Systems and Center of Mass · Sistemas e Centro de Massa
| English | Português |
|---|---|
| center of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | centro de massa |
| system/ˈsɪstəm/ | sistema |
| internal forces/ɪnˈtɜːnl ˈfɔːsɪz/ | forças internas |
| external forces/ekˈstɜːnl ˈfɔːsɪz/ | forças externas |
| point particle/pɔɪnt ˈpɑːtɪkl/ | partícula puntiforme |
| integral/ˈɪntɪɡrəl/ | integral |
| net external force/net ekˈstɜːnl fɔːs/ | força externa resultante |
Throw a spinning wrench
- Toss a wrench across the room and it tumbles wildly -- yet one single point traces a smooth, simple arc.
- That special point is the center of mass 质心.
- No matter how an object spins or wobbles, its center of mass moves as if all the mass were squeezed into that one spot.
- Find it, and a messy tumbling problem becomes a simple point-mass problem.
Lançe uma chave giratória
- Arremessar uma chave pela sala e ela gira caoticamente -- contudo um único ponto traça uma arco suave e simples.
- Esse ponto especial é o centro de massa 质心.
- Não importa como um objeto gira ou balança, seu centro de massa se move como se toda a massa estivesse comprimida naquele único ponto.
- Encontrá-lo transforma um problema de torção confuso em um problema simples de partícula pontual.
Treat a system as one point
- A system 系统 is any group of objects we choose to study together.
- Forces inside the system are internal forces 内力; forces from outside are external forces 外力.
- The whole system moves as if it were a single point particle 质点 located at its center of mass.
Tratar um sistema como um único ponto
- Um sistema 系统 é qualquer grupo de objetos que escolhemos estudar juntos.
- Forças dentro do sistema são forças internas 内力; forças de fora são forças externas 外力.
- Todo o sistema se move como se fosse uma única partícula pontual 质点 localizada em seu centro de massa.
Select all · todos true statements about the center of mass. · Selecione todas as afirmações verdadeiras sobre o centro de massa.
The first two are the core rules. The third is false -- it is the mass · massa-weighted center, not the shape's midpoint. · As duas primeiras são as regras principais. A terceira é falsa -- é o centro ponderado pela massa, não o ponto médio da forma.
Center of mass of discrete masses
- For separate point masses along a line, the center of mass is the mass-weighted average position:
- Heavier masses pull the center of mass toward themselves.
Centro de massa de massas discretas
- Para massas pontuais separadas ao longo de uma linha, o centro de massa é a posição média ponderada pela massa:
- Massas maiores puxam o centro de massa em direção a si mesmas.
A $1\ \text{kg}$ mass is at $x = 0$ and a $3\ \text{kg}$ mass is at $x = 4\ \text{m}$. Where is the center of mass (in m)? · Uma massa $1\ \text{kg}$ está em $x = 0$ e uma massa $3\ \text{kg}$ está em $x = 4\ \text{m}$. Onde está o centro de massa (em m)?
$x_{cm} = \dfrac{1(0) + 3(4)}{1 + 3} = \dfrac{12}{4} = 3\ \text{m}$ -- close to the heavier mass. · $x_{cm} = \dfrac{1(0) + 3(4)}{1 + 3} = \dfrac{12}{4} = 3\ \text{m}$ -- próximo da massa mais pesada.
Move one mass farther from the others. The center of mass... · Mova uma massa para longe das outras. O centro de massa...
The mass-weighted average follows the mass -- moving a mass out pulls $x_{cm}$ toward it. · A média ponderada pela massa segue a massa -- mover uma massa para fora puxa $x_{cm}$ em sua direção.
Masses $2\ \text{kg}$ at $x=0$, $2\ \text{kg}$ at $x=2$, and $4\ \text{kg}$ at $x=5$. Find $x_{cm}$ (in m).
$x_{cm} = \dfrac{2(0)+2(2)+4(5)}{2+2+4} = \dfrac{24}{8} = 3\ \text{m}$.
Center of mass by integration
- For a continuous object, replace the sum with an integral 积分 over its mass:
- Slice the object into tiny bits $dm$, weight each by its position, and add them up.
Centro de massa por integração
- Para um objeto contínuo, substitua a soma por uma integral 积分 sobre sua massa:
- Divida o objeto em pedaços minúsculos $dm$, pesquie cada um por sua posição e some-os.
Centre of mass of a system · Centro de massa de um sistema
Tap the parts to see where the centre of mass of a two-body system sits. · Toque nas partes para ver onde fica o centro de massa de um sistema de dois corpos.
For a continuous body the sum in the center-of-mass formula becomes an ____. · Para um corpo contínuo, a soma na fórmula do centro de massa torna-se um ____.
$x_{cm} = \tfrac{1}{M}\int x\,dm$ -- an integral over the mass distribution. · $x_{cm} = \tfrac{1}{M}\int x\,dm$ -- uma integral sobre a distribuição de massa.
Only external forces move it
- The center of mass accelerates only in response to the net external force 净外力.
- Internal forces -- however violent -- can never shift the center of mass.
- That is why the tumbling wrench's center of mass follows the same smooth path a simple thrown ball would.
Apenas forças externas o movem
- O centro de massa acelera apenas em resposta à força externa líquida 净外力.
- Forças internas -- por mais violentas que sejam -- nunca podem deslocar o centro de massa.
- É por isso que o centro de massa da chave girando segue o mesmo caminho suave que uma bola simples arremessada faria.
A hidden explosion inside a floating system (no outside forces) can shift its center of mass. · Uma explosão oculta dentro de um sistema flutuante (sem forças externas) pode deslocar seu centro de massa.
Explosion forces are internal, so they cannot move the center of mass. Only a net external force can. · As forças de explosão são internas, portanto não podem mover o centro de massa. Apenas uma força externa resultante pode.
A $2\ \text{kg}$ mass sits at $x = 0$ and a $4\ \text{kg}$ mass at $x = 3\ \text{m}$.
- $x_{cm} = \dfrac{2(0) + 4(3)}{2 + 4} = \dfrac{12}{6} = 2\ \text{m}$.
- The center of mass sits closer to the heavier $4\ \text{kg}$ mass, as expected.
Uma massa de $2\ \text{kg}$ está em $x = 0$ e uma massa de $4\ \text{kg}$ em $x = 3\ \text{m}$.
- $x_{cm} = \dfrac{2(0) + 4(3)}{2 + 4} = \dfrac{12}{6} = 2\ \text{m}$.
- O centro de massa fica mais próximo da massa maior $4\ \text{kg}$, como esperado.
The center of mass is not always the geometric center. For a uniform rod it is the middle, but load one end and the center of mass shifts toward the heavy end -- it is the mass-weighted average, not the shape's midpoint.
O centro de massa não é sempre o centro geométrico. Para uma haste uniforme, ele é o meio, mas carregue uma extremidade e o centro de massa se desloca em direção à extremidade pesada -- é a média ponderada pela massa, não pelo ponto médio da forma.
The center of mass is the mass-weighted average position: $x_{cm} = \dfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ (or $\tfrac{1}{M}\int x\,dm$ for a continuous body). A whole system moves as if all its mass were at that point, and only the net external force can accelerate it.
O centro de massa é a posição média ponderada pela massa: $x_{cm} = \dfrac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$ (ou $\tfrac{1}{M}\int x\,dm$ para um corpo contínuo). Todo um sistema se move como se toda sua massa estivesse naquele ponto, e apenas a força externa líquida pode acelerá-lo.