $y = c$ (a constant) → $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (a horizontal line has zero gradient).
- $y = cx$ → $\dfrac{dy}{dx} = c$ (a straight line has constant gradient).
- The IGCSE power rule here uses nonnegative integer powers and sums of at most three terms; differentiating reciprocal functions is outside this syllabus.
Don't forget the constant term. The derivative of $x^2 + 7$ is $2x$, not $2x + 7$. The derivative of a constant is always zero.
Casos especiais
- $y = c$ (uma constante) → $\dfrac{dy}{dx} = 0$ (uma linha horizontal tem inclinação zero).
- $y = cx$ → $\dfrac{dy}{dx} = c$ (uma linha reta tem inclinação constante).
- A regra da potência do IGCSE usa expoentes inteiros não negativos e somas de no máximo três termos; diferenciar funções recíprocas está fora deste programa.
Não esqueça o termo constante. A derivada de $x^2 + 7$ é $2x$, não $2x + 7$. A derivada de uma constante é sempre zero.
The derivative of y = x² + 7 is 2x + 7. · A derivada de y = x² + 7 é 2x + 7.
The derivative of a constant is 0. So dy/dx = 2x, not 2x + 7. · A derivada de uma constante é 0. Portanto dy/dx = 2x, não 2x + 7.
Stationary points 驻点
- A stationary point is where $\dfrac{dy}{dx} = 0$ — the curve is momentarily flat.
- $y = x^2 - 6x + 5 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.
- At $x = 3$: $y = 9 - 18 + 5 = -4$. Turning point: $(3, -4)$.
A stationary point is where the curve is momentarily flat — the gradient (derivative) equals zero.
Pontos estacionários
- Um ponto estacionário é onde $\dfrac{dy}{dx} = 0$ — a curva fica momentaneamente plana.
- $y = x^2 - 6x + 5 \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.
- Em $x = 3$: $y = 9 - 18 + 5 = -4$. Ponto de virada: $(3, -4)$.
Um ponto estacionário é onde a curva fica momentaneamente plana — a inclinação (derivada) é igual a zero.
The curve y = x² − 6x + 5 has a turning point. At what x value (dy/dx = 0)? · A curva y = x² − 6x + 5 tem um ponto de virada. Em que valor de x (dy/dx = 0)?
dy/dx = 2x − 6 = 0 gives x = 3. · dy/dx = 2x − 6 = 0 resulta em x = 3.
Why differentiation matters
- Physics: velocity is the derivative of position; acceleration is the derivative of velocity.
- Economics: marginal cost is the derivative of total cost — the cost of one more unit.
- Optimisation: to maximise profit or minimise cost, set the derivative to zero.
Por que a derivação importa
- Física: velocidade é a derivada da posição; aceleração é a derivada da velocidade.
- Economia: custo marginal é a derivada do custo total — o custo de uma unidade adicional.
- Otimização: para maximizar lucro ou minimizar custo, defina a derivada como zero.
A tangent estimates a curve gradient
- Draw a tangent touching the curve at the required point, then choose two clear points on the tangent, not two arbitrary points on the curve. Calculate its rise divided by run.
- For $y=x^2$ at $(2,4)$, a tangent through $(1,0)$ and $(3,8)$ has $m=(8-0)/(3-1)=4$. Differentiation confirms $dy/dx=2x=4$ at $x=2$.
Uma tangente estima a inclinação de uma curva
- Desenhe uma tangente tocando a curva no ponto desejado, depois escolha dois pontos claros na tangente, não dois pontos arbitrários na curva. Calcule sua elevação dividida pelo avanço horizontal.
- Para $y=x^2$ em $(2,4)$, uma tangente que passa por $(1,0)$ e $(3,8)$ tem $m=(8-0)/(3-1)=4$. A diferenciação confirma $dy/dx=2x=4$ em $x=2$.
A tangent passes through (1,0) and (3,8). Find its gradient. · Uma tangente passa por (1,0) e (3,8). Encontre sua inclinação.
Rise 8 divided by run 2 gives 4. · Elevação 8 dividida pelo avanço 2 resulta em 4.
Minimum or maximum?
- For $y=x^2-6x+5$, the derivative is $2x-6$. It is negative at $x=2$, zero at 3 and positive at 4: falling then rising means a minimum at $(3,-4)$.
- For $y=-x^2+4x+1$, $dy/dx=-2x+4$. Positive at 1 and negative at 3 means a maximum at $x=2$, where $y=5$.
Mínimo ou máximo?
- Para $y=x^2-6x+5$, a derivada é $2x-6$. Ela é negativa em $x=2$, zero em 3 e positiva em 4: descendo depois subindo indica um mínimo em $(3,-4)$.
- Para $y=-x^2+4x+1$, $dy/dx=-2x+4$. Positiva em 1 e negativa em 3 indica um máximo em $x=2$, onde $y=5$.
For y = −x² + 4x + 1, find the y-coordinate of its maximum. · Para y = −x² + 4x + 1, encontre a coordenada y do seu máximo.
dy/dx = −2x + 4 is zero at x = 2; y = −4 + 8 + 1 = 5. · dy/dx = −2x + 4 é zero em x = 2; y = −4 + 8 + 1 = 5.
You've got it
- power rule: $y = ax^n \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$
- differentiate a sum term by term; the derivative of a constant is zero
- a stationary point is where $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- $y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$
Entendeu?
- regra da potência: $y = ax^n \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = an\,x^{n-1}$
- derive uma soma termo a termo; a derivada de uma constante é zero
- um ponto estacionário é onde $\dfrac{dy}{dx} = 0$
- $y = x^3 + 2x^2 - 5x \Rightarrow \dfrac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x - 5$